第14章-几何非线性有限元分析1

几何非线性有限元方法1引言非线性的来源材料非线性大应变，大位移，大旋转如果一个结构承受大的变形，它改变的几何构形可导致非线性行为。在轻微的横向载荷下，杆的端部是极度柔性的，当载荷增加时，杆的几何形状改变（变弯曲）并减少了力臂（由于载荷移动），从而导致杆的刚度在较高载荷下不断增大。几何非线性问题：

板、壳等薄壁结构在一定载荷作用下，尽管应变很小，甚至未超过弹性极限，但是位移较大。这时必须考虑变形对平衡的影响，即平衡条件必须建立在变形后的位形上，同时应变表达式应包括位移的二次项---平衡方程和几何条件都是非线性的；金属成型材料在受载时都可能出现很大的应变，这时除了采用非线性的平衡方程和几何关系外，还需要引入相应的应力应变关系。1引言1.物体运动的物质描述2.格林和阿尔曼西应变3.欧拉、拉格朗日和克希荷夫应力4.大变形时平衡方程和虚位移原理5.大变形本构关系6.弹性大变形问题的有限元法7.弹性分支点稳定问题有限元分析8.物质描述大变形增量问题的T.L、U.L法2内容3.1物体运动的物质描述-拉格朗日描述t=0的坐标为

，t时刻位置为

，质点运动可表为

对物体t时刻位置和变形的刻划称为构形或位形，如图示。

描述运动的参照基准称为参考位形，以初始位形作参考位形的描述称为物质描述或拉格朗日描述，称为物质坐标。3.1物体运动的物质描述-变形梯度

物体现时坐标

对物质坐标

的偏导数称为变形梯度，是非对称的二阶张量。

现时位形两邻点的距离为3.1物体运动的物质描述-变形梯度

因此可以将变形梯度视作一种线性变换，它将参考位形中的线元

变换为现时位形中的线元

，这变换中既有伸缩，也有转动。变形梯度在大变形分析中很重要。

初始位形两邻点的距离为物体运动和变形是单值和连续的，也即在任一时刻，和是一一对应的，那么在参考位形的任意点Jacobi行列式J不为零。也即变形梯度可逆Ricci可由Ricci置换符号的定义和行列式的性质证明Ricci符号3.1物体运动的物质描述-体积及面积变换公式设图示初始位形微元体体积为dV0，三线元为运动变形后，现时位形三线元为现时位形初始位形3.1物体运动的物质描述-体积及面积变换公式因此，现时位形的体积可表为体积变换公式3.1物体运动的物质描述-体积及面积变换公式

仿体积的变换公式又因变形前体积又因所以同理，变形后体积所以3.1物体运动的物质描述-体积及面积变换公式3.1物体运动的物质描述-体积及面积变换公式面积变换公式3.2Green和Almansi应变张量设初始和现时位形中P、Q两点的距离分别为3.4Green和Almansi应变张量格林应变张量阿尔曼西应变张量格林应变张量用初始位形定义，也即用变形前的坐标定义它是lagrange坐标的函数。阿尔曼西应变张量用现时位形定义，它是Euler坐标的函数。用变形前坐标表示用变形后坐标表示研究变形前后线段尺度的变化可以获得变形的度量－应变3.4Green和Almansi应变张量Green和Almansi应变张量关系

质点的位移向量也同样可用初始位形和现时位形定义上式对lagrange坐标或对Euler坐标求偏导位移对坐标（）的偏导数，称为位移梯度张量。初始坐标的函数现时坐标的函数3.4Green和Almansi应变张量初始坐标的函数现时坐标的函数

由此公式可见，两种应变张量都是对称的。

将位移梯度张量代入两种应变的表达式，可得用位移梯度张量表示的应变公式如下3.4Green和Almansi应变张量3.4Green和Almansi应变张量

当位移梯度很小时，位移梯度分量的乘积项是高阶小量，可以不区分初始位形和现时位形，将高阶项略去后，即可得到无限小应变张量柯西应变-工程应变在大变形问题中，是用从变形后的物体内截取的微元体来建立平衡方程及与之相等效的虚功原理的。因此首先在变形后的物体内截取出的微元体上定义应力张量，称为Euler应力张量，；此应力张量有明确的含义，即代表真实的应力张量。是现时位形和变形相关的真实应力。由四面体的平衡，可将面的应力，用表示3.5

应力张量-Euler应力张量边界静力平衡条件然而在分析过程中，必须联系应力与应变。如果应变是用变形前的坐标（初始位形）表示的Green应变张量，那么，还需定义与之相对应的，即关于变形前位形的应力张量。3.5应力张量-

Lagrange应力张量、Kirchhoff应力张量（名义应力张量）对于变形后的位形（现时位形），有Euler应力张量对于变形前的位形（初始位形），可以定义名义应力

?Kirchhoff规定:第二类Piola-Kirchhoff应力张量Lagrange规定Lagrange应力张量3.5应力张量-

Lagrange应力张量、Kirchhoff应力张量（名义应力张量）利用初始和现时位形中物质面元间的关系(变形前后)，得3.5应力张量-

Lagrange应力张量与Euler应力张量关系上式左乘Lagrange规定边界静力平衡条件3.5应力张量-

Lagrange应力张量与Euler应力张量关系Kirchhoff规定:Kirchhoff应力张量与Lagrange应力张量关系根据Lagrange应力张量与Euler应力张量关系Lagrange规定:3.5应力张量-

Lagrange应力张量与Euler应力张量关系根据Lagrange应力张量与Euler应力张量关系Kirchhoff应力张量与Euler应力张量关系？3.5应力张量关系克希荷夫应力张量在空间固定坐标下，是一个不随刚体转动而变的客观张量。欧拉应力不是。克希荷夫应力张量和Green应变张量构成描述材料本构关系的一个适当的搭配因此，虽然二阶