2023-2024学年天津市宁河区高二年级上册期末质量检测数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年天津市宁河区高二上册期末质量检测数学

模拟试题

一、单选题

1.椭圆片+广=1上一点P到一个焦点的距离为7,则P点到另一个焦点的距离为（）

259

A.5B.3C.4D.7

【正确答案】B

【分析】利用椭圆的定义即可求解.

【详解】设椭圆的左右焦点分别为百,工，由定义可知：\PFt\+\PF2\=2a,

因为椭圆方程为《+己=1,所以。=5,

259

则|尸国+|「用=24=10,由题意知点尸到一个焦点的距离为点

则点P到另一个焦点的距离为10-7-3,

故选.B

2.已知等差数列｛七｝满足区+综=18,则其前10项之和为（）

A.90B.180C.99D.81

【正确答案】A

【分析】设等差数列｛%｝的公差为d,由等差数列的通项公式和前“项和公式即可求解.

【详解】设等差数列｛/｝的公差为d,

则由牝+4=18,得：24+91=18,

又其前10项之和Eo=lO4+”><（；（）二"d=10q+45d=5（2q+9@=5x18=93

故选：A.

3.双曲线炉一x2=l的渐近线方程是（）

4

A.x±y/2y=0B.y/2x±y=0

C.2x±y=0D.x±2y=0

【正确答案】C

【分析】根据双曲线的标准方程，即可直接求出其渐近线方程.

【详解】•.•双曲线的标准方程为片-X2=l,

4

・,.双曲线的焦点在V轴，。=2"=1,且双曲线的渐近线方程为歹=±;工=±2、，即2x±y=0.

b

故选：C.

4.如图，在三棱锥尸-Z8C中，点N为棱4P的中点，点〃在棱8c上，且满足CM=2氏”,

"■

,贝UMN=（）

1X2,x1X

A.—a+—b—cB.

233

x

1x2,1>

C.—Q+—b——cD.

233

【正确答案】B

【分析】利用空间向量的线性运算即可求解.

【详解】因为点N为棱北的中点，且CM=28",

所以MN=MC+CP+PN=-BC-PC+-PA

32

=-PC——PB-PC+-PA=--PC——PB+-PA

332332

YYX

故选.B

5.设awR,则“a=-2”是“直线4：ax+2y-l=O与直线/2：*+（。+1）夕一/=0”平行的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.即不充分也不必要

条件

【正确答案】C

2

【分析】化简求出直线4："+2y-l=O与直线l2x+（a+l）j-a=0平行的充要条件,

注意重合的情况，从而与a=-2判断.

【详解】直线4：«x+2y-l=0与直线l2：x+（a+i）y-a2=o平行,

（7（6f+l）-2xl=0；

/.a=-2或4=1;

当a=1时，直线4："+2y-1=0与直线4:x+（。+\）y-a2=0重合，故。=1不符合题意，

ci=—2,

则“"-2”是“直线40+2尸1=0与直线，2：x+（a+lW+2=0平行”的充分必要条

件.

故选：C.

6.记等比数列｛为｝的前"项和为S,,若邑=3,S.=9,则几=（）

A.12B.18C.21D.27

【正确答案】C

【分析】根据等比数列的性质，可知等比数列｛%｝的公比4=7,所以邑,国-54，岳2-，成等

比数列，根据等比的中项性质即可求出结果.

【详解】因为，为等比数列｛%｝的前〃项和，且$4=3,国=9,易知等比数列｛4｝的公比

所以S4,国-S4,品-工成等比数列

所以&-凡）2=W（S12-S8）,所以62=3（号2-9）,解得品=21.

故选：C.

7.已知抛物线的准线是圆一+夕2-4=0与圆/+/+夕-3=0的公共弦所在的直线，则抛

物线的标准方程为（）

A.y2=4xB.y2=-4xC.x1-4yD.x2=-4y

【正确答案】C

【分析】根据给定条件，求出两个圆的公共弦所在的直线方程，再求出抛物线方程作答.

【详解】将两圆X?+/_4=0、，+/+夕_3=0的方程相减得：y=-l,

显然圆/+/_4=0的圆心。0）到直线y=-l距离1小于其半径2,

圆/+/+夕_3=0的圆心（0,-g）到直线y=-l距离;小于其半径孚，

因此直线>=-1是圆/+/-4=0与圆/+/+夕一3=0的公共弦所在的直线，即抛物线的

准线，

所以抛物线的标准方程为.》2=4y

故选：C

8.在公差不为零的等差数列｛%｝中，依次成等比数列，前7项和为49,则数列｛““｝

的通项％等于()

A.nB.n+\C.2n-lD.2〃+l

【正确答案】C

【分析】根据已知条件及等比中项，利用等差数列的前〃项和公式及等差数列的通项公式即

可求解.

【详解】设等差数列｛。“｝的公差为4("*0),则

因为a”%，%依次成等比数列，

所以即(q+4=q«+41),即解得d=24①或d=0(舍)，

因为等差数列的前7项和为49,

所以邑=7q+R二Dd=49,即q+3d=7②，

联立①②，得％=1,4=2,

所以数列｛%｝的通项公式为a“=l+("l)x2=2〃-l.

故选：C.

9.设片，鸟为椭圆6：]+£=1(。>6>0)与双曲线。2的公共的左右焦点，它们在第一象

限内交于点片乃是以线段.为底边的等腰三角形，且|丽用=2.若椭圆G的离心

-34'

率ewy,-,则双曲线G离心率取值范围是()

A.B.[3,+a>)C.(2,4]D.[3,4]

【正确答案】D

【分析】根据条件得到|加耳|=|百玛|=2c,结合椭圆的定义和离心率公式得到

P2c34

°=忌+*二=丁1£刀三,求得'的取值范围，再由双曲线的定义和离心率公式得到

|M闻+悭行|2+2c[_79_

「山—2c1

双曲线C2的离心率'[回用_|回6「2-2c~I-，即可求解.

C

【详解】因为耳，鸟为椭圆G：讶+%=l(a>b>0)与双曲线G的公共的左右焦点，

△龙用巴是以线段"片为底边的等腰三角形，且|叫|=2,

所以设|峭|=闺闾=2c(c>0),

「3夕

因为椭圆G的图心率et,

即6=|京，解得：C€，

|A/4rj|+"|A//r|^|2+2c\_79J|_45_

由于点〃在第一象限，

—-2c1

所以双曲线G的离心率~\MFt\-\MF2\~2-2c~l_j>

c

34.111nne，----e[3,4]

因为ce，则--1©-,T，即1।LJ,

45c43--1

c

所以双曲线的离心率e'取值范围是[3,4].

故选：D.

二、双空题

10.已知抛物线C:f=2处(p>0)上一点(机,8)到其焦点的距离为10.抛物线C的方程

为；准线方程为

【正确答案】x?=8y夕=-2

【分析】根据抛物线的性质得到其焦点为准线方程为y=-5(p>0),结合条件得

nr=2px8

到｛L(机一07)7+―〔8—=10，即可求解，

【详解】因为抛物线C:W=2々(。>0),

/\

所以抛物线C的焦点/。鸟,准线方程为y=-§(P>0),

由于抛物线C上的点(孙8)到其焦点的距离为10,

"/=22x8

।------------------------fm=+8

则有L，解得：“，

J(/n-0)7-+78-177=10[p=4

所以抛物线C的方程为V=8y,准线方程为y=-2,

故犬=8了；y=-2.

三、填空题

II.已知数列｛“"｝满足4=2,。“+|=1-J,则电023=.

【正确答案】2

【分析】首先根据数列的递推公式，确定数列的前几项，由此确定数列的周期，再求。2023.

【详解】因为q=2M“Z=1-',

%

।111111r111

所以。2=1-------=-,%=1------=-1,4=1------=2,%=1------=7，

a

aA24的42

所以数列｛〃“｝是周期为3的数列，出023=4*674+1=4=2.

故2

12.设椭圆的两个焦点分别为耳，F2,过£作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△大尸6为

等腰直角三角形，则椭圆离心率等于.

【正确答案】V2-1

【详解】设P到位于X轴上方，坐标为k,与］,

•••△丹尸工为等腰直角三角形,

：.\PF2\=\FtF2\,即贵=2c

a

22

即巴三J=2£,

a~a

a

•*.1-e2=2e，(o<e<l),

13.数列｛凡｝的前〃项和为S.，若可=诉不，则邑）23=

2023

【正确答案】

2024

【分析】利用裂项相消法求和.

11

【详解】因为q=

n(n+\)nn+\

所以S2023=q+〃2+。3+…+“2023

11

++...+

3420232024

7__12023

一~2024~2024

“2023

故----

2024

14.在长方体/BCD-44GA中，AB=4,40=3,AA｛=5,点E为48的中点，则点B

到平面DEC的距离为

【正确答案】30a^##~V469

【分析】作出长方体44G4,建立空间直角坐标系，求出平面。EC的法向量及

向量E8，由空间向量求点到平面的距离方法，即可求解.

【详解】作出长方体18CD-44GA，以。为原点，建立如图所示空间直角坐标系:

因为/8=4,/。=3,明=5,点E为48的中点,

所以8(3,4,0),C(0,4,0),R(0,0,5),£(3,2,0),

欧=(0,2,0),EC=(-3,2,0),ED.=(-3,-2,5),

设平面REC的法向量〃=（x,y,z）,

A八

(n-EC=-3x+2y=0八/、

则有＜XT，令x=10,取〃=(10,15,12),

n-EDX=-3x-2y4-5z=0

2x15_30x/469

所以点8到平面D、EC的距离d=

•V102+152+122469

故答案为.嚅

15.若直线y=2x+b与曲线y=3一体二7有公共点，则6的取值范围是

【正确答案】-2退-14643

【分析】作出图形，考查直线V=2x+6过点（0,3）以及直线y=2x+6与曲线了=3一«7二7

相切时实数b的值，数形结合可得出实数b的取值范围.

【详解】由，可得y-3=-"7^7,整理可得（y-3）2=4x-x2,

即（x-2p+（y-3）2=4,其中”3,

故曲线y=3-“x-x2表不圆（x-2）一+（y—31=4的下半圆，

作出直线y=2x+b与曲线y==7的图形如下图所示:

3fy=2x+b

Ox

当直线J=2x+6过点（0,3）时,b=3,

当直线y=2x+6与曲线J,_3=_"T予相切时，b<3,

圆口一2『+3-3）2=4的圆心坐标为（2,3）,半径为2.

由题意，可得=2,且6<3,解得6=-2痒1,

结合图形可知，当-26-146<3时，直线>=2x+b与曲线^=3.怎二7有公共点,

因此b的取值范围为-2亡-146M3.

故答案为.-2亡-M43

四、解答题

16.已知圆C的圆心在直线2x-y-2=0上，且与直线/：3x+4y-28=0相切于点P（4,4）.

（1）求圆C的方程；

（2）求过点。（6,-15）与圆C相切的直线方程.

【正确答案】（1）（X-1）2+/=25；（2）x=6或4x+3y+21=0.

【分析】（1）先得到过点P（4,4）且与直线/：3x+4y-28=0垂直的直线方程，与2x—y—2=0

联立求得圆心即可；

（2）若过点。（6,-15）的直线斜率不存在，即直线是x=6判断，若过点。（6,-15）的直线斜

率存在，设直线方程为丁+15=耳》-6）,再根据直线与圆相切求解.

【详解】（1）过点P（4,4）与直线/：3x+4y-28=0垂直的直线〃?的斜率为左=g,

4

所以直线〃，的方程为y-4=§（x-4）,即4x-3y-4=0.

4x—3y-4=0

由,解得C(l,o).

2x-y-2=Q

所以r=^（4-l）2+（4-0）2=5.

故圆C的方程为.（x-l『+/=25

（2）①若过点。（6,T5）的直线斜率不存在，即直线是x=6,与圆相切，符合题意:

②若过点。（6,75）的直线斜率存在，设直线方程为了+15=左（》-6）,

即fee—y—6左-15=0,

若直线与圆。相切，则有巴6"15|=5,

“2+1

解得左=一土4

4

此时直线的方程为-；x-y-7=0,即4x+3y+21=0.

综上，切线的方程为x=6或4x+3y+2I=0.

17.已知｛““｝为等差数列，前〃项和为S,（〃eN*）,也“｝是首项为2的等比数列，且公比大

于0,b2+b3=12,b3=a4-2a],S]]=llfe4.

（I）求｛6｝和也｝的通项公式；

（II）求数列｛/也,｝的前n项和为Tn（neN*）.

n+1

【正确答案】（I）an=3n-2,b„=2"（II）7],=10+（3n-5）-2

（I）根据等比数列的通项公式可计算得到公比9的值，再根据等差数列的通项公式和求和

公式可列出方程组，解出首项4和公差d的值，即可求得｛对｝和也,｝的通项公式；

（II）先根据第（I）题的结论得到数列包,泡｝的通项公式，然后运用错位相减法求出前〃项

和Z-

【详解】（I）由题意，设等差数列｛”,｝的公差为"，等比数列也,｝的公比为4,则4>0.

故2g(l+g)=12,解得q=2,

q+3d—2q—8

解得｛M・

由题意，得《

11a,=11x16

an=\+3("-1)=3n-2；bn=2-2"一'=2".

(II)由(I)知，a,也=(3〃-2)2.

Tn=%仇+a2b2+…+a,b“=lx2+4x2-+…+(3n—2)2",①

27；=lx22+4X2}+...+(3M-5)-Z+(3n-2)-2*',②

①-②，得

-7；=lx2+3x22+3x23+...+3-2"-(3"-2)-2"」

=2+12-(l+2+...+2"-2)-(3n-2)-2"+,

=2+12-'~2^'-(377-2)-2^'

=(5-3«)-2n+l-10.

.•.7；=10+(3"-5>2向.

关键点点睛：已知等差等比数列求通项公式，主要方法是解方程组，等差等比数列相乘的形

式的数列求和，利用错位和减法处理即可，属于中档题.

18.如图，在四棱锥P-/5CD中，底面NBCZ)是边长为4的正方形，P4D是等边三角形,

8_1_平面尸/。，E,F,G,。分别是尸的中点.

(2)求平面EFG与平面ABCD的夹角的大小；

TT

(3)线段尸4上是否存在点使得直线GM与平面EFG所成角为若存在，求线段的

长；若不存在，说明理由.

【正确答案】(1)证明见解析

(3)不存在，答案见解析

【分析】(1)先证PO1CD,即可由线线垂直证线面垂直;

(2)以。点为原点分别以OG,。尸所在直线为x轴，y轴、z轴建立空间直角坐标系,

分别求出平面EFG,平面”88的法向量，即可由法向量的夹角得出两平面的夹角；

(3)设相=2为，2w[0,l],求出GA/，可得cos聿=k)s(GM""|,整理得4储-64+7=1，

由△<(),方程无解，即可得不存在这样的点/

【详解】(1)证明：因为尸4。是正三角形，。是4。的中点，所以

又因为CD_L平面PAD,POu平面尸/。，所以P。_LCD.

AD。。=。,/。,8<=平面48。。，所以P0工面/8C0.

(2)以。点为原点分别以04、OG、OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.

则0(0,0,0),4(2,0,0),5(2,4,0),C(-2,4,0),D(-2,0,0),G(0,4,0),P(0,0,2^),£(-1,2,73),

F(-l,0,V3),EF'=(0,-2,0),EG=(1,2,-73)

•、\EF-m=0=0

设平面EFG的法向量为加=(MK2),所以F<X,即厂,

x+2y-y/iz=0

令z=l,则5=（退,0,1）

XX

又平面ZBCQ的法向量屋(0,0,1),所以|cos〈m,〃〉|=

IT7（^）2+l2xl2•

所以平面EFG与平面/8CO所成角为1TT

X

(3)假设线段PZ上存在点M,使得直线GM与平面EFG所成角为。，则直线GM与平面

EFG法向量一所成的夹角为二，

设尸河=2P42€[0,1],PM=九(2,0,-26)，

•••，、••，、••・，、

所以GM=GP+PM=(0,-4,2万)+(240,-2月)=R/1,-4,2/1一%))

所以cos&=|c0s(GW,/=―,==—,

6।'A2A/422-62+72

整理得4尤-62+7=1,A<0,即不存在这样的点M.

19.已知点尸为椭圆!+1=1(“>6>0)的右焦点,4为椭圆的左顶点,椭圆的离心率为更，

连接椭圆的四个项点得到的菱形的面积为4.

(1)求椭圆的方程；

(2)设过点A作斜率为k的直线交椭圆于另一点B,

①求FA-FB的取值范围；

②若|/8|=半，求左的值.

丫2

【正确答案】⑴?+/=1

⑵①[-1,7+4百)；②士五

【分析】(1)利用e=£=且和，可得到。=2/>,由题意可得到而=2,联立可求得

a2

a,b,即可求得答案；

(2)①设点8(占,必)，求出■方，利用数量积可得到"：而：-(2+6)芭+(2百+3),结合

-242即可求解；

②设直线/的方程为y=Hx+2),与椭圆联立得到一元二次方程，利用韦达定理可得到B

的坐标，再利用两点距离公式即可求解

【详解】(1)由6=£=立，得3/=府，

a2

3

再由。2一〃=已2=—/,解得Q=26,

4

由椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4可得!x2ax26=4,即时=2,

2

解方程组*2,解得"2,6=1,

2

所以椭圆的方程为r土+v=l;

4

(2)①由(1)可得C=VL所以根据题意可得4(-2,0),尸(退,0),设点8(XQ3

则FA=(-2-73,0),尸£=(再-百，必)

：.FA-FB=(-2-4?>)^-V3)=-(2+/3Aj)+(差+3；

由题意得一2<七42,所以-14-(2+6)*+(2jJ+3)<7+4jL

-1<F7：尸良7+46,即尸3即、的取值范围为［-1,7+4省)；

②由①可知N(-2,0),3(x”凹)，

由题意可知直线的斜率存在，设直线/的斜率为h则直线/的方程为y=雇了+2),

y=k(x+2)

于是力、8两点的坐标满足方程组一,消去y并整理得

—+y=1

14-

(1+4〃卜2+16h+(16公-4)=0,△=(16公)2-4(1+4公乂16公-4)>0,

16A^-42-8公从而…(督4k

所以-2为得再=

1+4公1+4421+4人②

441+工4百

1+4公一丁

1+公3

两边平方可得E=而整理得16r-19公一26=0,即伊-2乂16k2+13)=0,

解得%