2023学年岳阳市岳阳县高一数学3月第一次月考试卷及答案解释

2023学年岳阳市岳阳县高一数学3月第一次月考试卷2024.3满分：150分时量：120分钟一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．的三内角所对边分别为，若，则角的大小（

）．A． B． C． D．2．已知，是虚数单位，若，则（

）A． B． C． D．3．已知扇形的周长为，圆心角为，则此扇形的面积是（

）A． B． C． D．4．在中，角的对边分别为，且，，，则A． B． C．或 D．或5．化简A． B． C． D．6．设的内角所对的边分别为,若,则的形状为A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形7．已知向量，，则下列命题中错误的是（

）A． B．与向量垂直的一个单位向量是C． D．向量在向量上的投影向量是8．在中，、、分别为内角、、的对边，，，点为线段上一点，，则的最大值为（）A． B． C． D．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．已知复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点为P0，复数z满足，下列结论正确的是（

）A．P0点的坐标为（2，1）B．复数的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称C．复数z对应的点P在一条直线上D．P0与复数z对应的点P间的距离的最小值为10．计算下列各式，结果为的是（

）A． B． C． D．11．已知函数，则（

）A．的最大值为2B．函数的图象关于点对称C．直线是函数图象的一条对称轴D．函数在区间上单调递12．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O是内一点，，，的面积分别为，，，且．设是锐角内的一点，、、分别是的三个内角，以下命题正确的有（

）A．若，则B．若，，，则C．若O为的内心，，则D．若O为的垂心，，则三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13．已知复数，则．14．已知向量，，若，则m=．15．设锐角的内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围是.16．将函数图象与直线的所有交点从左到右依次记为，，…，若P点坐标为（0，1），则．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知复数，i为虚数单位．（1）当z是纯虚数时，求m的值；（2）当时，求．18．已知平面向量满足与的夹角为．(1)求；(2)当实数为何值时，．19．如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，小岛B位于小岛A北偏东距离60海里处，小岛B北偏东距离海里处有一个小岛C.(1)求小岛A到小岛C的距离；(2)如果有游客想直接从小岛A出发到小岛C，求游船航行的方向.20．已知函数．(1)求的最小正周期；(2)将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求不等式的解集．21．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对的边分别为，，，且(1)求；(2)若，设点为的费马点，求.22．定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为．(1)设，请问函数是否存在相伴向量，若存在，求出与共线的单位向量；若不存在，请说明理由．(2)已知点满足：，向量的“相伴函数”在处取得最大值，求的取值范围．1．B【分析】根据余弦定理直接求解即可.【详解】解：由余弦定理得，因为，所以.故选：B2．A【分析】两个复数相等，实部、虚部分别相等可得，利用复数乘法计算可得；【详解】由，可得，故选：A3．B【分析】首先求出扇形的半径，再由面积公式计算可得.【详解】设扇形的半径为，因为扇形的圆心角，扇形的周长为，则，解得，所以此扇形的面积.故选：B4．D【分析】利用正弦定理，求得的值，由此求得的大小，从而得出正确选项.【详解】由正弦定理得，即，解得，故或，所以选D.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.5．B【解析】根据诱导公式一、三、五、六可得结果.【详解】原式.故选：B【点睛】本题考查了利用诱导公式一、三、五、六化简，属于基础题.6．B【分析】依题意，利用正弦定理可知，易知，从而可得答案.【详解】中，因为，所以由正弦定理得：，即，又，所以，所以，所以的形状为直角三角形，故选B.【点睛】该题考查的是有关三角形形状的判断问题，涉及到的知识点有正弦定理，正弦函数和角公式，诱导公式，属于简单题目.7．D【分析】根据平面向量的坐标运算分别求解向量的模、验证向量垂直、投影向量逐项判断即可得结论.【详解】因为向量，，则，，所以，故A正确；若，则，则与垂直，故B正确；由于，则，故C正确；向量在向量上的投影向量为，故D错误.故选：D8．B【分析】由，结合余弦定理可求，结合三角形的面积公式可求，再由，结合，均为单位向量，和平行线分线段成比例可得，，结合基本不等式可求．【详解】，，化简可得，，，，，且，均为单位向量，过分别作，，垂足分别为，，则，，，，两式相加可得，由基本不等式可得，，当且仅当时取等号，解可得，则的最大值为．故选B．【点睛】本题综合考查了余弦定理，平面向量的运算法则，三角形的面积公式，基本不等式的综合应用，9．AD【分析】利用几何意义即可得出在复平面内对应的点判断A；利用复数的共轭复数对应的点即可判断；由复数满足，根据几何意义即可判断C；点到原点的距离为，即可判断D.【详解】A，复数（为虚数单位，）在复平面内对应的点为，因此A正确；B，复数的共轭复数对应的点与点关于虚轴不对称，因此B错误；C，由复数满足，结合复数的几何意义，可知复数对应的点在以原点为圆心，以3为半径的圆上，因此C错误；D，点到原点的距离为，所以P0与复数z对应的点P间的距离的最小值为，因此D正确.故选：AD.10．BC【分析】运用二倍角公式、和差角公式的逆用、特殊角的三角函数值、三角恒等变换中“1”的代换化简即可.【详解】对于选项A，，故选项A错误；对于选项B，，故选项B正确；对于选项C，，故选项C正确；对于选项D，，故选项D错误.故选：BC.11．ABC【分析】先用辅助角公式将函数变形为，结合正弦型函数的性质逐项判断正确与否即可.【详解】函数，对于选项A，，A正确；对于选项B，将代入函数的解析式，得，函数的图象关于点对称，B正确；对于选项C，将代入函数的解析式，得，直线是函数图象的一条对称轴；对于选项D，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，D不正确；故选：ABC.12．ACD【分析】利用“奔驰定理”可判断A选项；求出，结合“奔驰定理”可判断B选项；利用“奔驰定理”可得出的值，结合勾股定理可判断C选项；对D，由垂心性质及向量数量积的垂直表示可得，结合奔驰定理结合三角形面积公式，可得，如图所示分别为垂足，可设，，即可由几何关系列式解出，最后由正切求出余弦值，则由可求.【详解】对于A选项，因为，由“奔驰定理”可知，A对；对于B选项，由，，可知，又，所以，由可得，，，所以，B错；对于C选项，若为的内心，，则，又（为内切圆半径），所以，，故，C对；对D，若O为的垂心，则，，又，同理，又，则，且如图，分别为垂足，设，，则，又，故，由，解得，由，故，D对.故选：ACD【点睛】关键点点睛：利用向量数量积定义、运算律和垂心性质得到向量模的比例，结合三角形面积公式和奔驰定理判断结论即可.13．1【分析】先结合三角函数值化简复数，进而求出复数的模【详解】∵∴.故答案为：114．-4【分析】直接由向量共线的坐标运算求得结果.【详解】由，得，解得.故答案为：-4.15．【分析】根据已知条件，利用正弦定理将目标式由边化为角的函数关系，再求的取值范围，根据函数值域即可求得结果.【详解】因为，则，，又，故由正弦定理可得：又为锐角三角形，故可得，解得，则，故，即.故答案为：.16．【分析】先作图分析直线和余弦函数的交点个数，再根据直线和余弦函数的对称性，分析这些交点之间的联系，最后求解.【详解】在同一坐标系中画出，的图象，可分析出它们只有5个交点，如上图所示，注意到都关于对称，那么、也关于对称，根据向量的加法法则，于是.故答案为：17．（1）0；（2）．【分析】（1）根据复数有分类求解；（2）由复数的除法法则计算．【详解】（1）由题意，解得；（2）由题意．18．(1)(2)【分析】（1）利用平面向量的数量积的运算性质进行运算即可；（2）根据条件得，利用数量积的运算性质进行运算，化简后解方程即可.【详解】（1）因为与的夹角为，所以，所以.（2）因为，所以，化为，解得.19．(1)海里(2)游船应该沿北偏东的方向航行.【分析】(1)三边一角，由余弦定理可以求小岛A到小岛C的距离；(2)两边两角，由正弦定理可以求角.【详解】（1）解：(1)在中，，根据余弦定理得：..所以小岛A到小岛C的最短距离是海里.（2）解：(2)根据正弦定理得：解得在中，为锐角.由得游船应该沿北偏东的方向航行答:小岛A到小岛C的最短距离是海里;游船应该沿北偏东的方向航行.20．(1)(2)【分析】（1）由降幂公式和辅助角公式化简，结合周期公式即可求解；（2）结合平移法则和诱导公式化简得，由余弦函数图象特征解不等式即可求解.【详解】（1），故；（2）因为，向左平移个单位长度，得到，故要使，需满足，解得，故的解集为21．(1)(2)【分析】（1）根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简可得，即可求得答案；（2）利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案.【详解】（1）由已知中，即，故，由正弦定理可得，故直角三角形，即.（2）由（1），所以三角形的三个角都小于，则由费马点定义可知：，设，