第6章 MATLAB数据分析与多项式计算

第6章MATLAB数据分析与多项式计算6.1数据统计分析6.2多项式计算6.3数据插值6.4曲线拟合

第6章MATLAB数据分析与多项式计算第6章MATLAB数据分析与多项式计算6.1数据统计分析在实际应用中，经常需要对各种数据进行统计处理，以便为科学决策提供依据。这些统计处理包括求数据序列的最大值和最小值、和与积、平均值和中值、累加和与累乘积、标准方差和相关系数、排序等，MATLAB提供了相关的函数来实现。6.1.1最大值和最小值第6章MATLAB数据分析与多项式计算MATLAB提供了求数据序列最大值的函数max和求最小值的函数min，它们的调用格式和操作过程类似。1．求向量的最大值和最小值求向量X的最大值的函数有两种调用格式，分别是：①y=max(X)：返回向量X的最大值，并存入y。如果X中包含复数元素，则按模取最大值。②[y,k]=max(X)：返回向量X的最大值，并存入y，最大值的序号存入k。如果X中包含复数元素，则按模取最大值。求向量X的最小值的函数是min(X)，用法和max(X)相同。例如，求向量x的最大值，命令如下：>>x=[-43,72,9,16,23,47];>>y=max(x) %求向量x中的最大值y=72>>[y,k]=max(x) %求向量x中的最大值及该元素的位置y=72k=2第6章MATLAB数据分析与多项式计算2．求矩阵的最大值和最小值求矩阵A的最大值的函数有3种调用格式，分别是：①max(A)：返回一个行向量，向量的第i个元素是矩阵A的第i列上的最大值。②[Y,U]=max(A)：返回行向量Y和U，Y向量记录A的每列的最大值，U向量记录每列最大值的行号。③max(A,[],dim)：dim取1或2。dim取1时，该函数和max(A)等价；dim取2时，该函数返回一个列向量，其第i个元素是A矩阵的第i行上的最大值。求矩阵最小值的函数是min，其用法和max函数相同。第6章MATLAB数据分析与多项式计算>>A=[13,-56,78;25,63,-235;78,25,563;1,0,-1];>>max(A,[],2)%求每行最大值ans=78635631>>max(A)%求每列最大值ans=7863563>>max(max(A))%求整个矩阵的最大值，也可使用max(A(:))ans=563例6-1求矩阵A每行及每列的最大值，并求整个矩阵的最大值。第6章MATLAB数据分析与多项式计算3．两个向量或矩阵对应元素的比较函数max和min还能对两个同型的向量或矩阵进行比较，调用格式为：①U=max(A,B)：A、B是两个同型的向量或矩阵，结果U是与A、B同型的向量或矩阵，U的每个元素等于A、B对应元素的较大者。②U=max(A,n)：n是一个标量，结果U是与A同型的向量或矩阵，U的每个元素等于A对应元素和n中的较大者。min函数的用法和max函数相同。第6章MATLAB数据分析与多项式计算例如，求两个2×3矩阵x、y所有同一位置上的较大元素构成的新矩阵p。命令如下：>>x=[4,5,6;1,4,8];>>y=[1,7,5;4,5,7];>>p=max(x,y)%在x、y同一位置上的两个元素中找出较大值p=476458上例是对两个同样大小的矩阵操作，MATLAB还允许对一个矩阵和一个常数或单变量操作。例如：>>p=max(x,4.5)p=4.50005.00006.00004.50004.50008.0000第6章MATLAB数据分析与多项式计算6.1.2求和与求积数据序列求和用sum函数。设X是一个向量，A是一个矩阵，sum函数的调用格式为：①sum(X)：返回向量X各元素的和。②prod(X)：返回向量X各元素的乘积。③sum(A)：返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列的元素和。④prod(A)：返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列的元素乘积。⑤sum(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于sum(A)；当dim为2时，返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行的各元素之和。⑥prod(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于prod(A)；当dim为2时，返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行的各元素乘积。数据序列求积用prod函数，其使用方法与sum函数相同。第6章MATLAB数据分析与多项式计算例6-2求矩阵A的每行元素之和和全部元素之和。命令如下：>>A=[1,2,3,4;5,6,7,8;9,10,11,12];>>S=sum(A,2)S=102642>>sum(S)ans=78第6章MATLAB数据分析与多项式计算6.1.3平均值和中值数据序列的平均值指的是算术平均值。所谓中值，是指在数据序列中其值的大小恰好处在中间的元素。例如，数据序列-2，5，7，9，12的中值为7，即它的大小恰好处于数据序列各个值的中间，这是数据序列为奇数个的情况。如果为偶数个，则中值等于中间的两数之平均值。例如，数据序列-2，5，6，7，9，12中，处于中间的数是6和7，故其中值为6.5。第6章MATLAB数据分析与多项式计算求矩阵和向量元素的平均值的函数是mean。设X是一个向量，A是一个矩阵，函数的调用格式为：①mean(X)：返回向量X的算术平均值。②mean(A)：返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列的算术平均值。③mean(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于mean(A)；当dim为2时，返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行的算术平均值。求中值的函数是median，其调用方法和mean函数相同。第6章MATLAB数据分析与多项式计算例如，求向量x的平均值，命令如下：>>x=[9,-2,5,6,7,12];>>mean(x)ans=6.1667第6章MATLAB数据分析与多项式计算6.1.4累加和与累乘积设U=(u1，u2，u3，…，un)是一个向量，V、W是与U等长的另外两个向量，并且称V为U的累加和向量，W为U的累乘积向量。第6章MATLAB数据分析与多项式计算在MATLAB中，使用cumsum和cumprod函数能方便地求得向量和矩阵元素的累加和与累乘积向量，它们的调用格式相同，其中cumsum函数的调用格式为：①cumsum(X)：返回向量X累加和向量。②cumsum(A)：返回一个矩阵，其第i列是A的第i列的累加和向量。③cumsum(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于cumsum(A)；当dim为2时，返回一个矩阵，其第i行是A的第i行的累加和向量。第6章MATLAB数据分析与多项式计算例6-3求s=1！+2！+…+6！的值。命令如下：>>x=cumprod(1:6)x=12624120720>>s=sum(x)s=873第6章MATLAB数据分析与多项式计算6.1.5标准差与相关系数1．求标准差对于具有n个元素的数据序列x1、x2、x3、…、xn，标准差的计算公式如下：或者其中第6章MATLAB数据分析与多项式计算MATLAB提供了计算数据序列的标准差的函数std。对于向量X，std(X)返回一个标准差。对于矩阵A，std(A)返回一个行向量，它的各个元素便是矩阵A各列或各行的标准方差。std函数的一般调用格式为：Y=std(A,flag,dim)其中，dim取1或2。当dim=1时，求各列元素的标准差；当dim=2时，则求各行元素的标准差。flag取0或1，当flag=0时，按S1所列公式计算标准差；当flag=1时，按S2所列公式计算标准差。默认取flag=0，dim=1。第6章MATLAB数据分析与多项式计算例6-4对二维矩阵x，从不同维方向求出其标准方差。>>x=[4,5,6;1,4,8]%产生一个二维矩阵xx=

456148>>y1=std(x,0,1)y1=2.12130.70711.4142>>y2=std(x,1,1)y2=1.50000.50001.0000>>y3=std(x,0,2)y3=1.00003.5119>>y4=std(x,1,2)y4=0.81652.8674第6章MATLAB数据分析与多项式计算2．相关系数对于两组数据序列xi、yi（i=1，2，…，n），可以由下式计算出两组数据的相关系数：第6章MATLAB数据分析与多项式计算①corrcoef(X,Y)：其中，X、Y是向量。corrcoef(X,Y)返回序列X和序列Y的相关系数，得到的结果是一个2×2矩阵，其中对角线上的元素分别表示X和Y的自相关系数，非对角线上的元素分别表示X与Y的相关系数和Y与X的相关系数，两个是相等的。corrcoef(X,Y)与corrcoef([X,Y])等价。②corrcoef(X)：对于一般的矩阵X，corrcoef(X)返回从矩阵X形成的一个相关系数矩阵。此相关系数矩阵的大小与矩阵X一样。系数矩阵中第i行第j列的元素代表原矩阵X中第i个列向量和第j个列向量的相关系数。第6章MATLAB数据分析与多项式计算例6-5生成满足正态分布的10000×5随机矩阵，然后求各列元素的均值和标准方差，再求这5列随机数据的相关系数矩阵。>>X=randn(10000,5);>>M=mean(X)M=0.0059-0.0005-0.0036-0.0036-0.0104>>D=std(X)D=0.98790.99840.99260.98941.0131>>R=corrcoef(X)R=1.00000.0115-0.00130.01540.00420.01151.00000.0025-0.0109-0.0066-0.00130.00251.0000-0.0159-0.00570.0154-0.0109-0.01591.00000.00350.0042-0.0066-0.00570.00351.0000>>R=corrcoef(X(:,1),X(:,2))%X前两列的相关系数R=1.00000.01150.01151.0000第6章MATLAB数据分析与多项式计算6.1.6排序对向量元素进行排序是一个经常性的操作，MATLAB中对向量X进行排序的函数是sort(X)，函数返回一个对X中的元素按升序排列的向量。sort函数也可以对矩阵A的各列或各行重新排序，其调用格式为：[Y,I]=sort(A,dim,mode)其中，Y是排序后的矩阵，而I记录Y中的元素在A中的位置。dim指明对A的列还是行进行排序，若dim=1，则按列排；若dim=2，则按行排。dim默认取1。mode指明按升序还是按降序排序，'ascend'按升序，'descend'按降序。mode默认取'ascend'。第6章MATLAB数据分析与多项式计算例6-6对下列矩阵做各种排序。命令如下：>>A=[1,-8,5;4,12,6;13,7,-13];>>sort(A) %对A的每列按升序排序>>sort(A,2,'descend')%对A的每行按降序排序>>[X,I]=sort(A) %对A按列排序，并将每个元素所在行号送矩阵I第6章MATLAB数据分析与多项式计算6.2多项式计算在MATLAB中，n次多项式用一个长度为n+1的行向量表示，缺少的幂次项系数为0。如果n次多项式表示为：P(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+…+a1x+a0则在MATLAB中，P(x)表达为向量形式：[an,an

1,an

2,…,a1,a0]。第6章MATLAB数据分析与多项式计算6.2.1多项式的四则运算1．多项式的加减运算MATLAB没有提供专门进行多项式加减运算的函数。事实上，多项式的加减运算就是其所对应的系数向量的加减运算。对于次数相同的两个多项式，可直接对多项式系数向量进行加减运算。如果多项式的次数不同，则应该把低次的多项式系数不足的高次项用0补足，使同式中的各多项式具有相同的次数。第6章MATLAB数据分析与多项式计算例如，计算(x3-2x2+5x+3)+(6x-1)，对于和式的后一个多项式6x-1，它仅为1次多项式，而前面的是3次。为确保两者次数相同，应把后者的系数向量处理成[0,0,6,-1]。命令如下：>>a=[1,-2,5,3];>>b=[0,0,6,-1];>>c=a+bc=1-2112第6章MATLAB数据分析与多项式计算2．多项式乘法运算函数conv(P1,P2)用于求多项式P1和P2的乘积。其中，P1、P2是两个多项式系数向量。例6-7求多项式x4+8x3-10与多项式2x2-x+3的乘积。命令如下：>>A=[1,8,0,0,-10];>>B=[2,-1,3];>>C=conv(A,B)C=

215-524-2010-30执行结果得到一个6次多项式：2x6+15x5-5x4+24x3-20x2+10x-30第6章MATLAB数据分析与多项式计算3．多项式除法函数[Q,r]=deconv(P1,P2)用于对多项式P1和P2作除法运算。其中，Q返回多项式P1除以P2的商式，r返回P1除以P2的余式。这里，Q和r仍是多项式系数向量。deconv是conv的逆函数，即有P1=conv(P2,Q)+r。第6章MATLAB数据分析与多项式计算例6-8求多项式x4+8x3-10除以多项式2x2-x+3的结果。>>A=[1,8,0,0,-10];>>B=[2,-1,3];>>[P,r]=deconv(A,B)P=0.50004.25001.3750r=000-11.3750-14.1250第6章MATLAB数据分析与多项式计算6.2.2多项式的导函数求多项式的导函数用polyder函数，其调用格式如下。①p=polyder(P)：求多项式P的导函数。②p=polyder(P,Q)：求P·Q的导函数。③[p,q]=polyder(P,Q)：求P/Q的导函数，导函数的分子存入p，分母存入q。上述函数调用中，参数P、Q是多项式的向量表示，结果p、q也是多项式的向量表示。第6章MATLAB数据分析与多项式计算例6-9求有理分式的导数。命令如下：>>P=1;>>Q=[1,0,5];>>[p,q]=polyder(P,Q)p=-20q=1010025第6章MATLAB数据分析与多项式计算6.2.3多项式的求值MATLAB提供了两种求多项式值的函数：polyval与polyvalm，它们的输入参数均为多项式系数向量P和自变量x。两者的区别在于前者是代数多项式求值，而后者是矩阵多项式求值。第6章MATLAB数据分析与多项式计算1．代数多项式求值polyval函数用来求代数多项式的值，其调用格式为：Y=polyval(P,x)若x为一数值，则求多项式在该点的值；若x为向量或矩阵，则对向量或矩阵中的每个元素求其多项式的值。第6章MATLAB数据分析与多项式计算例6-10已知多项式x4+8x3-10，分别取x=1.2和一个2×3矩阵为自变量，计算该多项式的值。命令如下：>>A=[1,8,0,0,-10];%4次多项式系数>>x=1.2;%取自变量为一数值>>y1=polyval(A,x)y1=5.8976>>x=[-1,1.2,-1.4;2,-1.8,1.6];%给出一个矩阵x>>y2=polyval(A,x)%分别计算矩阵x中各元素为自变量的多项式之值y2=-17.00005.8976-28.110470.0000-46.158429.3216第6章MATLAB数据分析与多项式计算2．矩阵多项式求值polyvalm函数用来求矩阵多项式的值，其调用格式与polyval相同，但含义不同。polyvalm函数要求x为方阵，它以方阵为自变量求多项式的值。设A为方阵，P代表多项式x3-5x2+8，那么polyvalm(P,A)的含义是：A*A*A-5*A*A+8*eye(size(A))而polyval(P,A)的含义是：A.*A.*A-5*A.*A+8*ones(size(A))第6章MATLAB数据分析与多项式计算例6-11仍以多项式x4+8x3-10为例，以2×2矩阵为自变量分别用polyval和polyvalm计算该多项式的值。命令如下：>>A=[1,8,0,0,-10]; %多项式系数>>x=[-1,1.2;2,-1.8]; %给出一个矩阵x>>y1=polyval(A,x) %计算代数多项式的值y1=-17.00005.897670.0000-46.1584>>y2=polyvalm(A,x) %计算矩阵多项式的值y2=-60.584050.649684.4160-94.3504第6章MATLAB数据分析与多项式计算6.2.4多项式求根n次多项式具有n个根，当然这些根可能是实根，也可能含有若干对共轭复根。MATLAB提供的roots函数用于求多项式的全部根，其调用格式为：x=roots(P)其中，P为多项式的系数向量，求得的根赋给向量x，即x(1)、x(2)、…、x(n)分别代表多项式的n个根。第6章MATLAB数据分析与多项式计算例6-12求多项式x4+8x3-10的根。命令如下：>>A=[1,8,0,0,-10];>>x=roots(A)x=-8.0194+0.0000i1.0344+0.0000i-0.5075+0.9736i-0.5075-0.9736i第6章MATLAB数据分析与多项式计算若已知多项式的全部根，则可以用poly函数建立起该多项式，其调用格式为：P=poly(x)若x为具有n个元素的向量，则poly(x)建立以x为其根的多项式，且将该多项式的系数赋给向量P。第6章MATLAB数据分析与多项式计算例6-13已知：①计算f(x)=0的全部根。②由方程f(x)=0的根构造一个多项式g(x)，并与f(x)进行对比。命令如下：>>P=[3,0,4,-5,-7.2,5];>>X=roots(P) %求方程f(x)=0的根X=-0.3046+1.6217i-0.3046-1.6217i-1.0066+0.0000i1.0190+0.0000i0.5967+0.0000i>>G=poly(X) %求多项式g(x)G=1.0000-0.00001.3333-1.6667-2.40001.6667第6章MATLAB数据分析与多项式计算6.3数据插值如果要得到这些离散点以外的其他点的数值，就需要根据这些已知数据进行插值。根据被插值函数的自变量个数，插值问题分为一维插值、二维插值和多维插值等；根据是用分段直线、多项式或样条函数来作为插值函数，插值问题又分为线性插值、多项式插值和样条插值等。MATLAB提供了一维、二维、N维数据插值函数interp1、interp2和interpn，以及3次样条插值函数spline等。第6章MATLAB数据分析与多项式计算6.3.1一维数据插值如果被插值函数是一个单变量函数，则数据插值问题称为一维插值。一维插值采用的方法有线性方法、最近方法、3次多项式和3次样条插值。在MATLAB中，实现这些插值的函数是interp1，其调用格式为：Y1=interp1(X,Y,X1,method)函数根据X、Y的值，计算函数在X1处的值。其中，X、Y是两个等长的已知向量，分别描述采样点和采样值。若同一个采样点有多种采样值，则Y可以为矩阵，Y的每一列对应一组采样。X1是一个向量或标量，描述欲插值的点，Y1是一个与X1等长的插值结果。第6章MATLAB数据分析与多项式计算method用于指定插值方法，允许的取值有：①'linear'：线性插值。线性插值是默认的插值方法，它是把与插值点靠近的两个数据点用直线连接，然后在直线上选取对应插值点的数据。②'nearest'：最近点插值。根据插值点与已知数据点的远近程度进行插值。插值点优先选择较近的数据点进行插值操作。第6章MATLAB数据分析与多项式计算③'pchip'：分段3次Hermite插值。MATLAB中有一个专门的3次Hermite插值函数pchip(X,Y,X1)，其功能及使用方法与函数interp1(X,Y,X1,'pchip')相同。④'spline'：3次样条插值。所谓3次样条插值，是指在每个分段（子区间）内构造一个3次多项式，使其插值函数除满足插值条件外，还要求在各节点处具有光滑的条件。MATLAB中有一个专门的3次样条插值函数spline(X,Y,X1)，其功能及使用方法与函数interp1(X,Y,X1,'spline')相同。第6章MATLAB数据分析与多项式计算例6-14给出以下概率积分的数据表如表6-1所示，用不同的插值方法计算f(0.472)。x0.460.470.480.49f(x)0.48465550.49375420.50274980.5116683>>x=0.46:0.01:0.49;%给出x和f(x)>>f=[0.4846555,0.4937542,0.5027498,0.5116683];>>formatlong>>interp1(x,f,0.472)%用默认方法，即线性插值计算f(0.472)ans=0.495553320000000>>interp1(x,f,0.472,'nearest')%用最近点插值计算f(0.472)ans=0.493754200000000>>interp1(x,f,0.472,'pchip')%用3次Hermite插值计算f(0.472)ans=0.495561119712056>>interp1(x,f,0.472,'spline')%用3次样条插值计算f(0.472)ans=0.495560736000000formatshort第6章MATLAB数据分析与多项式计算例6-15某检测参数f随时间t的采样结果如表6-2，用数据插值法计算t=2，12，22，32，42，52时的f值。t051015202530f3.10252.256879.51835.92968.84136.25237.9t35404550556065f6152.76725.36848.36403.56824.77328.57857.6>>T=0:5:65;>>X=2:10:52;>>F=[3.2015,2.2560,879.5,1835.9,2968.8,4136.2,5237.9,6152.7,6725.3,6848.3,6403.5,6824.7,7328.5,7857.6];>>F1=interp1(T,F,X)%用线性插值方法插值>>F2=interp1(T,F,X,'nearest')%用最近点插值方法插值>>F3=interp1(T,F,X,'pchip')%用3次Hermite插值方法插值>>F4=interp1(T,F,X,'spline')%用3次样条插值方法插值第6章MATLAB数据分析与多项式计算6.3.2二维数据插值当函数依赖于两个自变量变化时，其采样点就应该是一个由这两个参数组成的一个平面区域，插值函数也是一个二维函数。对依赖于两个参数的函数进行插值的问题称为二维插值问题。同样，在MATLAB中，提供了解决二维插值问题的函数interp2，其调用格式为：Z1=interp2(X,Y,Z,X1,Y1,method)其中，X、Y是两个向量，分别描述两个参数的采样点，Z是与参数采样点对应的函数值，X1、Y1是两个向量或标量，描述欲插值的点。Z1是根据相应的插值方法得到的插值结果。method的取值与一维插值函数相同。X、Y、Z也可以是矩阵形式。第6章MATLAB数据分析与多项式计算例6-16设z=x2+y2，对z函数在[0，1]×[0，2]区域内进行插值。命令如下：>>x=0:0.1:1;y=0:0.2:2;>>[X,Y]=meshgrid(x,y); %产生自变量网格坐标>>Z=X.^2+Y.^2; %求对应的函数值>>interp2(x,y,Z,0.5,0.5) %在(0.5,0.5)点插值ans=0.5100>>interp2(x,y,Z,[0.50.6],0.4)%在(0.5,0.4)点和(0.6，0.4)点插值ans=0.41000.5200>>interp2(x,y,Z,[0.50.6],[0.40.5])%在(0.5,0.4)点和(0.6,0.5)点插值ans=0.41000.6200%下一命令在(0.5,0.4),(0.6,0.4),(0.5,0.5)和(0.6,0.5)各点插值>>interp2(x,y,Z,[0.50.6]',[0.40.5])ans=0.41000.52000.51000.6200第6章MATLAB数据分析与多项式计算例6-17某实验对一根长10m的钢轨进行热源的温度传播测试。用d表示测量点距离（m），用t表示测量时间（s），用c表示测得各点的温度（℃），测量结果如表6-3所示。

cdt02.557.51009514