安徽省阜阳市2023-2024学年高三下学期第一次教学质量统测数学试题

阜阳市20232024学年度高三教学质量统测试卷数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：高考全部内容.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合或，集合，且，则实数的取值范围为（）A B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据并集的定义列出不等式，进而可得出答案.【详解】因为或，，且，所以，解得，即实数的取值范围为.故选：B．2.设复数z满足，则（）A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】利用复数除法法则计算出，进而根据共轭复数和模长公式计算即可.【详解】，故，.故选：B3.设两个正态分布和的密度函数图像如图所示．则有A.B.C.D.【答案】A【解析】【详解】根据正态分布函数的性质：正态分布曲线是一条关于对称，在处取得最大值的连续钟形曲线；越大，曲线的最高点越底且弯曲较平缓；反过来，越小，曲线的最高点越高且弯曲较陡峭，选A．4.已知数列满足，则“为递增数列”是“”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由为递增数列得，再由充分条件与必要条件的定义进行判断即可.【详解】由为递增数列得，，则对于恒成立，得．可得，反之不行，故选：C．5.降水量是指水平地面上单位面积降水深度（单位：）．气象学中，把24小时内的降水量叫作日降雨量，等级划分如下：降水量等级小雨中雨大雨曝雨某数学建模小组为了测量当地某日的降水量，制作了一个上口直径为，底面直径为，深度为的圆台形水桶（轴截面如图所示）．若在一次降水过程中用此桶接了24小时的雨水恰好是桶深的，则当日的降雨所属等级是（）A.小雨 B.中雨 C.大雨 D.暴雨【答案】C【解析】【分析】根据题意，由圆台的体积公式代入计算，即可得到结果.【详解】设上口半径为，下口半径为，桶深为，水面半径为，则，降水量的体积，降水深度为，属于大雨等级.故选：C．6.已知圆与直线，P，Q分别是圆C和直线l上的点且直线PQ与圆C恰有1个公共点，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】，的最小值为圆心到直线的距离，可求的最小值.【详解】圆化为标准方程为，则圆C的圆心为，半径，则，直线PQ与圆C相切，有，因为点Q在直线l上，所以，则．即的最小值是.故选：A7.设，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，由对数的运算化简，再由对数函数的单调性即可得到结果.【详解】，，，.故选：D．8.已知函数满足，且当时，，若存在，使得，则a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，探讨函数的单调性，再结合赋值法求出，并由单调性脱去法则，转化为二次方程在上有解即得.【详解】任取，且，则，而当时，，于是，又，因此，则函数是增函数，而，于是，令，得，令，得，令，得，令，得，令，得，即有，因此，原问题即在有解，令，则在时有解，从而，，所以a的取值范围是.故选：D【点睛】关键点睛：涉及由抽象的函数关系求函数值，根据给定的函数关系，在对应的区间上赋值，再不断变换求解即可.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.关于一组样本数据的平均数、中位数、众数，频率分布直方图和方差，下列说法正确的是（）A.改变其中一个数据，平均数和众数都会发生改变B.频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等C.若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则平均数大于中位数D.样本数据的方差越小，说明样本数据的离散程度越小【答案】BCD【解析】【分析】根据平均数、中位数、频率分布直方图和方差的性质，逐一分析选项，即可求解.【详解】对于A中，例如：数据1，3，3，将数据改成2，3，3，数据的众数未改变，仍为3，所以A错误；对于B中，根据频率分布直方图中中位数的求法，频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，所以B正确；对于C中，根据频率分布直方图可得，单峰不对称且在右边“拖尾”，则平均数大于中位数，所以C正确；对于D．样本数据方差越小，数据越稳定，离散程度越小，所以D正确故选：BCD．10.已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为两点都在上，，三点共线，（不与重合）为上顶点，则（）A.的最小值为4 B.为定值C.存在点，使得 D.【答案】BCD【解析】【分析】求出可判断A；由椭圆的对称性可判断B；因为，所以以为直径的圆与椭圆有交点可判断C；求出可判断D.【详解】对于A，由椭圆的方程可知，所以焦点，设，则，，因为在椭圆上，所以，，即，A错误；对于B，由椭圆的对称性可知，，可得B正确；对于C，因为，所以以为直径的圆与椭圆有交点，则存在点，使得，故C正确；对于D，设，则，则，故D正确．故选:BCD．11.2022年9月钱塘江多处出现罕见潮景“鱼鳞潮”，“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，另外一股是破碎的涌潮，两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮．若波状涌潮的图像近似函数的图像，而破碎的涌潮的图像近似（是函数的导函数）的图像．已知当时，两潮有一个交叉点，且破碎的涌潮的波谷为－4，则（）A. B.C.是偶函数 D.在区间上单调【答案】BC【解析】【分析】由，求得，由题意得，由，，解出，由破碎的涌潮的波谷为4，解得，得到和解析式，逐个判断选项.【详解】，则，由题意得，即，故，因为，，所以，所以，则选项A错误；因为破碎的涌潮的波谷为，所以的最小值为，即，得，所以，则，故选项B正确；因为，所以，所以为偶函数，则选项C正确；，由，得，因为函数在上单调递增，在上单调递减，所以在区间上不单调，则选项D错误.故选：BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡的相应位置．12.如图，在四边形中，分别为的中点，，则______．【答案】##【解析】【分析】连接、，根据平面向量线性运算法则得到，再根据数量积的运算律计算可得.【详解】连接、，所以，，又、分别为、的中点，所以，所以．故答案为：13.抛物线绕其顶点逆时针旋转之后，得到抛物线，其准线方程为，则抛物线的焦点坐标为______．【答案】【解析】【分析】利用旋转后抛物线的顶点到准线的距离等于顶点到其焦点的距离，求出，进而得到结果.【详解】由于抛物线绕其顶点逆时针旋转之后，抛物线的顶点到其准线的距离与到其焦点的距离相等，即为且可知，则，则，所以抛物线焦点坐标为．故答案为：.14.已知，则______，______.【答案】①.②.【解析】【分析】第一空，将已知条件两边同时平方两式相加，结合同角三角函数基本关系与余弦函数的和差公式即可求解；第二空，利用三角函数的和差公式得到，再利用倍角公式化简转化即可得解.【详解】由可得，即，由可得，即，两式相加可得，即，解得；因为，，所以，所以．故答案为：；.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是熟练掌握三角函数半角公式的转化，从而得解.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，角的对边分别是，且．（1）求角的大小；（2）若，且，求的面积．【答案】15.16.【解析】【分析】（1）根据题意，由正弦定理边化角，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，由余弦定理结合三角形的面积公式代入计算，即可得到结果.【小问1详解】因为，所以根据正弦定理得，因为，所以，即，即．因为，所以．因为，所以．【小问2详解】．因为，所以①．因为，所以②．联立①②可得，解得（负根舍去），故的面积为．16.如图，在四棱锥中，四边形是正方形，是等边三角形，平面平面，E，F分别是棱PC，AB的中点.（1）证明:平面.（2）求平面PBC与平面PDF夹角的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质定理结合条件可得平面，然后利用坐标法，可得平面的法向量，进而即得；（2）利用坐标法，根据面面角的向量求法即得.【小问1详解】因为是等边三角形，F是AB的中点，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，底面是正方形，如图，以为原点建立空间直角坐标系，不妨令，则，所以，，，设平面的法向量为，则，令，可得，所以，即，又平面，所以平面；【小问2详解】因为，所以，设平面的法向量为，则，令，可得，又平面的一个法向量为，所以，所以平面PBC与平面PDF夹角的余弦值为.17.已知双曲线的左、右顶点分别为，动直线过点，当直线与双曲线有且仅有一个公共点时，点到直线的距离为．（1）求双曲线标准方程．（2）当直线与双曲线交于异于的两点时，记直线的斜率为，直线的斜率为．是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程，结合点到直线的距离公式即可求解，（2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，进而可得，根据两点斜率公式表达斜率，进而代入化简即可求解.【小问1详解】，故当直线过且与双曲线有且仅有一个公共点时，与的渐近线平行．设直线，则点到直线的距离为，所以双曲线的标准方程为．【小问2详解】由题可知，直线的斜率不为0，设直线，由得．成立，则，．，．故存在实数，使得成立．【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线相交的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去(或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情况，强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．18.已知函数．（1）讨论的单调性．（2）已知是函数的两个零点．（ⅰ）求实数的取值范围．（ⅱ）是的导函数．证明：．【答案】（1）答案见解析（2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，对进行分类讨论的单调性；（2）利用方程组，得到，问题转化为恒成立，换元后构造函数求出函数单调性及最值，从而得到证明.【小问1详解】．①当时，在上单调递增．②当时，令得，即在上单调递增；同理，令得，即在上单调递减．【小问2详解】（ⅰ）由（1）可知当时，在上单调递增，不可能有两个零点．当时，上单调递增，在上单调递减，若使有两个零点，则，即，解得，且，当时，，则有，所以的取值范围为．（ⅱ）是函数的两个零点，则有①，②，①②得，即，，因为有两个零点，所以不单调，因为，得，所以．若要证明成立，只需证，即证，令，则，则不等式只需证，即证，令，，令，令，因为，得在上单调递减，得，得，即在上单调递减，得，得，即在上单调递减，所以有，故有，不等式得证．【点睛】关键点点睛：对于双变量问题，要转化为单变量问题，通常情况下利用对数的运算性质进行转化，转化后利用构造新函数及最值进行求解证明.19.为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．（1）求的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，其中，，．假设，．(i)证明：为等比数列；(ii)求，并根据的值解释这种试验方案的合理性．【答案】（1）见解析；（2）（i）见解析；（ii）.【解析】【分析】（1）首先确定所有可能的取值