2023-2024学年重庆市北碚区高一年级上册期末数学试题

2023-2024学年重庆市北暗区高一上册期末数学试题

一、单选题

1.已知全集U=R,A={Λ∣-1≤X<2},则①A=()

A.{x∣x<-l}B.{x∣x<T或xN2}

C.{x∣x≥2}D.{x∣x≤-l∏gx>2)

【正确答案】B

【分析】根据补集的定义计算可得.

【详解】解：因为全集U=R,A={x∣-l≤x<2},

所以gA={x∣x<T或x≥2}.

故选：B

2.若XeR,则“x=-l”是“(x+l)(x—2)=0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【正确答案】A

【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.

【详解】解：由(x+l)(x-2)=0,解得X=T或X=2,

所以由X=-I推得出(x+D(x-2)=0,故充分性成立，

由(x+D(x-2)=0推不出户-1,故必要性不成立，

所以是“(x+D(x-2)=0”的充分不必要条件.

故选：A

3.若Sina=-∣,α为第四象限角，则COSa的值为()

433

A.—B.--C.-d

555∙I

【正确答案】D

【分析】直接利用平方关系即可得解.

3

【详解】解：因为Sina=-1,α为第四象限角，

所以cosa=Vl-sin2α=∙∣.

故选：D.

4.已知累函数/(x)=(W-加-I)Xf在(0,转)上单调递减，则机=()

A.-2B.-1C.1D.2

【正确答案】D

【分析】根据幕函数的定义和单调性进行求解即可.

【详解】由题意，塞函数IX)=(*-Zn-DX5,可得病-机-1=1,

即加2—〃？一2=0,解得机=2或机=-1,

当，77=2时，函数/(x)=χT,可得函数“X)在(0,+∞)上单调递减，符合题意；

当"，=-1时，函数/O)=/,可得函数/(x)在(0,+8)上单调递增，不符合题意.

故选：D

5函数F(X)=IglXITd/的零点个数为()

A.2B.3C.4D.5

【正确答案】C

【分析】转化为函数y=ig∣χ∣和函数y=∣f-2∣的交点个数,数形结合即可得到结果.

【详解】本题转化为函数y=∣g∣χ∣和函数y=∣f-2∣的交点个数,做出两个函数的图像,如图,

根据图像可得两个函数交点的个数为4个,所以函数/(χ)=IglXITf-彳的零点个数为4个.

故选：c.

6.若α=e°s,b=0.8c,c=lnθ.8,则b,C的人小关系为()

A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.c<a<b

【正确答案】C

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性进行求解即可.

【详解】因为e°8>e°=l,O<O,8e<O.8o=l.ln0.8<lnl≈0,

所以c<b<4,

故选：C

7.若α,p都是锐角，且CoSa=延，Sin(C-夕)=®，则cos/?=()

A.也B∙也C.一电或一变D.旦或显

210210210

【正确答案】A

【分析】由平方关系求得Sinα,cos(α-/?),然后由两角差的余弦公式计算.

【详解】a,4都是锐角，则一]<α-/

则由题意得cos(α-6)=JI-噜-=嘤，又Sina=Jl-净=竽，

Ar/mi//?、」•，。、石3y∕W2[5√10&

cosp=cos∣∕z-(α-p)J=cosacos(α-p)+smcrsm(/ɪ-p)=-ʃ×ɪθ-+—y^―X-ɪʒ-=-

故选：A.

8.已知Q0,y>0,且x+2y=4,则(l+x)(l+2y)的最大值为()

A.36B.4C.16D.9

【正确答案】D

【分析】根据题意得到(l+x)+(l+2y)=6,进而通过基本不等式求得答案.

【详解】由题意，(l+x)+(l+2>0=6,l÷x>l,l÷2y>l,所以

(l+x)(l+2y)≤'+”("A=9,当且仅当l+x=l+2yn｛；］；时取"=".

故选：D.

二、多选题

9.若。<。<0,则下列不等式一定成立的是()

11

A∙|。|>网B∙a2>abC∙~>TD.------>—

aba-ba

【正确答案】ABC

【分析】根据不等式的性质判断.

【详解】a<b<O^-a>-b>O^∖a∖>∖h∖fA正确；

a<b<O=>a2>ah>B正确；

a<b<0=--<—-,即一>丁，C正确；

ababCtb

“<6<0时，与b的大小关系不确定，因此」γ>L不一定成立，D错误.

a-ba

故选：ABC.

10.下列命题中的真命题是()

r+

A.VxeR,2'>0B.3¾∈R,InΛ0<1

C./(x)=X与g(x)=JF是相同函数D./(x)=x+J的最小值为2

【正确答案】AB

【分析】根据指数函数性质判断A；根据对数函数运算取特殊值判断B：根据函数概念判断

C；根据函数定义域与值域判断D即可.

【详解】解：对于A,由指数函数的性质可知2川>0对任意的x∈R恒成立，所以A为真

命题；

对于B,当Xo=IWR时.，则InXO=InI=O<1,故B为真命题；

对于C,函数/(x)=X的定义域为R,函数g(x)=4Γ=W的定义域为R,但两个函数的对

应关系不同，所以不是相同函数，故C为假命题；

对于D,函数f(x)=x+J的定义域为(T,0)U(0,M),所以/(T)=-2<2,故f(χ)=χ+/

的最小值不为2,故D为假命题.

故选：AB.

11.若将函数/(x)=cos[2x+∣]的图象向右平移,个单位长度，得到函数g(x)的图象，

则下列说法正确的是()

A.g(x)的最小正周期为兀B.g(x)在上单调递减

C.Xq不是函数g(x)图象的对称轴D∙g(x)在一株上的最小值为一;

【正确答案】ACD

【分析】利用函数图象平移变换的特点，结合余弦函数的周期公式、单调性、对称轴及最值

逐项判断即可求解.∙

【详解】将函数〃x)=cos(2x+与)的图象向右平移巳个单位长度，得到函数g(x)

g(x)=cos2fx-^+y=cos(2x+1)的图象，

对A,g(x)的最小正周期为7=4=%故A正确；

对B,当Xe0,|时，2x+∣∈py时，故g(x)在0,j匕有增有减，故B错误；

对C,g[-ɪ)ɪeos^ɪ+^I=COSy=O,故X=V不是g(x)图象的一条对称轴，故C正

确；

对D,当Xe-ɪ,ɪ时，2x+ge°，多，且当2x+[="，即X=F时，g(x)取最小值为

663L3J336

故选：ACD.

12.已知定义在R上的函数/(χ),若函数y=∕(χ+l)的图象关于点(-1,0)对称，且函数

/(x)=∣2,T-2+*'关于X的方程f(x)-2时(x)=2OneR)有〃个不同的实数解，

则"的所有可能的值为()

A.2B.3C.4D.6

【正确答案】ABC

【分析】由题意可得函数/(x)关于原点对称，令f=∕(x)可得产-2,加-2=0,利用判别式

和韦达定理分析该方程根的分布,结合函数〃x)的图象,分类讨论判断4=∕(x)和。2=/(6

的根的个数.

【详解】若函数y=∙f(χ+l)的图象关于点(TO)对称，则函数“X)关于原点对称，

对于方程尸(X)-2W(X)=2,令f=∕(x)可得户一2皿=2,即产一2〃»-2=0,

V∆=4∕n2+8>0.则》一2皿=2有两个不相等的实根,不妨设G

又∙.∙%=-2<0,即:<0<),则有：

当0j<l时，则4<-2,如图1,可得4=”力有且仅有一个实根，>2="可有3个不相

等的实根,

故关于X的方程∕2(X)-2""X)=2("2∈R)有4个不同的实数解;

当L=I时，则4=-2,如图2,可得％=〃力有且仅有一个实根，有2个不相等

的实根，

故关于X的方程「(司-2时(X)=2(∕MGR)有3个不同的实数解；

当1气<2时，则-2J<-1,如图3,可得力=/(力、t2=∕(x)均只有一个实根，

故关于X的方程产(力-2〃”力=2(〃7€均有2个不同的实数解；

当弓=2时，则4=-1,如图4,可得:=∕(x)有2个不相等的实根，f2="x)有且仅有一

个实根,

故关于X的方程r(x)-2时(X)=2(∕MGR)有3个不同的实数解;

当，2>2时，贝卜1J<O,如图5,可得[="x)有3个不相等的实根，L=∕(x)有且仅有

一个实根，

故关于X的方程∕2(x)-2何∙(x)=2WWR)有4个不同的实数解；

综上所述：关于X的方程尸(X)-2时(X)=2(,∕eR)的实数解的个数有2或3或4.

故A、B、C正确，D错误.

故选：ABC.

三、填空题

13.计算：sin15ocos15°=.

【正确答案】1##0.25

4

【分析】利用二倍角正弦公式计算可得.

【详解】解.sinl5θcosl5o=Lsin(2xl5o)='sin3()o=LχL=L

2''2224

故T

4

14.已知函数/(x),g(x)分别由下表给出，则g[∕(2)]=.

X123

/(ɪ)131

g(x)321

【正确答案】1

【分析】运用找入法直接求解即可.

【详解】由表可得g[∕(2)]=g(3)=l,

故1

15.在东方设计中存在着一个名为“白银比例”的理念，这个比例为0:1，它在东方文化中

的重要程度不亚于西方文化中的“黄金分割比例”，传达出一种独特的东方审美观.如图，假

设扇子是从一个圆面剪下的，扇形的面积为R,圆面剩余部分的面积为邑，当今=√∑时,

扇面较为美观.那么按“白银比例'制作折扇时.，扇子圆心角的弧度数为.

【正确答案】2(√2-l)π

【分析】设扇子圆心角为α,则圆面剩余部分的圆心角为2π-α,圆的半径为，根据扇形

的面积公式得到方程，解得即可.

【详解】解：设扇子圆心角为a,则圆面剩余部分的圆心角为2π-α,圆的半径为小

2

则S∣=gα∕,S2=^(2π-ɑ)r,

Si(2π-ɑ)r2

因为U=及，即J-------=近,即2τr-α=0α,

ɔi1-2

故2"-l)π

四、双空题

16.已知定义在R上的运算“软'：x0y=x(l-y),关于X的不等式(X-α)<2>(x+a)>0.若

a=l,则不等式的解集为;若VXWO,2］不等式恒成立，则实数”的取值范围是

【正确答案】(0,1)；(2,+∞)(-∞,-l)

【分析】空一：根据题中定义，结合一元二次不等式的解法进行求解即可；

空二：根据题中定义，结合二次函数的性质进行求解即可.

【详解】空一'：当α=l时，(x—α)(S(X+α)>01)区(x+1)>0≡≠*(%—1)(1—%—1)>0

=X(X—1)VonoVXV1,所以不等式的解集为(0,1)；

空二：由(X-Q)乳x+o)>0n(x-a)(l-x-α)>0=χ2-XVa(〃一1),

当XqO,2］时，/(χ)=χ2T=(X,该二次函数的对称轴为X=；,

所以/(x)gχ="2)=2,

要想不等式恒成立只需2<α(a-l)=>α>2,或,

所以实数”的取值范围是(2,y)(-∞,-D,

故(0,1)；(2,+∞)(F-I)

五、解答题

17.已知集合A={x∣2'≤8},B={X∣2<X≤5}.

⑴求ACB；

(2)若集合C={x∣0<x4o},且BUC,求实数。的取值范围.

【正确答案】(l){x∣2<x≤3}

(2)[5,-HΛ)

【分析】（1）首先解指数不等式求出集合A,再根据交集的定义计算可得；

（2）根据BaC可得即可得解.

【详解】（1）解：由2*≤8,即2”23,解得x≤3,所以A=k∣2'≤8}={x∣x≤3},

XB={x∣2<x≤5},所以Ar8={x∣2<xW3};

（2）解：因为B={x∣2<x≤5},C={x∣O<x≤α},且BaC,

所以4≥5,即实数。的取值范围为［5,+∞）.

18.计算：

(2)logs35+21ogI√2-Iog5--Iog514.

23U

【正确答案】(l)g；

⑵2.

【分析】（1）根据指数'幕的运算公式进行求解即可;

（2）根据对数的运算性质进行求解即可.

3,44

=----1-----1—

299

——1•

2，

(2)log535+21ogl√2-log5^--log514

2ɔl)

=Iog535-2Iog2Λ∕2+Iog550-Iog514

=Iog5(35×50÷14)-Iog22

=Iog5125-1

=3-1

=2.

Γc2

19.在条件：①2sin(2022%一α)=cos(20221+a)；②Sina+cosa=;③SinaCOSa=-W

中任选一个，补充在下面的题目中，并求解.

已知α∈（0∕）,且满足条件.

八、43Sina+4COSa…上

⑴求--------：——的值;

CoSa-Slna

⑵若夕€砥，乃,且COS尸=一等，求α+6的值.

【正确答案】（1）任选①②③，I

⑵任选①②③，⅞

【分析】（1）选①由诱导公式得，代入求值式化简即得；选②，结合平方关系求得Sine,cosα,

然后代入求值，选③，解法同选②;

（2）选①，利用（1）及平方关系求得Sina,cosa,然后再求得sin/,计算CoS（α+0的值,

由角范围可得角的大小.选②或选③，解法都同选①求出Sina,cosα后解法.

【详解】(1)选①，2sin(2022万-α)=COS(2022τr+o),由诱导公式得一2Sina=CoSa,

,3sinσ÷4cosσ3sina-8sina5

则rll--------:——=-------:-=-;

COSa-Sma—2sιnα-SIna3

/ʒɪ2

选②，sincr+cos<7=两边平方得siɪ?a+Zsinacosa+cos?α=-，所以SinaCOSa=-二

555

又α∈(O,∕r),所以α∈"/),即Sina>0,COSaVO,

2

_正.石2√5

sina+coscr=Slna=——SIna=--------

555(舍去),

从而由,解得,或“r

22√5,√5

SinaCoSa=-cosa=--------cosa=——

555

aE,2√5.

ɔ.3×-----F4AX(-------)

3smα+4λcosa_555

COSa-Sina2λ∕5ʌ/ʒ3

3T

选③，sinacosa=-∣,因为。∈(0,∕r),所以〃∈(工,1)，即Sina>(),cosa<(),

52

2√5

.2sina=——sɪna=--------

SInaCoSa=——55(舍去),

因此由・5可解得<或<r

2√5,√5

sin2or+cos2a=lcosa=--------cosa=——

155

以下同选②;

(2)选①，因为。£(。,乃)，所以。w(gτ),即Sina>0,COSa<0,

由(1)COSa=-2Sina,所以$皿％+852a=5抽％+4$111%=1,所以Sina=1

(负值舍

去)，CoSa=-迈

5

a≡(-,π),sinβ=Jl-(-也回

1010

2百√5√iθ

cos(α+/)=cosacos∕7-sinasinβ=——X(-------X------=-----，

5102

7π

又a+∕3e(π,2π),所以α+/=—.

4

选②或③，均由(1)得Sina=@，CoSa

55

，sinjS=Jl-(-3√10X√io

2)=

10-------10

√W√2

cos(cr+/7)=cosacosβ-sinasinβ=——×(-×-----=-----，

102

7汽

又α+6∈(肛2%),所以α+/=—.

4

20.已知函数"X)=2三W∈R),且移1i时，总有/(—可=—/(可成立.

⑴求用的值;

(2)判断并用定义法证明f(x)的单调性;

⑶若关于X的不等式〃x)≤A在xe[0,2]上有解，求实数％的取值范围.

【正确答案】(1)相=1：

(2)函数〃x)为R上的减函数，证明见解析；

3

(3)k≥--.

_rx

【分析】(1)根据“-χ)=-∕(x),代入得丝trι二J=-丝二二，即可解出m的值;

l+2v

(2)根据函数单调性的定义，设玉<电，证明出/(xj>∕(w)即可；

(3)根据/(x)的单调性，求出/(x)的值域，Z只需大于等于/(x)的最小值.

【详解】(I)/(-x)=-∕(x),

m-2~xm-2xm∙2x-12x-m

------=-------,即ππ--------=------，

l÷2"x1+2"2Λ+1l÷2r

.∖tn=∖.

(2)函数/(x)为R上的减函数.

证明如下，

由l+2*≠0可得，"x)=二的定义域为R,

1+2

取X[,%wR,且X<冗2，

Λ

πιl,Z、#(1-2^-2(2'∙'-29

vx,

λJ∕(A,)--∕(⅞)-1+2*,-1+2-—(l+2')(l+2=)

X1<X2,

.∙.2*<24，

.∙.2*-2与<0,1+2r>0,1+2*2>0,

即fU)-/仇)=°'∕α)>∕(w),

函数f(X)为R上的减函数.

(3)由(2)知，/(x)在xe[0,2]上是减函数，

/(2)≤∕(x)≤/(O),g∣J.∙.-j≤∕(x)≤O,

要使”x)≤Z在xe[0,2]上有解，

3

则&≥--.

21.函数〃x)=4sin®x+s)(A>0,<w>0，M<]]的部分图象如图所示.

⑴求函数的解析式，并求“X)的单调递增区间；

(2)若关于X的方程〃x)+2cos(4x+1)=a有解，求实数。的取值范围.

【正确答案】(l)〃x)=2sin(2x+e),/(x)的单调递增区间为-2+配苗+也，kcZ

Γ“9^∣

⑵七

【分析】(1)由函数图象可求A,可求周期，由周期求出。，由特殊点的坐标求出夕，可得

/(x)的解析式，然后根据正弦函数的单调性求解单调递增区间；

⑵令f=sin(2x+J可得结合余弦二倍角公式可将方程转化为4+2f+2=.

在fe[T,l]上有解，确定二次函数g(f)=-4∕+2r+2的单调性得值域，即可求得实数。的取

值范围.

【详解】⑴解：由题设图象知，周期W管用=兀，

2Jr2冗

因为T=三，所以0=9=2,

ωT

而由图知A=2,所以/(x)=2sin(2x+0),

因为函数/O)的图象过点(已，2),

所以/(弓)=20出(>9)=2,则三+*=5+2也，ZceZ.所以0=7+2%](左£2)

又因为O<p<g,所以e=J.

故函数/(X)的解析式为f(x)=2Sin，

则函数/(x)=2sin(2x+e)在R上的单调增区间满足：-5+2E≤2X+E4^+2E,keZ

JTTT

国军得：——+⅛π≤x≤-+⅛π,ZeZ,

36

TrTr

故f(x)的单调递增区间为-]+E%+E,kwZ.

(2)解：关于X的方程/(x)+2CoS(4x+1)=a,即2sin(2x+看)+2CoS(4x+5)=α,

令f=sin(2x+^),由于XeR,所以又

8$(4彳+()=cos2(2x+胃=1-2sin2(2x+\[=∖-2t^,

则方程转化为：7产+2「+2=”在£4-1,1]上有解，

又二次函数g(f)=T/+2r+2=-4,-在re