青海省西宁市海湖中学2023-2024学年高二年级上册开学考试数学试题

西宁市海湖中学2023年九月高二年级数学

开学考试卷

考试时间：120分钟分值：150分命题人：田燕审题人：刘发青

第I卷（选择题,共60分）

一、选择题:

1.如果向量a=（l,2）,Z?=（4,3）,那么a—2。等于（)

A.(9,8)C.(7,4)D.(-9,-8)

2.已知复数z满足（l+2i）z=5,则复数z的虚部为（)

A.—2B.lC.iD.—2i

3.在△A3C中,内角A,B,。所对的边分别为b,c,△ABC的面积为2g,C=60°,

a2+b2=5ab，则c=()

A.2>/2B.2>/3C.4D.4V2

4.疫情期间，为了宣传防护工作，某宣传小组从A,B,C,D,E,/六个社区中随机选出两个进行宣

传，则该小组到E社区宣传的概率为（）

3211

A.——B.一C.一D.-

10553

5.高二（1）班7人宿舍中每个同学的身高分别为170,168,172,172,175,176,180,求这7人的第60百

分位数为（）

A.168B.175C.172D.176

6.已知a=(x-l,2),b=(x,l)且则卜+目=()

A.V2C.30D.2c

B.2

7.我国南北朝时期的数学家祖晒提出了著名的祖暄原理：“幕势既同，则积不容异”.意思是如果两等高的几何

体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等.现有同高的圆锥和棱锥满足祖胞原理

的条件，若棱锥的体积为3万，圆锥的侧面展开图是半圆，则圆锥的母线长为（）

A.273B.1C.V3D.B

3

8.为了解甲、乙两个班级学生的物理学习情况，从两个班学生的物理成绩（均为整数）中各随机抽查2（）个,

得到如图所示的数据图（用频率分布直方图估计总体平均数时，每个区间的值均取该区间的中点值），关于

甲、乙两个班级的物理成绩，下列结论正确的是（）

频数

7

一

-_--------■-一_

6

1----------

二

5二------

---一_

4-----

-二

-■二-■_

3-------

.-一-

2-------

-n---

1----n

・

一

・

-TTI一Tr

nJA-^l

一

一

一

|一

5758596768697987888998分数

甲班物理成绩乙班物理成绩

A.甲班众数小于乙班众数B.乙班成绩的75百分位数为79

C.甲班平均数大于乙班平均数估计值D.甲班的中位数为74

二、多项选择题：

9.已知z是复数，i是虚数单位，则下列说法正确的是（）

A.若zi=l+2i,则忖=6

8.若2=工+且4,则z2的虚部为走

222

C.复数z=2二上在复平面中对应的点所在象限为第二象限

3-4i

D.若复数z=m-l-（//7+2）i（??7eR）是纯虚数，则复数z的共轨复数为3i

10.一个口袋中有除颜色外完全相同的2个红球和3个白球，从中取出2个球，则（）

A.若不放回地抽取，则“取出2个红球”和“取出2个白球”是对立事件

B.若不放回地抽取，则第2次取到红球的概率与第1次取到红球的概率相等

C.若有放回地抽取，则取出1个红球和1个白球的概率是一

25

D.若有放回地抽取，则至少取出一个红球的概率是3

25

11.设户表示一个点，a,b表示两条直线，a,4表示两个平面，下列说法中正确的是（）

A.若PE。，Pea,则QUa

B.若ab=P,bu[3、则au月

C.若。〃力，aua,Peb,Pea,则bua

D.若a/?=/?,PGa,PG。,则PEZ?

12.如图，已知正方体ABC。—A4G2的棱长为2,E、b分别为A。、AB的中点，G在线段AG上运

动（包含两个端点），以下说法正确的是（）

A.三棱锥C-EFG的体积与G点位置无关

B.若G为AG中点，三棱锥c-EFG的体积为|

9

C.若G为4G中点，则过点E、F、G作正方体的截面，所得截面的面积是1

D.若G与G重合，则过点E、F、G作正方体的截面，截面为三角形

第n卷（非选择题，共90分）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的横线上。

13.已知向量a=人=（0,1）,则人在a方向上投影向量等于.

14.已知样本数据知松•，%的方差为4,则数据2%+3,2々+3,,2x,+3的标准差是.

12

15.设4,B,C为三个随机事件，若A与B互斥，B与C对立，且尸（A）="P（C）=—，则

P（A+B）=.

16.广场上的玩具石凳是由正方体截去八个一样大的四面体得到的（如图）.如果被截正方体的棱长为2逝，

那么玩具石凳的表面积为.

四、解答题：

17.已知平面向量a,〃满足,卜1,卜。一2。卜且a,人的夹角为60。.

（I）求w的值；

（II）求和a-2/j夹角的余弦值.

18.甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译密码的概率为0.7,乙破译密码的概率为0.6.记事件A：甲破译密

码，事件B：乙破译密码.

（1）求甲、乙二人都破译密码的概率；

（2）求恰有一人破译密码的概率.

19.为了解学生对党的“二十大”精神的学习情况，学校开展了“二十大”相关知识的竞赛活动，全校共有

1000名学生参加，其中男生550名，采用分层抽样的方法抽取100人，将他们的比赛成绩（成绩都在

[50,100]内）分为[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100]5组，得到如图所示的频率分布直方

图.

（1）求。的值以及女生被抽取的人数；

（2）估计这100人比赛成绩的85%分位数（小数点后保留2位）.

20.为普及消防安全知识，某学校组织相关知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其

43

在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为二，-；在第二

23

轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为一，一，甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.

34

（1）从甲、乙两人中选1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？

（2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.

21.如图为一个组合体，其底面ABCD为正方形，尸。，平面48。。，EC//PD,且

PD=AD=2EC=4.

（1）证明：应:〃平面HM；

（2）证明：A8J_平面PAD；

22.在△ABC中，角A,B,。所对的边分别是a,b,c,且满足bcosA+J5/2sin4-c-a=0.

（1）求角B；

(2)若6=26，求△ABC面积的最大值。

海湖中学高二数学开学考测试题(答案)

BADDBCACABDBDCDAC

1.【答案】B

【解析】

【详解】a—2"=(1,2)—(8,6)=(—7,-4),选B.

2.【答案】A

【分析】由复数的乘、除法运算化简复数，再由复数的定义即可得出答案.

【详解】因为z(l+2i)=5,所以z=-^-="1一方,故复数z的虚部为一2.

1)l+2i(l+2i)(l-2i)

故选：A.

3.【答案】D

【分析】根据正弦定理面积公式和余弦定理求解即可.

【详解】因为△ABC的面积为2g,。=60。，所以5徵叱=,。加皿。=立"=2石，即必=8.

mij

所以=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab=4ac=32,所以c=4夜.

故选：D.

4.【答案】D

【分析】列举出所有基本事件和满足题意的基本事件，根据古典概型概率公式可得结果.

【详解】从A,B,C,D,E,厂六个社区中，随机选择两个社区，有{AB},{AC},{A。}，

{A,E}，{A月，{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{C,D},{C,E},{C,F},{£>,£},{D,F},

{E,F},共15种结果；

其中该小组到E社区宣传的结果有：{AE}，{民可，{C,E},{0,号，{E,F},共5种；

该小组到E社区宣传的概率/?=-=-.

153

故选：D.

5.【答案】B

【解析】

【分析】将7人的身高从低到高排列，最后由百分位数的求法求解即可.

【详解】将7人的身高从低到高排列：168,170,172,172,175,176,180,

•••7x60%=4.2.•.第5个数据为所求的第60百分位数，即这7人的第60百分位数为175

故选：B

6.【答案】C

【解析】

【分析】先利用向量平行公式求出X的值，代回两向量坐标，算出的坐标，再利用向量的模公式进行求

解.

【详解】因为a=(x—1,2),Z?=(x,l),所以(x—1)x1=2x,解得x=—l,

所以a=(—2,2),匕=(—1,1),所以a+b=(—3,3),,+@J(一3丫+3?=30,

故选：C

7.【答案】A

【解析】

【分析】设圆锥的底面半径为一，则母线长为2r,高为也r,由同高的圆锥和棱锥满足祖眶原理的条件，

可知棱锥与圆锥的体积相等，进而求解.

【详解】由题，设圆锥的底面半径为r,因为圆锥的侧面展开图是半圆，则母线长为2r,高为后r,

因为现有同高的圆锥和棱锥满足祖唾原理的条件，所以棱锥与圆锥的体积相等，

所以V=；x(乃/)乂6厂=34，解得/■=6，所以母线长为26，

故选：A

【点睛】本题考查圆锥的体积公式的应用，考查理解分析能力.

8.【答案】C

【解析】

【分析】根据已知数据图，判断A；根据频率分布直方图计算乙班成绩的75百分位数，判断B；求出甲班的

中位数，判断C；求出两个班级的平均分，即可判断D.

【详解】由甲、乙两个班级学生的物理成绩的数据图可知甲班众数为79,

由频率分布直方图无法准确得出乙班众数，A错误；

对于乙班物理成绩的频率分布直方图，前三个矩形的面积之和为(0.020+0.025+0.030)x10=0.75,

故乙班成绩的75百分位数为80,B错误；

由甲班物理成绩数据图可知，小于79分的数据有9个，79分的数据有6个，

故甲班的中位数为79,D错误；

e……d—57x2+58+59+67+68x2+69x2+79x6+87+88x2+89+98…

甲班平均数为却=--------------------------------------------------------------=74.8,

乙班平均数估计值为需=10(55x0.02+65x0.025+75x0.03+85x0.02+95x0.005)=71.5<74.8,

即甲班平均数大于乙班平均数估计值，D正确，

故选：C

9【答案】ABD

【分析】对于A,复数的除法求出z,结合复数模公式，即可求解；

对于B,结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解；

对于C,结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解；

对于D,结合纯虚数和共朝复数的定义，即可求解.

【详解】对于A,zi=l+2i,则2=匕2=2-1,故忸="2+(—1)2=旧,故A正确；

对于B,z=-+—i,则z2=L-3+@i=-』+"i,其虚部为且，故B正确；

22442222

对于C,z=-二(2二i)9+4)=十匕,故复数z在复平面中对应的点(2,_L1所在象限为第一象

3-4i(3-4i)(3+4i)55155)

限，故C错误；

,、，、m—\—0

对于D,复数z=/7?—1—(〃?+2)iWeR)是纯虚数，则<卜+2)w0，解得=L

故z=-3i,所以Z=3i,故D正确.

故选：ABD.

10.【答案】BD

【分析】根据对立事件的概念判断A选项即可；结合古典概型，列举基本事件，分别求对应的概率即可判断

BCD.

【详解】对A,由题知，不放回地抽取2个球包括2个都是红球、2个都是白球和1个红球1个白球，共3

种情况，所以“取出2个红球”和“取出2个白球”是互斥事件，但不是对立事件，故A错误；

对B,记2个红球分别为a,h,3个白球分别为1,2,3,不放回地从中取2个球的样本空间

fl1={ab,aX,al,a3,ba,bl,b2,b3,la,1Z?,12,13,2a,2b,21,23,3a,3。31,32}共20种，

记事件A为“第1次取到红球”，事件8为“第2次取到红球”，

贝!J4={"，矶a2,a3,如，矶62^3}，B=[ab,ba,la,lb,2a,2b,3a,3b\,所以P(A)=P(B),故B正确；

对C,有放回地从中取2个球的样本空间

Q,={aa,ab,al,a2,a3,bb,ba,b\,b2,b3,la,1Z?,11,12,13,2<z,2Z>,21,22,23,3a,3b,31,32,33}.共25种；

记事件C为“取出1个红球和1个白球"，则。={矶42,43,罚力2万3,14,g,2。,2/?,3。,3〃},共12种，

12

所以「（。）=不，故c错误；

对D,记事件。为“取出2个白球"，则£>={11,12,13,21,22,23,31,32,33},共9种；

9916

所以P（O）=二，所以至少取出1个红球的概率为1一二=、，故D正确.

'/252525

故选：BD

11.【答案】CD

【解析】

【分析】根据公理1以及直线在平面内的定义，逐一对四个结论进行分析，即可求解.

【详解】当aa=P时，Pea,Pea,但aUa,故A错；当a万=「时，B错；

如图：；a〃。，Pe。，；.Pea,.,.由直线a与点P确定唯一平面a,又a〃b,由。与b确定唯一平面

但夕经过直线a与点尸，与a重合，，。匚。，故C正确；

两个平面的公共点必在其交线上，故D正确.

故选：CD.

12.【答案】AC

【分析】根据锥体的体积、正方体的截面等知识对选项进行分析，由此确定正确答案.

【详解】对于A选项，由正方体A8CD—44G。可得平面A4GA〃平面ABCD,AGu平面

AAGA所以AG〃平面ABC。，又GeAG，所以点G到平面ABC。的距离为定值即AA的长

因为％-EFG=%-C£F=；SACEF.AA,由于三角形CM的面积固定，所以三棱锥C—E9G的体积与G点

位置无关，A选项正确；

11313

对于B选项，5人「“二2乂2—x1x1—x1x2x2=—,所以匕二匕「「五?=—x—x2=1,B选项错

误；对于C选项，当G为AG中点时，连接耳。1,则G是4。的中点，连接

c,

由于E,产分别是AD,AB的中点，所以EF〃BD,由于8D〃片。一则EE〃与R,

即过点£,F,G作正方体的截面是等腰梯形£下4。-D1E=BF=A

372

等腰梯形的高为

F

37219

所以等腰梯形所耳A的面积为（20+血卜---------X—=一C选项正确;

222

对于D选项，当G与a重合时，延长E/交CB的延长线于G,连接GG，交BB］于H,连接产”，

延长FE交。。的延长线于/,连接G/，交DA于J,连接臼，

则五边形是过点E,F,G作正方体的截面，D选项错误.

故选：AC.

13.【答案】

【解析】

【分析】求出。"=百，卜|=2,根据投影向量的概念即可求得答案.

【详解】由题意向量a=（l,百），8=（0,1）,则卜|=2,

则b在。方向上的投影向量为普・吕

\a\\a\

故答案为:

14.4

7

15.【答案】—

12

【解析】

【分析】由5与C对立可求出P（3）,再由A与3互斥，可得P（A+3）=尸（A）+P（5）求解.

21

【详解】・・・8与C对立，・・・P（3）=1—P（C）=l—1=§,

117

・・・A与5互斥，，P（A+B）=P（A）+P（B）=-+-=—.

_,7

故答案为：—.

16.【答案】24+86

【解析】

【分析】分别计算每个表面和每个顶点被截后的图形的面积，再计算表面积即可.

【详解】依题意，六个表面被截后，都是正方形，边长为2,每个正方形的面积为4,八个顶点被截后，都是

等边三角形，边长为2,每个三角形的面积为@x2?=6,所以玩具石凳的表面积为

4

5=6x4+8x73=24+873.

故答案为：24+8g.

17.【答案】（I）2；（H）

26

【解析】

【详解】试题分析：（I）利用模长平方与向量的平分相等，将已知忸-2可=至两边平方展开，得到关于

W的方程解之即可；（】1）分别求出2。-〃和。-2〃模长以及数量积，利用数量积公式求夹角.

试题解析：（I）由已知得|3a—2匕『=9+4卜］一12a/=9+41『一12xWxcos6（）o=13,即

3网一2=0,解得忖=2.

(ID|2tz-Z?l=V4+4-4X2COS60°=2,|a-2^1=Vl+16-4x2cos60°=V13.

又(2a-4"2b)=2+8-5x2cos60o=5.

(2。一切_5_5713

所以2a-。a-2b夹角的余弦值为

囚-即刃2VB26

18.【答案】(1)0.42；(2)0.46.

【解析】

【分析】(1)由相互独立事件概率的乘法公式运算即可得解；

(2)由互斥事件概率的加法公式及相互独立事件概率的乘法公式运算即可得解.

【详解】(1)事件“甲、乙二人都破译密码”可表示为AB,事件A,8相互独立，

由题意可知P(A)=0.7,P(6)=0.6,所以P(AB)=P(A>P(6)=0.7x0.6=0.42；

(2)事件“恰有一人破译密码”可表示为初+A豆，且入8,A豆互斥

所以P(M+A5)=P(M)+P(AE)=P(N)P(5)+P(A)P(X)

=(1-0.7)X0.6+0.7X(1-0.6)=0.46.

19.【答案】(1)4=0.035,45(2)86.67

【分析】(1)根据频率分布直方图的性质，列出方程求得。的值，结合分层抽样的分法，求得女生被抽取的

人数；

(2)根据频率分布直方图的百分位数的计算方法，即可求解.

【详解】(1)解：由频率分布直方图的性质，可得(0.010+0.020+a+0.030+0.005)xl0=l,

解得。=0.035,其中女生被抽取的人数为幽二变义100=45.

1000

(2)解：由频率分布直方图可得：(0.010+0.020+0.035)x10=0.65<0.85,

(0.010+0.020+0.035+0.030)x10=0.95>0.85,

,则85%分位数为80+二------X10®86.67.

0.30

20.【答案】(1)派甲参赛赢得比赛的概率更大(2)—

【分析】(1)根据相互独立事件概率乘法公式求出甲、乙赢得比赛的概率，即可判断；

(2)记事件。为“甲赢得比赛”，E为“乙扁得比赛”，利用对立事件与相互独立事件的概率公式求出

P(DE),即可得解.

【详解】（1）记事件4为“甲在第一轮比赛中胜出”，A2为“甲在第二轮比赛中胜出”，

片为“乙在第一轮比赛中胜出"，B]为"乙在第二轮比赛中胜出”，

4233

则4，4，B],相互独立，且P（4）=丁P（4）=-,P（4）=丁P（B2）=-.

因为在两轮比赛中均胜出视为赢得比赛，则AA2为“甲赢得比赛”，Bf2为“乙赢得比赛”，

428339

所以「（A4）=尸（A）?（4）L=R，P（BiB2）=P（Bl）P（B2）=-x-=-.

•JJJLJJr*41/

89

因为一〉一，所以派甲参赛赢得比赛的概率更大.

1520

（2）记事件。为“甲赢得比赛”，E为“乙赢得比赛”，则“两人中至少有一人赢得比赛”=。E.

89

由⑴知,P(D)=P(A1A2)=~.P(E)=P(B,B2)=-,

所以P(万)=1—P(£>)=1-色£P(E)=1-P(£)=1-9__H_

20-20

所以「（£>E）=1-P（D£）=1-P（D）P（E）=1-^XH=|^

故两人中至少有一人赢得比赛的概率为——.

300

21.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；

【分析】（1）先证明EC〃平面PDA,〃平面PZM,继而得到平面£BC〃平面尸ZM,