抛物线的焦点弦性质

关于抛物线的焦点弦性质xOyABF过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(1)|AB|=x1+x2+p(2)通径长为2p第2页,共20页，2024年2月25日，星期天AXyOFBlA1M1B1M过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(5)以AB为直径的圆与准线相切.故以AB为直径的圆与准线相切.第3页,共20页，2024年2月25日，星期天XyFAOBA1B1过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(6)焦点F对A、B在准线上射影的张角为90o。123456第4页,共20页，2024年2月25日，星期天过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(3)x1x2=p2/4;y1y2=-p2;证明：思路分析：韦达定理xOyABF第5页,共20页，2024年2月25日，星期天xOyABF第6页,共20页，2024年2月25日，星期天F过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(3)x1x2=p2/4;y1y2=-p2;法3：利用性质焦点F对A、B在准线上射影的张角为90°。第7页,共20页，2024年2月25日，星期天代入抛物线得y2－２ｐmｙ－２ｐs＝０，练习(1).若直线过定点M(s,0)(s>0)与抛物线y2=2px(p>0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2),求证:x1x2=s2;y1y2=-2ps.证明：设AB的方程为ｘ=mｙ＋s（m∈Ｒ）

(2).若直线与抛物线y2=2px(p>0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2),且有x1x2=s2;y1y2=-2ps.求证：直线过定点(s,0)(s>0)证明：lyy2=2pxAMxB第8页,共20页，2024年2月25日，星期天过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(4)若直线AB的倾斜角为θ,则|AB|=2p/sin2θxOyABFθ证明:思路分析|AB|=|AF|+|BF|=

思考：焦点弦何时最短？过焦点的所有弦中，通径最短第9页,共20页，2024年2月25日，星期天xOyABF过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则第10页,共20页，2024年2月25日，星期天例2.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的一条直线和抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2),(1)AO交准线于C,则直线CB平行于抛线的对称轴.xyFABCO第11页,共20页，2024年2月25日，星期天例2.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的一条直线和抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2),(2)过B作BC⊥准线l,垂足为C,则AC过原点O共线.xyFABCO第12页,共20页，2024年2月25日，星期天例3.

A、B是抛物线y2=2px(p>0)上的

两点，且OA⊥OB，

1.求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；

2.求证：直线AB过定点；

3.求弦AB中点P的轨迹方程；

4.求△AOB面积的最小值；

5.求O在AB上的射影M轨迹方程.二、抛物线中的直角三角形问题第13页,共20页，2024年2月25日，星期天例3.

A、B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点，且OA⊥OB，

(1)求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；[解答](1)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，中点P(x0,y0)，∵OA⊥OB∴kOAkOB=-1，∴x1x2+y1y2=0∵y12=2px1，y22=2px2

∵y1≠0,y2≠0,∴y1y2=

4p2∴x1x2=4p2.第14页,共20页，2024年2月25日，星期天例3.

A、B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点，且OA⊥OB，(2)求证：直线AB过定点；[解答](2)∵y12=2px1，y22=2px2∴(y1

y2)(y1+y2)=2p(x1

x2)∴AB过定点T(2p,0).第15页,共20页，2024年2月25日，星期天同理，以代k得B(2pk2,-2pk).例3.

A、B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点，且OA⊥OB，

(3)求弦AB中点P的轨迹方程；即y02=px0-2p2，∴中点M轨迹方程y2=px-2p2(3)设OA∶y=kx，代入y2=2px得:k0，第16页,共20页，2024年2月25日，星期天(4)当且仅当|y1|=|y2|=2p时，等号成立.例3.

A、B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点，且OA⊥OB，(4)求△AOB面积的最小值；第17页,共20页，2024年2月25日，星期天(5)法一：设M(x3,y3),则例3.

A、B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点，且OA⊥OB，(5)求O在AB上的射影M轨迹方程.由(1)知，y1y2=-4p2，整理得：x32+y32-2px3=0，∴点M轨迹方程为x2+y2-2px=0(去掉(0,0)).第18页,共20页，2024年2月25日，星期天∴M在以OT为直径的圆上∴点M轨迹方程为(x-p)2+y2=p2,去掉(0,0).

评注：此类问题要充分利用(2)的结论.∴

∠OMT=90

,又OT为定线段法二：∵