上海市嘉定区2023年高三《数学》上学期月考试题与参考答案

上海市嘉定区2023年高三《数学》上学期月考试题与参考答案一､填空题第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分。1.双曲线的焦点坐标是___________.【答案】，【分析】根据双曲线方程，得到焦点在轴上，且，从而写出焦点坐标.【详解】由题意得：焦点在轴上，且，解得：，所以焦点坐标为与故答案为：，2.已知数列的递推公式为，则___________.【答案】54【分析】根据递推公式逐一赋值即可求解.【详解】由数列的递推公式得.故答案为：54.3.直线被圆所截的弦长为___________.【答案】16【分析】先由圆的方程确定圆心坐标和半径大小，再求圆心到直线的距离，根据几何法求弦长.【详解】由题知：圆的圆心为，半径，故圆心到直线的距离，所以弦长为：.故答案为：16.4.函数在处的切线方程为___________（写成一般式方程的形式）.【答案】【分析】先将代入求得切点坐标，然后进行求导，将代入得到切线的斜率，利用点斜式方程即可得到答案【详解】解：当时，，所以此时切点为，由可得，所以切线的斜率为，则利用点斜式方程可得到即，故答案为：5.2022年世界杯亚洲区预选赛，中国和日本､澳大利亚､越南､阿曼､沙特阿拉伯分在同一小组，任意两个国家需要在各自主场进行一场比赛，则该小组共有___________场比赛.【答案】30【分析】任意两个国家需要在各自主场进行一场比赛，即为双循环比赛，由排列组合求解即可.【详解】一共有6个国家，任意两个国家需要在各自主场进行一场比赛，即为双循环比赛，共有场比赛.故答案为：30.6.某路口在最近一个月内发生重大交通事故数服从如下分布：，则该路口一个月内发生重大交通事故的平均数为___________（精确到小数点后一位）.【答案】1.2【分析】根据分布列计算期望即可得到结论.【详解】由服从分布得，即该路口一个月内发生重大交通事故的平均数约为1.2.故答案为：1.2.7.正整数484有个不同的正约数___________.【答案】9【分析】先将484分解质因数，484的约数由质因数的乘积组成，使用分步乘法计数原理，可求出484正约数的个数.【详解】设为484的正约数，则，（，，，，，）例如：，时，是484的约数，，时，是484的约数，，时，是484的约数，因此，484的正约数个数，即的不同取值个数，第一步确定的值，有3种可能，第二步确定的值，有3种可能，因此的取值共有种.故答案为：9.8.已知数列的通项公式为，则取最大值时，___________.【答案】或.【分析】判断取最大值时，一定有，由此设为数列的最大项，列出不等式组，求得n的取值范围，可得答案.【详解】由可得当时，，当时，，当时，，故取最大值时，一定有，设为数列的最大项，则，即，解得，则或，此时，故答案为：或.9.根据农业农村部的统计数据，2017年至2021年则我国农民人均可支配收入如下表所列：年份20172018201920202021收入（元）1343214600173711713118931由表中数据可得回归方程，则___________（精确到小数点后一位）.【答案】【分析】利用最小二乘法，直接将表格中的数据带入公式即可求出的值.【详解】根据表格中数据可得：，利用最小二乘法，根据公式得：.故答案为：.10.一项研究同年龄段的男､女生的注意力差别的脑功能实验，实验数据如下表：注意力稳定注意力不稳定男生297女生335则_______（精确到小数点后三位），依据，该实验_____该年龄段的学生在注意力的稳定性上对于性别没有显著差异（填拒绝或支持）.【答案】①.0.538②.支持【分析】根据卡方公式计算即可做出判断.【详解】由表中数据可知：，根据计算可知：，所以没有足够把握认为学生在注意力的稳定性上与性别有关，即该实验支持该年龄段的学生在注意力的稳定性上对于性别没有显著差异.故答案为：；支持.11.对半径为1的气球以恒定的速度充气，可视为球体在不断膨胀，当半径增加至2时，其体积相对于半径的瞬时变化率为___________.【答案】【分析】球的体积公式为，对其求导并代入计算即可【详解】解：由球的体积公式可得，得，所以时，体积关于半径的瞬时变化率为，故答案为：12.已知，则___________.【答案】【分析】根据条件概率得到事件A与事件B相互独立，进而得到其对立事件也相互独立，从而利用对立事件概率公式求解.【详解】因为，所以事件A与事件B相互独立，则事件与事件也相互独立，则.故答案为：.二､选择题本大题共4题，满分20分。13.已知正项数列，令，则为等差数列是为等比数列的（）A.充分条件但非必要条件 B.必要条件但非充分条件C.充要条件 D.以上皆非【答案】C【分析】根据等比数列和等差数列的定义判断即可.【详解】若是等差数列，设公差为，则有，即，则数列是等比数列，公比为，满足充分性；若是正项等比数列，设公比为，则有，两边取对数得：，即，即，则是等差数列，公差为.满足必要性.则为等差数列是为等比数列的充要条件.故选：C.14.离心率和椭圆形状的有关，据此判断椭圆和，则和哪个图形更为扁平（）A. B.C.相同 D.无法判断【答案】A【分析】分别计算出两个椭圆的离心率，然后比较，谁的离心率越大且越接近于1，谁就越扁.【详解】在椭圆中，，，.在椭圆中，，，.，椭圆的图形更为扁平一些.故选：A.15.平面直角坐标系中，过点且同时和轴､直线相切的圆的个数为（）A.0 B.1C.2 D.与有关，因而不确定【答案】C【分析】根据题意作出示意图（图见解析），转化为直线与轴夹角的平分线上的动点到轴和到定点距离相等的问题即可.【详解】在平面直角坐标系xOy中，过点且同时和轴、直线相切的圆，满足圆的圆心到的距离与到轴以及到直线的距离相等，而满足到与到直线的距离相等的点的轨迹的抛物线，到轴与到直线的距离相等的轨迹是与轴夹角的平分线，如下图示，可知两个轨迹方程的图形有2个交点，所以满足条件的圆有2个.故选：C16.通过抽样调研发现，当地第三季度的医院心脑血管疾病的人数和便利店购买冷饮的人数的相关系数很高，甲认为这是巧合，两者其实没有关系：乙认为冷饮的某种摄入成分导致了疾病；丙认为病人对冷饮会有特别需求：丁认为两者的相关关系是存在的，但不能视为因果，请判断哪位成员的意见最可能成立（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】D【分析】正确理解相关系数，相关关系与因果关系区别是解题的关键.【详解】当地第三季度的医院心脑血管疾病的人数和便利店购买冷饮的人数的相关系数很高，但相关关系是一种非确定性关系，相关关系不等于因果关系，丁的意见最可能成立.故选：D.三､解答题本大题共有5题，满分76分。17.数列的前项和，（1）若为等差数列，求公差､首项､的值；（2）在（1）的条件下，求数列的前项和.【答案】（1）公差为，首先为，（2）【分析】（1）由题意，根据公式，结合等差数列的相关定义，可得答案；（2）由（1）可知，表达式，根据裂项相消，可得答案.【小问1详解】由题意，，当时，，当时，，则，，由，则，解得，故等差数列，公差为，首项为，.【小问2详解】由（1）可知，，，，.18.函数，其中.（1）求函数的导数；（2）若，求的极值.【答案】（1）（2）极大值为，极小值为【分析】（1）利用导数的求导法则以及基本初等函数的求导公式即可求解，（2）求导，利用导数即可求解极值【小问1详解】由得，【小问2详解】记，则，令，则，当时，或，故当或时，，当，，因此当时，取极小值，且极小值为，当时，取极大值，且极大值为，因此的极大值为，极小值为19.将的二项展开式中的二项式系数依次列为：.（1）依据二顶式定理，将展开，并求证：；（2）研究所列二项式系数的单调性，并求证：其最大值为.【答案】（1），证明见解析；（2）答案见解析．【分析】（1）由二项式定理得展开式，在展开式中令可证结论成立；（2）用作差法可得出二项式系数的单调性，从而得出最大值．【小问1详解】由已知，令得；【小问2详解】，，当，，即时，，，当，即时，，，所以中，从到递增，从到递减，所以是最大值．20.一台机器设备由和两个要件组成，在设备运转过程中，发生故障的概率分别记作，假设和相互独立.设表示一次运转过程中需要维修的要件的数目，若.（1）求出；（2）依据随机变量的分布，求和；（3）若表示需要维修的数目，表示需要维修的数目，写出和的关系式，并依据期望的线性性质和方差的性质，求和.【答案】（1）;（2）；（3）。【分析】（1）由题意利用相互独立事件的概率公式求出所对应的概率即可；（2）利用的分布列直接计算期望和方差即可；（3）利用期望和方差的性质计算即可.【小问1详解】因为，所以，，.【小问2详解】由（1）得的分布列为：0120.720.260.02所以，.【小问3详解】由题意可得，且均服从两点分布，所以，，所以，因为相互独立，所以.21.椭圆，过椭圆外一点作椭圆的两条切线，切点分别为和的夹角为.（1）若，求此时的值；（2）若，求证：随的增大而减小；（3）是否存在圆，使得在其上做圆周运动时，始终可以保持？不论存在与否，均请说明理由.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）存在，圆方程是．【分析】（1）设切线方程为，代入椭圆方程整理为关于的方程，由得关于的二次方程，由得，从而求得；（2）由（1）求出切线斜率，得，由正切函数的单调性、不等式的性质可得结论；（3）在切线斜率存在时，设切线方程为，代入椭圆方程，整理为关于的方程，由转化为关于的二次方程，由得，从而在圆上，再说明过此圆上的点时切线也保持即可得结论．【小问1详解】，切线