辽宁省锦州市2023年高三《数学》上学期期末试卷与参考答案

辽宁省锦州市2023年高三《数学》上学期期末试题与参考答案一、选择题本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合，，为实数集，则（）A. B. C. D.【答案】D【分析】化简集合A，B，后由交集补集定义可得答案.【详解】由题可得或，则，故.故选：D2.复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】B【分析】根据给定条件，利用复数除法运算及复数模的定义计算作答.【详解】由得：，所以.故选：B3.已知，为实数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】A【分析】通过分析条件能否推出结论，结论能否推出条件，即可确定正确选项.【详解】因为，则，所以，即由可推出，取，可得，而，即由不可推出，所以“”是“”的充分不必要条件，故A对，B,C,D错,故选：A.4.某科技研发公司2022年全年投入的研发资金为300万元，在此基础上，计划每年投入的研发资金比上一年增加10%，则该公司全年投入的研发资金开始超过600万元的年份是（）（参考数据：，，，）A.2027年 B.2028年 C.2029年 D.2030年【答案】D【分析】设年后公司全年投入的研发资金为，根据题意列出与的关系，即可列不等式解出的最小值，即可得出答案.【详解】设年后公司全年投入的研发资金为，则根据题意有，研发资金开始超过600万元，即，解得，则的最小值为8，则该公司全年投入的研发资金开始超过600万元的年份是年，故选：D.5.的展开式中的系数为（）A. B. C. D.24【答案】A【分析】利用二项式定理计算展开式中的系数即可.【详解】原式，因展开式中没有项，展开式中项为，所以的展开式中的系数为.故选：A6.双曲线：的左右焦点分别为，，一条渐近线方程为，若点在双曲线上，且，则（）A.7 B.9 C.1或9 D.3或7【答案】B【分析】由渐近线方程可得，则，后由双曲线定义可得答案.【详解】由，可得，则.又因在双曲线，则由双曲线定义，有，可得.故选：B7.设，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【分析】构造函数，，通过其单调性后可得，整理后可得；构造函数，由及单调性可得，则可得.【详解】构造函数，，则，得在上单调递减，又，则，即.构造函数，则令，则在上单调递增.又注意到，，则，即.故，即.综上所述，.故选：A8.平行四边形中，，，，点在边上，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【分析】建立平面直角坐标系，设，把的取值范围转化为求二次函数的值域问题，即可求得本题答案.【详解】作，垂足为，以点为原点，所在直线为轴，轴建立如下图的平面直角坐标系.因为，而,所以，在直角中，因为，，所以，，则，设，所以，所以，因为二次函数开口向上，对称轴为，且，所以当时，取最小值，当时，取最大值，所以的取值范围是.故选：C二、选择题本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知函数（，），将的图像上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像．若为偶函数，且最小正周期为，则下列说法正确的是（）A.的图像关于对称B.在上单调递增C.的解集为（）D.方程在上有3个解【答案】BCD【分析】先根据图像平移伸缩变换可得，再根据奇偶性和最小正周期可求得和，通过赋值法可判断A，根据整体代入法可判断B，通过余弦函数图像的性质可判断C，通过正切函数图像的性质可判断D.【详解】将函数的图像上所有点向右平移个单位长度，得到，然后横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到，若最小正周期为，则有，得，又因为为偶函数，所以，即又，所以，，故，，对于A，，所以的图像不关于对称，A错误；对于B，令，得，，当时，函数的单调递增区间为，所以在上单调递增，B正确；对于C，由，得，所以，所以（），解得（），C正确；对于D，等价于，即，所以，所以（），即（），又，故当时，可得，，.即方程在上有3个解，D正确.故选：BCD10.甲箱中有4个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有3个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（）A.事件与事件（）相互独立B.C.D.【答案】BD【分析】根据题意，由条件概率公式以及乘法公式，全概率公式分别代入计算，即可得到结果.【详解】，，先发生，则乙袋中有4个红球3白球3黑球，先发生，则乙袋中有3个红球4白球3黑球，，先发生，则乙袋中有3个红球3白球4黑球，，，B对，，，，C错，，A错，，D对．故选:BD.11.已知正方体的棱长为1，是线段上的动点，则下列说法正确的是,（）A.存在点使 B.点到平面的距离为C.的最小值是 D.三棱锥的体积为定值【答案】AD【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】以为原点建立如图所示空间直角坐标系，，设，，当时，，此时与重合，所以A选项正确.设平面的法向量为，则，故可设，所以点到平面的距离为，B选项错误.，，，所以当时，取得最小值为，C选项错误.，定值，D选项正确.故选：AD12.已知函数对任意实数，都满足，且，则（）A.是偶函数 B.是奇函数C. D.【答案】AC【解析】【分析】令可得，从而可判断B；令可判断A；令，可得，令可判断C；由AC的解析可得函数的周期为2，从而可判断D.【详解】在中，令，可得，即，解得，故B错误；令可得,即，故函数是偶函数，即是偶函数,故A正确；令，则，故，令，可得,故，故C正确；因为是偶函数，所以，故,即，所以,所以，故函数周期为2，因为，，所以，.所以，故D错误.故选：AC.三、填空题本题共4小题，每小题5分，共20分．13.如图，扇形中，，，将扇形绕所在直线旋转一周所得几何体的表面积为______．【答案】【分析】根据题意得到几何体为以为圆心，为半径的半个球体，再求其表面积即可.【详解】将扇形绕所在直线旋转一周得到几何体为以为圆心，为半径的半个球体.几何体的表面积为.故答案为：14.已知曲线：，点是曲线上的一点，则点到坐标原点的距离的最小值是______．【答案】3【分析】设点，得出，从而得出点到坐标原点的距离，结合导数求出最小值即可.【详解】设点，则有，所以，点到坐标原点的距离，设，，则，在上，，在上，，所以在时有最小值，所以的最小值为.故答案为：315.已知圆：，圆的弦是过点最短的弦，为坐标原点，则的面积为______．【答案】7【分析】当时，弦最短，求得直线的斜率，从而求得直线的方程，进一步求得点到直线的距离，利用垂径定理求得，即可求解.【详解】因为圆：，所以圆心，半径为，又，所以点在圆内，如图，当时，弦最短，此时而,，所以直线的方程为，即，则点到直线的距离为.因为，所以.故的面积为.故答案为：7.16.过点（）有条直线与函数的图像相切，则的最大值是______，此时的取值范围是______．【答案】①.3②.【分析】根据导数的几何意义，求解出切线方程，利用代入法、常变量分离法、数形结合思想进行求解即可.【详解】设切点为，对函数求导得，切线斜率为，所以，曲线在点处的切线方程为，将点的坐标代入切线方程可得，所以，，令，其中，所以，，列表如下：减极小值增极大值减由可得，解得或，如下图所示：由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，当时，直线与函数的图象有二个交点，当时，直线与函数的图象有一个交点，当，或时，直线与函数的图象没有交点，故答案为：3；.【点睛】关键点点睛：本题考查利用过曲线外一点作曲线切线的条数求参数的取值范围，解题的关键在于写出切线方程，将点的坐标代入切线方程，将切线与切点建立一一对应的关系，转化函数的零点个数，利用导数与数形结合思想求解.四、解答题本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.的内角A，B，C的对边分别为，，，已知．（1）求；（2）若，，求的周长．【答案】（1）（2）【分析】（1）由两角和的余弦公式和正弦公式以及正弦定理即可求解；（2）由余弦定理和数量积的定义即可求解.【小问1详解】因为，所以，所以，可得，由正弦定理得：，所以，所以，因为，所以，由，可得.【小问2详解】由余弦定理得：，即，所以，因为，所以，所以，解得，所以的周长为．18.2021年10月16日，搭载“神舟十三号”的火箭发射升空，这是一件让全国人民普遍关注的大事，因此每天有很多民众通过手机、电视等方式观看有关新闻．某机构将每天关注这件大事的时间在2小时以上的人称为“天文爱好者”，否则称为“非天文爱好者”，该机构通过调查，并从参与调查的人群中随机抽取了100人进行分析，得到下表（单位：人）：天文爱好者非天文爱好者合计女2050男15合计100（1）将上表中的数据填写完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“天文爱好者”或“非天文爱好者”与性别有关？（2）现从抽取的女性人群中，按“天文爱好者”和“非天文爱好者”这两种类型进行分层抽样抽取5人，然后再从这5人中随机选出3人，记其中“天文爱好者”的人数为，求的分布列和数学期望．附：，其中．0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）列联表见详解；能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“天文爱好者”或“非天文爱好者”与性别有关；（2）分布列见详解；.【分析】（1）根据题意，即可得出完整的列联表，再根据给出的公式求出，并与比较，即可得出结论；（2）根据分层抽样得出在女性人群中抽取5人，则有2人为“天文爱好者”，有3人为“非天文爱好者”，再从5人中随机选出3人，再根据超几何分布的概率求法求出概率，进而得出分布列和数学期望.【小问1详解】解：由题意，得列联表如下：天文爱好者非天文爱好者合计女203050男351550合计5545100，所以能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“天文爱好者”或“非天文爱好者”与性别有关.【小问2详解】解：由题得，抽取的100人中女性人群有50人，其中“天文爱好者”有20人，“非天文爱好者”有30人，所以按分层抽样在50个女性人群中抽取5人，则有2人为“天文爱好者”，有3人为“非天文爱好者”，再从这5人中随机选出3人，记其中“天文爱好者”的人数为，则的可能值为0，1，2，，，，所以的分布列如下表：012所以数学期望为：.19.已知数列的前项和为，满足，，．（1）证明：数列是等比数列；（2）记，设，求数列的前项和．【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）当时可求得；当时，由与关系可得，验证知，由此可证得结论；（2）由等比数列通项公式可推导得到；当为奇数时，由知；当为偶数时，令，可知递增，得到，知；采用分组求和的方式对奇数项和偶数项分别求和，结合等比和等差数列求和公式可求得结果.【小问1详解】当时，，解得：；当时，由得：，两式作差得：，即；经检验：，满足；数列是以为首项，为公比的等比数列.【小问2详解】由（1）得：，；则当为奇数时，，，；当为偶数时，；令，则，，即，；.20.如图，在四棱锥中，平面平面，底面是梯形，．（1）证明：平面；（2）若，为线段的中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）因为平面平面，故要证平面，需证，需证平面，需证，而不难证明（2）建立恰当的空间直角坐标系，用空间向量求解即可【小问1详解】证明：取中点，连接．∴，∴四边形为菱形，四边形为平行四边形．∴，∴．又∵，∴平面．又∵平面，∴．又∵平面平面，且平面平面，∴平面．【小问2详解】∵平面，∴，∴．又∵，∴，又∵，∴底面是直角梯形．以所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则．，．平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，由得取．∴，∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为．21.已知离心率为的椭圆C1：(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上的一点，△PF1F2的周长为6，且F1为抛物线C2：的焦点.（1）求椭圆C1与抛物线C2方程；（2）过椭圆C1的左顶点Q的直线l交抛物线C2于A，B两点，点O为原点，射线OA，OB分别交椭圆于C，D两点，△OCD的面积为S1，△OAB的面积为S2.则是否存在直线l使得？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1），；（2）存在，或.【分析】（1）由题可得，即求；（2）设直线l方程为，联立抛物线方程利用韦达定理可得，利用直线与椭圆的位置关系可求，再利用三角形面积公式及条件列出方程，即得.【小问1详解】由题意得，解得∴椭圆的方程为，，所以抛物线的方程为.【小问2详解】由题意得直线l的斜率不为0，，设直线l的方程为，设，由，得，∴，∵，∴，∵，∴直线OA的斜率为