安徽省宣城市郎溪县建平中学高二数学文下学期期末试卷含解析

安徽省宣城市郎溪县建平中学高二数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.．已知函数的图像与轴相切于点（1，0），则的A．极大值，极小值0

B．极大值0，极小值C．极大值，极小值0

D．极大值0，极小值参考答案：A略2.已知平面及平面同一侧外的不共线三点A，B，C，则“A，B，C三点到平面的距离都相等”是“平面ABC∥平面”的（

）A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要件参考答案：C由“平面”可以得到三点到平面的距离相等,若不共线的三点到平面的距离相等，因为在平面的同侧，可得，，根据面面平行的判定定理可得“平面”,所以,平面及平面同一侧外的不共线三点，则“三点到平面的距离都相等”是“平面平面”的充要条件，故选C.

3.不等式的解集为，那么

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A4.若的展开式中所有二项式系数的之和为32，则展开式中的常数项是（

）A.－270 B.－90 C.270 D.90－参考答案：B【分析】由二项式定理及展开式通项公式得：，由的展开式的通项为，令得，即可求得展开式中的常数项．【详解】解：由的展开式中所有二项式系数的之和为32，得，解得，由的展开式的通项为，令得，即该展开式中的常数项是，故选：B．【点睛】本题考查了二项式定理及展开式通项公式，属于基础题．5.已知数列{an}满足an+1=(n∈N*),

a2011=.

(1)求{an}的通项公式

(2)若bn=－4023，且Cn=，求证C1+C2+…+Cn<n+1参考答案：解：(1)由an+1===

∴－

∴{}是公差为的等差数列.

又a2011=，∴=+(2011－1)·=2011,=1006

∴=1006+(n－1)=

∴an=

(2)bn=2n－1,

an===1+

=1+=1+(－)

∴C1+C2+…+Cn=n+1－<n+16.已知是等比数列的前项和，，则（

）A、

B、

C、

D、参考答案：C7.若，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜a＜b参考答案：C【考点】4N：对数函数的图象与性质；49：指数函数的图象与性质．【分析】在同一直角坐标系中作函数的图象，根据相互之间图象的交点即可判定大小关系．【解答】解：在同一直角坐标系中作函数的图象,根据图象，a＜c＜b，故选C．8.参考答案：Ｃ9.若函数在内有极小值,则A.

B.

C.

D.参考答案：A略10.如图，ABCD—为正方体，任作平面a与对角线AC′垂直，使得a与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l，则（

）

A．S为定值，l不为定值 B．S不为定值，l为定值

C．S与l均为定值

D．S与l均不为定值参考答案：解析：将正方体切去两个正三棱锥A—A′BD与C′—后，得到一个以平行平面A′BD与为上、下底面的几何体V，V的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W的每一条边分别与V的底面上的一条边平行，将V的侧面沿棱剪开，展平在一张平面上，得到一个

，而多边形W的周界展开后便成为一条与平行的线段（如图中），显然，故l为定值.

当E′位于中点时，多边形W为正六边形，而当E′移至A′处时，W为正三角形，易知周长为定值l的正六边形与正三角形面积分别为，故S不为定值.选B.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.过点A(1,－1)与B(－1，1)且圆心在直线x+y－2=0上的圆的方程为__________．参考答案：略12.已知，平面与平面的法向量分别为，，且，，则__________．参考答案：∵，且平面与平面的法向量分别为，，∴，解得：．13.双曲线的渐近线为，一个焦点为，则

▲

.参考答案：2【分析】由题意布列关于a的方程即可得到结果.【详解】由题意可得：，又∴故答案为：2

14.已知直线的方程为，则与垂直的直线的倾斜角为

参考答案：15.已知若为实数,则_____________.参考答案：本题主要考查复数的四则运算.,因为，所以16.已知在Rt△AOB中，AO=1，BO=2，如图，动点P是在以O点为圆心，OB为半径的扇形内运动（含边界）且∠BOC=90°；设，则x+y的取值范围．参考答案：[﹣2，1]【考点】9F：向量的线性运算性质及几何意义．【分析】以OA所在直线为x轴，以OB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，表示出点A、B的坐标，得出的坐标表示，从而求出x，y满足的约束条件，再利用线性规划的方法求出目标函数z=x+y的最值即可得出结果．【解答】解：以OA所在直线为x轴，以OB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示；则A（1，0），B（0，2），∴=x+y=（x，0）+（0，2y）=（x，2y），则x，y满足条件，作出可行域如图所示，令z=x+y，化目标函数为y=﹣x+z，由图可知，当直线y=﹣x+z过点（0，1）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值1；当直线y=﹣x+z过点（﹣2，0）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值﹣2；则x+y的取值范围是[﹣2，1]．故答案为：[﹣2，1]．17.已知函数，则在上的最大值为

_____参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知双曲线的离心率，且过点。(1)求双曲线的方程；(2)记为坐标原点，过点的直线与双曲线相交于不同的两点，若△的面积为求直线的方程。参考答案：略19.（本小题满分13分）椭圆的离心率为，且以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．（1）求椭圆的方程；（2）已知直线过点且与开口向上，顶点在原点的抛物线切于第二象限的一点，直线与椭圆交于两点，与轴交于点，若，,且，求抛物线的标准方程．参考答案：（1）由题意知，，即………………1分又，………………2分故椭圆的方程为………………4分（2）设抛物线的方程为，直线与抛物线的切点为设切线的斜率为，则切线的方程为，联立方程，由相切得，则直线的斜率为则可得直线的方程为

………………6分直线过点

即在第二象限

直线的方程为………………8分代入椭圆方程整理得设

则………10分由，,得

抛物线的标准方程为………………13分20.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（1）证明：BE⊥DC；（2）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（3）求二面角A﹣BD﹣P的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面所成的角．【分析】（1）取PD中点M，连接EM，AM，推导出四边形ABEM为平行四边形，CD⊥平面PAD，由此能证明BE⊥DC．（2）连接BM，推导出PD⊥EM，PD⊥AM，从而直线BE在平面PBD内的射影为直线BM，∠EBM为直线BE与平面PBD所成的角，由此能求出直线BE与平面PDB所成角的正弦值．（3）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣BD﹣P的余弦值．【解答】证明：（1）如图，取PD中点M，连接EM，AM．∵E，M分别为PC，PD的中点，∴EM∥DC，且EM=DC，又由已知，可得EM∥AB，且EM=AB，∴四边形ABEM为平行四边形，∴BE∥AM．∵PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AM，∴BE⊥DC．解：（2）连接BM，由（1）有CD⊥平面PAD，得CD⊥PD，而EM∥CD，∴PD⊥EM．又∵AD=AP，M为PD的中点，∴PD⊥AM，∴PD⊥BE，∴PD⊥平面BEM，∴平面BEM⊥平面PBD．∴直线BE在平面PBD内的射影为直线BM，∵BE⊥EM，∴∠EBM为锐角，∴∠EBM为直线BE与平面PBD所成的角．依题意，有PD=2，而M为PD中点，∴AM=，∴BE=．∴在直角三角形BEM中，sin∠EBM==，∴直线BE与平面PBD所成角的正弦值为．（3）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，B（1，0，0），D（0，2，0），P（0，0，2），=（﹣1，2，0），=（﹣1，0，2），设平面BDP的法向量=（x，y，z），则，取x=2，得=（2，1，1），平面ABD的法向量=（0，0，1），设二面角A﹣BD﹣P的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角A﹣BD﹣P的余弦值为．【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．21.已知圆M的方程为x2+（y﹣2）2=1，直线l的方程为x﹣2y=0，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．（1）若∠APB=60°，试求点P的坐标；（2）若P点的坐标为（2，1），过P作直线与圆M交于C，D两点，当时，求直线CD的方程；（3）求证：经过A，P，M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．参考答案：【考点】圆方程的综合应用．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）设P（2m，m），代入圆方程，解得m，进而可知点P的坐标．（2）设直线CD的方程为：y﹣1=k（x﹣2），由圆心M到直线CD的距离求得k，则直线方程可得．（3）设P（2m，m），MP的中点，因为PA是圆M的切线，进而可知经过A，P，M三点的圆是以Q为圆心，以MQ为半径的圆，进而得到该圆的方程，根据其方程是关于m的恒等式，进而可求得x和y，得到经过A，P，M三点的圆必过定点的坐标．【解答】解：（1）设P（2m，m），由题可知MP=2，所以（2m）2+（m﹣2）2=4，解之得：，故所求点P的坐标为P（0，0）或．（2）设直线CD的方程为：y﹣1=k（x﹣2），易知k存在，由题知圆心M到直线CD的距离为，所以，解得，k=﹣1或，故所求直线CD的方程为：x+y﹣3=0或x+7y﹣9=0．（3）设P（2m，m），MP的中点，因为PA是圆M的切线，所以经过A，P，M三点的圆是以Q为圆心，以MQ为半径的圆，故其方程为：化简得：x2+y2﹣2y﹣m（2x+y﹣2）=0，此式是关于m的恒等式，故x2+y2﹣2y=0且（2x+y﹣2）=0，解得或所以经过A，P，M三点的圆必过定点（0，2）或（，）．【点评】本题主要考查了圆方程的综合运用．解题的关键是对圆性质的熟练掌握．22.（15分）（2007?天津）已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现在从甲、乙两个盒内各任取2个球．（I）求取出的4个球均为黑色球的概率；（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（Ⅲ）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望．参考答案：解：（I）设“从甲盒内取出的2个球均黑球”为事件A，“从乙盒内取出的2个球为黑球”为事件B．∵事件A，B相互独立，且．∴取出的4个球均为黑球的概率为P（A?B）=P（A）?P（B）=．（II）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红红，1个是黑球”为事件C，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D．∵事件C，D互斥，且．∴取出的4个球中恰有1个红球的概率为P（C+D）=P（C）+P（D）=．（III）解：ξ可能的取值为0，1，2，3．由（I），（II）得，又，从而P（ξ=2）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ