2023年天津市红桥区九年级上学期数学期末试卷及答案

2023年天津市红桥区九年级上学期数学期末试卷及答案

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1.下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）

【答案】A

【解析】

【详解】分析：根据中心对称图形的性质得出图形旋转180。，与原图形能够完全重合的图

形是中心对称图形，分别判断得出即可.

解答：解:A.旋转180。，与原图形能够完全重合是中心对称图形；故此选项正确；

B.旋转180。，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项错误；

C.旋转180。，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项错误；

D.旋转180。，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项错误；

故选A.

点评：此题主要考查了中心对称图形的性质，根据中心对称图形的定义判断图形是解决问题

的关键.

2.下列事件中，属于不可能事件的是（）

A.通常加热到100℃时，水沸腾

B.篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中

C.掷一次骰子，向上一面的点数是6

D.任意画一个三角形，其内角和是360°

【答案】D

【解析】

【分析】不可能事件是在一定条件下一定不会发生的事件，依据定义即可求解.

【详解】解：A.通常加热到100℃时，水沸腾，是必然事件，不符合题意；

B.篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中是随机事件，不符合题意；

C.掷一次骰子，向上一面的点数是6是随机事件，不符合题意；

D.任意画一个三角形，其内角和是360°,是不可能事件，符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查事件的分类，事件根据其发生的可能性大小分为必然事件、随机事件、不

可能事件，理解定义是关键.

3.用配方法解一元二次方程xJ6x-4=0,下列变形正确的是(

A.(x-6)、-4+36B.(x-6)2=4+36C.(x-3)2=-4+9D.(x-3)

2=4+9

【答案】D

【解析】

【分析】配方时，首先将常数项移到方程的右边，然后在方程的左右两边同时加上一次项系

数一半的平方，据此进行求解即可.

【详解】x2-6x-4=0,

x2-6x=4,

x2-6x+9=4+9,

(x-3)2=4+9,

故选：D.

4.一元二次方程x?+4x-3=0的两根为xi、xz,则xjx?的值是()

A.4B.-4C.3D.-3

【答案】D

【解析】

【分析】根据根与系数的关系求解.

【详解】解：•.•一元二次方程X2+4X-3=0的两根为xi、X2,

••Xi*X2~=—3；

故选：D.

【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关

系是解题的关键.

5.正六边形绕其中心旋转一定角度后，与自身重合，旋转角至少为()

A.30°B.60°C.120°D.180°

【答案】B

【解析】

【分析】正六边形可以被经过中心的射线平分成6个全等的部分，则旋转的角度即可确定.

【详解】解：正六边形可以被经过中心的射线平分成6个全等的部分，则旋转至少

360+6=60度，能够与本身重合.

故选：B.

【点睛】本题考查旋转对称图形的知识，注意正六边形是旋转对称图形，确定旋转角的方法

是需要准确掌握的内容.

6.某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为

x米，则可列方程为()

A.x(x-10)=200B.2x+2(x-10)=200C.x(x+10)=200D.2x+

2(x+10)=200

【答案】C

【解析】

【详解】解：•••花圃的长比宽多10米，设花圃的宽为x米,

长为(x+10)米.

;花圃的面积为200,

，可列方程为x(x+10)=200.

故选：C.

7.已知关于X的方程％2+/m+1=0根的判别式的值为12,则加的值是()

A.+3B.3C.4D.+4

【答案】D

【解析】

【分析】先根据关于x的方程/+/用+1=0的根的判别式的值为12,即可得出关于m的一

元二次方程，求出m的值即可.

【详解】解：：关于x的方程/+如+1=()的根的判别式的值为12,

A=Z?2—4ac—m2—4=12，

解得m—+4.

故选：D.

【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程

加+陵+c=O(awO)中，&=匕2_4/是解答此题的关键.

8.将抛物线y=5/向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线是()

A.y=5(%+2)2+3B.y—5(%+2)2—3

C.y=5(x-21+3D.y=5(x-2)2-3

【答案】B

【解析】

【分析】根据二次函数的平移可直接进行求解.

【详解】解：将抛物线＞=5必向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线是

y=5(x+2)2—3；

故选B.

【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”是解题的关

键.

9.若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为（）

A.120°B.180°C.240°D.300°

【答案】B

【解析】

【详解】试题分析：设母线长为R,底面半径为r,

.,.底面周长=2nr,底面面积=nr2,侧面面积=nrR,

•••侧面积是底面积的2倍，

.".2JIr2=JIrR,

；.R=2r,

H冗R

设圆心角为n,有——=2mr=nR,

180

.•.n=180°.

故选B.

考点：圆锥的计算

10.已知二次函数y=o%2+6x+c的y与尤的部分对应值如下表：

X・•・013・・・

y.・・-3131.・•

则下列罚断中正确的是（）

A.抛物线开口向上B.抛物线与y轴的交点在y轴负半

轴上

C.当x=4时，y>0D.方程QC?+bx+c=O的正根在3

与4之间

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意和表格中的数据可以得到该函数的对称轴、开口方向，从而可以判断各个

选项中的说法是否正确，从而可以解答本题.

【详解】解：由图表可得，

该函数的对称轴是直线x=59=3,有最大值，

22

抛物线开口向下，故选项A错误，

抛物线与y轴的交点为（0,1）,故选项B错误，

x=T和x=4时的函数值相等，则x=4时，y=-3<0,故选项C错误,

x=3时，y=l,x=4时，y=-3,方程ax,bx+cR的正根在3与4之间，故选项D正确，

故选：D.

【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找

出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答.

11.如图，是《。的直径，A,B,C是。上的三点，ZACM=6Q°,B点是AN

的中点，P点是"N上一动点，若。的半径为1,则1%+?8的最小值为（）

A.1B.C.72D.73-1

【答案】C

【解析】

【分析】作点B关于MN的对称点B',连接OA、OB、OB'、AB，,根据轴对称确定最短路

线问题可得PA+PB的最小值=人8',根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角

的2倍求出NA0M=120°,然后可得NA0N=60°,再求出NB0N=30°,根据对称性可得

NB，0N=ZB0N=30°,然后易得NA0B，=90。，从而判断出△A0B，是等腰直角三角形，

再根据等腰直角三角形的性质可得AB'的长度.

【详解】解：作点B关于MN的对称点B，,连接0A、OB、OB'、AB，,则PA+PB的最小值

=AB，,

VZACM=60°,

ZA0M=120°,

AZA0N=180°-ZA0M=60°,

•••点B为AN的中点，

/BON=g/AON=!X60°=30°,

由对称性可得，ZB'0N=ZB0N=30°,

/.ZA0Bz=ZA0N+ZB,0N=60°+30°=90°,

.-.△A0B,是等腰直角三角形，

•'•AB'=V20A=72-即PA+PB的最小值为逝

故选C.

【点睛】本题考查了轴对称一最短路线问题、圆周角定理以及等腰直角三角形的性质，通过

作辅助线构造出等腰直角△AOB'是解题的关键.

12.如图，点A的坐标为(-3,2),OA的半径为1,P为坐标轴上一动点，PQ切。A于点

Q,在所有P点中，使得PQ长最小时，点P的坐标为()

A.(0,2)B.(0,3)C.(-2,0)D.(-3,

0)

【答案】D

【解析】

【分析】连接AQ、PA,如图，利用切线的性质得到/AQP=90°,再根据勾股定理得到PQ=

VAP2-1-则AP，X轴时，AP的长度最小，利用垂线段最短可确定P点坐标.

【详解】解：连接AQ、PA,如图，

•••PQ切OA于点Q,

.,.AQ±PQ,

ZAQP=90°,

PQ==J”?-1,

当AP的长度最小时，PQ的长度最小，

：AP，x轴时，AP的长度最小，

，AP_Lx轴时，PQ的长度最小，

VA（-3,2）,

此时P点坐标为C-3,0）.

故选：D.

【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了勾股定理，垂

线段最短.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13.不透明袋子中装有5个红球，3个绿球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取

出1个球，则它是红球的概率是.

【答案】|

【解析】

【分析】用红球的个数除以总球的个数即可得出答案.

【详解】解：不透明袋子中装有5个红球，3个绿球，

从袋子中随机取出1个球，则它是红球概率是3=：.

故答案为：—.

8

【点睛】本题考查了概率公式.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

14.如图，A,B是。上的两点/4OB=120。，C是的中点，则/A的大小

（度）.

【答案】60°

【解析】

【分析】连接0C,根据C是A3的中点可求出NAOC=60°,进而证明AOAC是等边三角

形，即可得到2的大小.

【详解】解：连接0C,

：C是A3的中点，N4C®=120。,

ZAOC=6Q°,

VOA=OC,

.-.△OAC是等边三角形,

：.ZA=6Q°,

故答案为60°.

【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，证明AOAC是等边三角形是解题关键.

15.生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共赠送

了210件，则全组共有名同学.

【答案】15

【解析】

【分析】根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题.

【详解】解：设全组共有x名同学，x(x-1)=210,

解得，x=15

故答案为15.

【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程.

16.如图，A3是I。的直径，C,G是.。上的两个点，OC//AG.若NG4c=28。,

则NBOC的大小=______度.

C

【答案】56

【解析】

【分析】首先根据平行线的性质可求得NG4C=NOC4=28°,再根据等边对等角及三角

形外角的性质，即可解决问题.

【详解】解：OC//AG,

\ZGAC=ZOCA=2S°,

OA=OC,

,-.ZOAC=ZOCA=28°,

ZBOC=ZOAC+ZOCA=28°+28°=56°,

故答案为：56.

【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，等腰三角形的性质等知识，解题

的关键是掌握平行线的性质，求出NQ4C=NOC4=28°.

17.如图，y=。必的图象上可以看出，当一1〈无<2时，y的取值范围是.

【答案】0<y<4

【解析】

【分析】根据图象可直接进行求解.

【详解】解：由图象可知：当—时，y的取值范围是0<y<4；

故答案为0<y<4.

【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关

键.

18.在RtZkABC中，ZACB=90°,ABAC=30°,BC=6.

(1)如图①，将线段C4绕点C顺时针旋转30°,所得到与A3交于点M,则的长

⑵如图②，点D是边AC上一点D且AD=2百，将线段AD绕点A旋转，得线段AD',

点F始终为BD'的中点，则将线段AD绕点A逆时针旋转度时，线段CF的

长最大，最大值为

图①图②

【答案】①.6150③.6+73

【解析】

【分析】（1）根据旋转的性质及等腰三角形、等边三角形的性质求解；

（2）取A3中点E连接所、EC,所以ER为中位线，求出所，再利用CE+ERNCF

求b的最大值及此时的旋转角.

详解】解：（1）如图1所示：

在RtAABC中，ZACB=90°,ABAC=30°,BC=6,

ZABC=90°-30°=60°,

将线段C4绕点C顺时针旋转30°,

/.ZBAC=ZACM

.•.AAMC为等腰三角形，

ZMCB=90°-ZACM=60°,

/.ZMCB=NB=60°

.•.AMBC为等边三角形，

MC=MB=MA=BC=6,

故答案为：6；

CB

图1

(2)在RtAABC中，ZACB=90°,ABAC=30°,BC=6,

:.AB=12,

取A3中点E连接M、EC,如图2,

:.EF为中位线,

又AD=26，

:.EF=-AD'=-AD=y/3,

22

CE+EF>CF,

・••当CE、即共线时，CF最大,CF最大值=EC+EF=6+6，

此时，CF//AD',

ZDAC=180°-30°=150°,

即当将线段AO绕点A逆时针旋转150°时，线段C厂的长最大，最大值为6+百；

故答案：150；6+73.

图2

【点睛】此题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质和等腰三角形、等边三角形以及直角

三角形的性质是解答此题的关键.

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分）

19.解下列方程：

（1）3）+x-3=0；

（2）3X2-5X+1=0.

【答案】（1）石=-l,x2=3

“、5+V135-V13

（/）X=----------------.X,=-----------------

66

【解析】

【分析】（1）根据因式分解法求解一元二次方程即可；

（2）根据公式法进行求解一元二次方程即可.

【小问1详解】

解：3）+%-3=0

（x-3）（x+l）=0

%—3=0或1+1=0,

玉—-—1,%2=3;

【小问2详解】

解：3d—5%+1=0

*.*a=3,b=—5,c=1,

・・・△=/_4ac=25-12=13>0，

.-b+yjb2-4ac5±V13

••x=-----------------=----------'

2a6

.5+A/135-713

••x.-----,x,=---------

16~6

【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键.

20.在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标上数字1,2,3,4.小明先随机

摸出1个小球，放回，小强再随机摸出1个小球，记小明摸出的球的标号为小小强摸出球

的标号为

（1）利用画树状图或列表的方法，写出取出的两个小球所有可能的结果；

（2）小明和小强共同协商一个游戏规则：当龙〉》时，小明获胜，否则小强获胜，问他们

制定的游戏规则公平吗？请说明理由.

【答案】（1）见解析（2）不公平，理由见解析

【解析】

【分析】（1）画出树状图即可解答；

⑵根据树状图即可分别求得小明获胜和小强获胜的概率，据此即可判定.

【小问1详解】

解：列表如下：

1234

1(1,1)。，2）。，3）（L4）

2（2，1）（2,2）（2,3）（2，5

3（3」）（30（3,3）（3,4）

4HD（4,2）（4,3）（4,4）

【小问2详解】解：不公平；

理由如下：

由（1）知:共有16种等可能的结果,

其中龙＞》的有6种，

故小明获胜的概率为：—

168

小强获胜的概率为：—=—

168

35

一H一,

88

他们制定的游戏规则不公平

【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断.判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率

相等就公平，否则就不公平.

21.如图，在半径为50mm的二。中，弦AB长50mm.求：

（1）NA06的度数；

（2）点0到A3的距离.

【答案】（1）60°；（2）25如nun

【解析】

【分析】（1）证明JL03是等边三角形，从而可得结论；

（2）过点。作0CLAB,垂足为点C,利用垂径定理求解AC,3C,再利用勾股定理可得答

案.

【详解】解：（1）VOA,0B是。。的半径,

.'.0A=0B=50mm,

X''"AB=50mm,

.•.OA=OB=AB,

.'.△AOB是等边三角形，

/.ZA0B=60°.

(2)过点。作0CLAB,垂足为点C,如图所示,

由垂径定理得AC=CB=1^8=2511™,

在RtAOAC中0C：2=0A2—AC2=5()2—252=25?X3,

OC=7252x3=2573(nun),

即点0至！JAB的距禺是25min.

【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，圆的性质，垂径定理的应用，勾股定理的

应用，熟练垂径定理的运用是解题的关键.

22.已知△ABC,以AB为直径的。。分别交AC于D,BC于E,连接ED,若ED=EC

(1)求证：AB=AC；

(2)若AB=4,BC=2百，求CD的长.

3

【答案】(1)证明过程见解析；(2)-

2

【解析】

【分析】(1)由等腰三角形的性质得到/EDC=/C,由圆外接四边形的性质得到/EDC=/B,

由此推得/B=NC,由等腰三角形的判定即可证得结论；

(2)连接AE,由AB为直径，可证得AELBC,由(1)知AB=AC,由“三线合一”定理得到

BE=CE=1BC=73,由相似三角形的判定及性质即可得出结果.

【详解】(1)VED=EC

・・・NEDC=NC,

NEDC=NB

ZB=ZC

.\AB=AC；

(2)连接AE,

VAB直径，

AAEIBC,

由(1)知AB=AC,

J；­

；.BE=CE=5BC=6，

•，-ZC=ZC,ZEDC=ZB

.'.△CDE^ACBA,

CDCE

"~CB~~CA

VAC=AB=4,

.CD拒

..访F

【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定及性质，正

确的作出辅助线是解题的关键.

23.某商店销售一种销售成本为每件40元的玩具，若按每件50元销售，一个月可售出500

件.销售价每涨1元，月销售量就减少10件.设销售价为每件x元（x》50）,月销量为y

件，月销售利润为w元.

（1）当销售价为每件60元时，月销量为件，月销售利润为元；

（2）写出y与x的函数解析式和w与x的函数解析式；

（3）当销售价定为每件多少元时会获得最大利润？求出最大利润.

【答案】01）400；8000；（2）w=-10X2+1400X-40000,（50WxW100）；（3）销售价定为

每件70元时会获得最大利润，最大利润为9000元

【解析】

【分析】（1）根据月销售量=500-（定价-50）X10,即可求出当销售单价定为60元时的

月销售量，再利用月销售利润=每件利润x销售数量，即可求出当销售单价定为60元时的

月销售利润；

(2)根据以上所列等量关系可得函数解析式；

(3)将w关于x的函数解析式配方成顶点，再利用二次函数的性质求解可得.

【详解】(1)当销售价为每件60元时，月销量为500-10X(60-50)=400(件)，

月销售利润为400X(60-40)=8000(元)，

故答案为：400,8000；

(2)由题可得：y=500-10(x-50)=-10x+1000,

w=(x-40)(-10x+1000)=-10X2+1400X-40000,(50WxW100)；

(3)由题可得叩=-10X2+1400X-40000=-10(x-7O)2+9000,

-10<0,

...当x=70时，w取得最大值9000,

故销售价定为每件70元时会获得最大利润，最大利润为9000元.

【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题关键是读懂题意找准等量关系正确列出

函数关系式，在利用二次函数的性质解答

24.在平面直角坐标系中，点4(6,0),点6(0,8),把一A03绕原点。逆时针旋转，得

△COD,其中，点C,。分别为点A,B旋转后的对应点，记旋转角为a(0°<a<360。).

(1)如图，当戊=45°时，求点。的坐标；

(2)当轴时，求点D的坐标(直接写出结果即可).

【答案】(1)C(30,3夜)

⑵点。的坐标为„/或

【解析】

【分析】(1)如图，过点C作于E.解直角三角形求出OE,CE即可.

(2)分两种情形：CD在x轴上方时，设CD交，轴于尸，过点。作。轴于T.求

出OT,。丁即可.当CD在无轴下方时，同法可得.

【小问1详解】

解：如图，过点。作CEJ_Q4于石.

OA=OC=6,

NCOE=45。,

/.EC=OE=3A/2，

:.C（3&,3应）.

【小问2详解】

解：如图，CD在x轴上方时，设CD交了轴于歹，过点。作。T，光轴于T.

CD|x轴，

CDLOF,

OB=OD=8,OC=OA=^6,

:.CD=y/0C2+0D2=762+82=10>

S=-ODOC=-CDOF,

0nDnCc22

5“ODOC24

/.DT=OF=---------=——,

当CD在x轴下方时，同法可得。

综上所述，满足条件的点。的坐标为(3卜2二24,、或[(学32，-g24j、.

【点