四川省成都市某中学2023-2024学年高三年级上册入学考试理科数学 含解析

成都某中学高2024届高三上入学考试

理科数学试题

一、单选题

1.设集合A={-1,0,1,2,3},8={MreA且-xdA},则集合B中元素的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】根据集合4={-1,0,1，2,3},8=0x64且-xe4},即集合8中的元素有0,1,-1.

【详解】解：由于集合4={-1,0,1,2,3},B={x|xGA且-xGA},

♦.「IGA且1GA,0的相反数是0,OEAA-lefi,1GB,Oefi.

0,1}

故B中元素个数为3个：

故选C.

【点睛】本题考查了元素与集合的关系，属于基础题.

2.欧拉公式e"=cosx+isinx（其中i是虚数单位，e是自然对数的底数）是数学中的一个神奇公

式.根据欧拉公式，复数z=3在复平面上所对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】由复数的几何意义判断.

【详解】由欧拉公式，z=e'=cosl+isin1在复平面内对应点（cosl,sinl）在第一象限.

故选：A.

V-22

3.椭圆二+v2_=1的焦距为2,则w的值等于（）.

m4

A.5B.8C.5或3D.5或8

【答案】C

【解析】

【分析】分焦点在x轴，y轴上两种情况，利用2c=2,即可求出加的值.

【详解】当焦点在x轴上时：c=l,a2^m,b2=4,c2=a2-h2=^-4=1,解得：m=5,

当焦点在y轴上时：c=l,a2=4,b2=m,c2=a2-b2=4-m=\,解得：m=3,

所以加=5或加=3,

故选：C

【点睛】本题主要考查了椭圆的简单几何性质，属于基础题.

4.某几何体的正视图与侧视图如图所示：则下列两个图形①②中，可能是其俯视图的是

A.①②都可能B.①可能，②不可能

C.①不可能，②可能D.①②都不可能

【答案】A

【解析】

【分析】

由三视图的正视图和侧视图分析，几何体上部、中部、下部的形状，判断，可得出选项.

【详解】若是①，可能是三棱锥；

若是②，可能是棱锥和圆锥的组合；

所以①②都有可能，

故选：A.

【点睛】本题考查简单空间图形的三视图，考查空间想象能力，是基础题.

m..

5.已知事函数=加,〃ez），下列能成为“/（X）是R上奇函数”充分条件的是（）

A.m=-3,n=\B.m—1,n=2

C.m=2,n=3D.m=n=3

【答案】D

【解析】

【分析】根据幕函数的定义域、奇偶性的判断方法依次判断各个选项即可.

【详解】对于A,〃X）=X-3=5，\/（X）的定义域为（—8,0）U（0,+8）,

又〃_X）=（_X）-3=_X-3=_/（X）,\/（X）是定义在（T,0）U（0,+8）上的奇函数，充分性不成立,

A错误；

对于B,...〃同=/=«，'/（尤）的定义域为［。,+8）,

\/（X）为非奇非偶函数，充分性不成立，B错误；

2-

对于C,/（%）=/=#J7,\/（X）的定义域为R,

又/（一1）=班牙=值=/（无），'f（x）是定义在R上的偶函数，充分性不成立，C错误；

对于D，=3=五，'f（x）的定义域为R，

又/（—*）=灯=—取=—/（力，\/（x）是定义在R上的奇函数，充分性成立，D正确.

故选：D.

6.如图所示，图中曲线方程为y=f-1,用定积分表达围成封闭图形（阴影部分）的面积是（）

f（YT）1V

B.

D.於2一收+「卜2_心

【答案】C

【解析】

【分析】由微积分基本定理的几何意义即可得出结果.

222

【详解】图中围成封闭图形（阴影部分）的面积S=J；（1—尤2）dx+Ji（x-l）dx=£|x-l|dx.

故选：C.

7.已知a1是两个非零向量，设A6=a,CO=b.给出定义：经过的起点A和终点8,分别作CQ

所在直线的垂线，垂足分别为4，5，则称向量44,为a在万上的投影向量.已知

4=（1,（））/=（0,1）,则力在〃上的投影向量为（）

q叵

A.B.C.f30

\/\7

【答案】D

【解析】

【分析】先求向量。的单位向量，再利用投影向量的求法求解即可.

【详解】设a与人的夹角为。，由人=（石,1）,

所以。在匕上的投影向量为:

8.已知X若4P（X=2）=3尸（X=3）,则〃的最大值为（）

【答案】B

【解析】

【分析】根据4P（X=2）=3尸（X=3）可得到方程，求得p=-g,结合〃的取值，可得答案.

【详解】由题意可知〃23,

n3

因为4P(X=2)=3P(X=3),所以4cp2(1-p)-2=3cp'(I—P)-,

整理得4(1—〃)=(〃-2)〃，即2='-,

71+2

4

又"cN"且〃之3,所以〃

故选：B

9.如图，圆柱的轴截面为矩形A3CD,点〃，N分别在上、下底面圆上，NB=2AN，

CM=2DM，AB=2，BC=3，则异面直线AM与CN所成角的余弦值为（）

,3回3同

A.-------RD.-------X--.--D.—

102054

【答案】B

【解析】

【分析】通过平移得到异面直线AM与CN所成角，并结合余弦定理得到结果.

【详解】如图（1）,在A5上取点E，使AE=2EB，

图⑴

连接NE,AN,NB,BE,EA.

易知四边形A7VBE为矩形，则NB〃AE,且NB=AE.

连接MN,CM.因为MN〃BC,且MN=BC,

所以四边形为平行四边形，所以CM〃NB，且CM=N5.

连接CE,则A七〃CM,且AE=CM，

所以四边形AECM为平行四边形，则AM〃C£,

所以N7VCE或其补角是异面直线AM与CN所成的角.

在Rtz\ABN中，NB=2AN，AB=2，BN=,AN=1,

在RtZXBNC中，CB=3,BN=5所以CN=43?+（也丫=2上.

在Rt_3CE中，CB=3,BE=T，所以CE==JT5.又NE=AB=2,

10+12-43730

在△NCE中，由余弦定理cosNNCE=

2xVi0x2V320

故选：B.

10.若/log?a+3"—1=logg8+9",则()

A.a>2bB.a<2bC.a>b~D.a<b'

【答案】A

【解析】

【分析】对等是进行变形log36+3“=log33G+32〃>log3而+32J根据函数〃x)=x+log3X

的单调性即可得解.

【详解】由题可得：log3夜+3"=log3、/+32z>+k>g33=log33j^+326>k)g3^+32J

函数/(x)=x+log3X是定义在(0,+?)的增函数，

/(a)>〃2。)，

所以a>2/>.

故选：A

11.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图1).明

朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图2).假定在水流量稳定的情况下，筒

车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心。到水面的距离为为1.5m,筒车的半径

TT

广为2.5ml,筒车转动的角速度。为五rad/s,如图3所示，盛水桶M(视为质点)的初始位置玲距水面

的距离为3m,则3s后盛水桶M到水面的距离近似为(0x1.414,732)()

图1图2图3

A.4.0mB.3.8mC.2.5mD.2.4m

【答案】A

【解析】

【分析】先求出初始位置时凡对应的角，再根据题意求出盛水桶M到水面的距离与时间r的函数关系式,

将，=3代入，即可求解.

【详解】设初始位置时兄对应的角为外,贝公出仰=七三=；,则cos%=—,

2.555

TT

因为筒车转到的角速度为一阳d/s，

12

7T

所以水桶M到水面的距离d=2.5sin(五1+%)+1.5,

当，=3时，可得d=2.5sinfj|x3+e())+1.5=2.5x(¥x|+,xq)+1.5*3.974a4.0m.

故选：A.

12.如图抛物线乙的顶点为A,焦点为产，准线为4,焦准距为4；抛物线的顶点为B，焦点也为产，

准线为《，焦准距为6.乙和乙交于尸、Q两点，分别过P、Q作直线与两准线垂直，垂足分别为

M.N、S、T,过F的直线与封闭曲线AP5Q交于。、。两点，则下列说法正确的是()

①|AB|=5②四边形MNST的面积为100

「25-

③ES-FT=0④|CD|的取值范围为5,—

A.①②④B.①③④C.②③D.①③

【答案】B

【解析】

【分析】利用已知条件，建立平面直角坐标系，求解两条抛物线方程，求解A8的距离判断①；求解

N的坐标，推出矩形的面积判断②，利用向量的数量积判断③；判断C。的距离的范围判断④.

【详解】以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图，

抛物线r,的顶点为A，焦点为F，准线为焦准距为4；可得|AF1=2，抛物线的标准方程为：y2=8x.

抛物线72的顶点为8,焦点也为产，准线为L焦准距为6.可得|8/口=3,所以|A8|=2+3=5,所以

①正确；

抛物线上的方程为：V=-i2(x-5).

y2=8xr-

心和「2交于P、。两点，〈2，可得P、。两点的横坐标为：3,两点的纵坐标：±2#,

y=-12(x-5)

分别过P、。作直线与两准线垂直，垂足分别为M、N、S、T，

可得M(-2,2屈,N(8,2扃,S(8,-2")，7(-2,-2峋,

四边形MNST的面积为：10x46=40布.所以②不正确；

又尸(2,0),则口=(-4,-26)，FS=(6,-276),可得FS."■=()，所以③正确：

根据抛物线的对称性不妨设点。在封闭曲线APBQ的上部分，

设C。在直线1},12上的射影分别为C,,DI,

当点。在抛物线3P，点。在抛物线A。上时，

当CO与AB重合时，|CD|最小，最小值为|CD|=5,

当O与P重合，点C在抛物线AQ上时，因为P(3,2标),F(2,0),

直线C0:y=2#(x-2),

与抛物线口的方程为V=8x联立，可得3f—i3x+12=0，

1325

设0(不，%),0(%2，%)，则%+/=与■，|℃|=玉+工2+4=；~，

所以|C0|e5,—；

当点。在抛物线R4,点C在抛物线AQ上时，设CD:x=（y+2,

与抛物线「।的方程为=8x联立，可得V一-16=0,

设。（七,%）,。（%4，%），则为+”=&,|。4=』+工4+4=]%+%）+8=8/+828,

「25-

当（=0,即CD_LA6时取等号，故此时|CD|e8,y；

「25-

当点。在抛物线勿，点。在抛物线。5上时，根据抛物线的对称性可知，|CD|G5,—；

r25"

综上，|CO|e5,y,所以④正确.

故选：B.

二、填空题

13.命题p："eR,e”-/一140"则一p为.

【答案】VxGR,e"—x—1>0

【解析】

【分析】直接根据特称命题的否定为全称命题，即可得答案.

【详解】因为命题P为特称命题，所以命题P："m/eR./b-Xo-lWO”的否定r?为：

VxeR,e'-x-1>0.

故答案为：VxGR,—%—1>0.

14.高二甲、乙两位同学计划端午假期从“韩阳十景”中挑4个旅游景点：廉村孤树、龟湖夕照、南野桑、

马屿香泉随机选择其中一个景点游玩，记事件A:甲和乙至少一人选择廉村孤树，事件8:甲和乙选择的景

点不同，则条件概率尸（用可=.

【答案】-

7

【解析】

【分析】计算出事件A、A8所包含的基本事件数，利用条件概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】对于事件A,甲和乙至少一人选择廉村孤树，则其反面为“甲、乙两人均不选择廉村孤树”，

所以，n（A）=42-32=7,

对于事件AB，甲和乙中只有一人选择廉村孤树，另一个人选择其它村，

所以，〃（A8）=2x3=6,

因此，所求概率为P（B|A）=M野=：.

故答案为：一.

7

22

15.在中，内角的对边长分别为a/,c，且tanA+3tan（A+8）=0,a-c则

人的值为.

【答案】4

【解析】

［分析】由tanA+3tan（A+8）=0可得sinAcosC+cosAsinC=4sinCcosA,即而得4sinCbosA=sinB,

利用正余弦定理化简可得b?=2（片—c?）,结合条件/一02=20，即可求得答案.

【详解】由tanA+3tan（A+8）=0,可得tanA=-3tan（A+8）=3tanC,

口“sinA3sinC

即-----=-------,即有sinAcosC+cosAsinC=4smebosA，

cosAcosC

即sin（A+C）=4sinCcosA=sinB,

^22_2

故4c——=b,化简得从=2（/一。2）,结合。2_02=2。，

2hc

可得/一4匕=0,解得匕=4或0（舍），

故答案为：4.

16.函数/（x）的图像如图所示，已知/（0）=2,则方程/（力一引（力=1在（a,8）上有个非负

实根.

:

【答案】1

【解析】

【分析】利用导数研究函数/(X)-犷'(x)=l的单调性，结合零点存在性定理判断方程

〃引一引(力=1在(a,。)上的根的个数.

【详解】由图像可得函数/(x)在(。涉)上有3个极值点，

不妨设其极值点为王,工2，$，其中玉<0〈龙2<%，

;

~a-x,Ox2~\[//,*

设g(x)=/'(%)，Mx)=/(x)—xg(x)—l,"(x)=/'(x)—g(x)-xg'(x)=Tg'(x),

由图像可得g(W)=0，g(毛)=0,XG(0,%2)时，函数/(x)单调递增，g(x)=/'(x)>0,

又函数/(X)的图像由陡峭变为平缓，故|g(x)|逐渐变小，

所以当x«(),X2)时，函数g(x)单调递减，g'(x)<0，

当X€(%2,4)时,函数/(X)单调递减，所以g(x)=)'(%)<0,

函数/(X)的图像先由平缓变为陡峭，再由陡峭变为平缓，

|g(x)|先变大再变小，函数g(x)先单调递减再单调递增，所以g'(x)取值先负后正，

所以存在天€(马,天)，使得g'(x4)=0,

当兀€(马,彳4)，g'(%)<0，当%€(%4，七)，g'(x)>o,

当xe(毛㈤时，函数“X)单调递增，函数“X)的图像由平缓变为陡峭，函数g(x)单调递增,

所以当时，g'(x)>(),

当兀武。,％)时，g'(x)<0，当无€(又4力)时，g'(x)>。，

所以当xe(0,%4)时，h'(x)>o,函数〃(x)=/(x)-xg(x)-l在(0,工4)单调递增，

当xw(%4，b)时，//(x)<o,函数力(x)=,f(x)-xg(x)—l在(工4力)单调递减，

因为〃(())=〃0)-0Xg(o)_1=1>0,函数h(x)在(0,%)单调递增，

所以函数〃(£)=/(%)-%(力-1在(0,玉)上不存在零点，且人(%4)>°，

因为〃伍）=/（。）一如。）一1=6Lg。），

kh）

因为/处［表示点色,/（。））与点（0,1）的连线的斜率，g®表示曲线/（X）在点色,/（。））处的切线

b

的斜率，

结合图像可得1<gp）,故z/e）<o,

所以函数〃（£）=/（%）-%（％）-1在（%41）上存在唯一零点，

故方程“X）-靖（x）=l在（兄。）上有1个非负零点，

故答案为：1.

三、解答题

17.四棱柱ABC。一A4GQ中，D\E=kDAD\F=kD\B,RG=kRCRH=kD1D.

（2）证明：E,EG,H四点共面；

113

【答案】（1）AF=-AA+-AD+-AB

4*44

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据空间向量线性运算进行求解；

（2）设AC=/LA8+〃AO（人〃不为0）,推导出EG=XM+〃EH,进而证明出四点共面.

【小问1详解】

四棱柱ABC。一AAGA中，AD^A^+AD,

3

因为氏二一，

4

113313

113

=-AA+-AD+-AB-,

4”44

【小问2详解】

设AC=4A8+〃A。（4〃不为0）,

EG=DtG-DlE=kDlC-kDtA=kAC=k^AB+pAD）=kAAB+kpAD

=U（Dlfi-Z）lA）+x/^（DlD-D1A）=A（D1F-DE）+/z（D1W-DlE）=2EF+x/£：H,

则EF,EG,EH共而且有公共点E，则E,3GH四点共面；

18.随着人们对环境关注度的提高，绿色低碳出行越来越受市民重视，为此某市建立了共享电动车服务系

统，共享电动车是一种新的交通工具，这是新时代下共享经济的促成成果.目前来看，共享电动车的收费

方式通过客户端软件和在线支付工具完成付费流程，从开锁到还车所用的时间称为一次租用时间，具体计

费标准如下：

①租用时间30分钟2元，不足30分钟按2元计算；

②租用时间为30分钟以上且不超过40分钟，按4元计算；

③租用时间为40分钟以上且不超过50分钟，按6元计算

甲、乙两人独立出行，各租用公共电动车一次，租用时间都不会超过50分钟，两人租用时间的概率如下

表：

不超过30分

租用时间3040分钟4050W

钟

甲0.4Pq

乙0.50.20.3

若甲、乙租用时间相同的概率为0.35.

（1）求p,q的值；

（2）设甲、乙两人所付费之和为随机变量X,求X的分布列和数学期望.

【答案】⑴p=q=G3

（2）分布列见解析；期望7.4

【解析】

【分析】⑴分别记“甲租用时间不超过30钟、30-40分钟、4050分钟”为事件A，4，4,它们彼

此互斥，则可得0+q=0.6①，2P+3q=1.5②求解即可;

(2)由题意可得X可能取值为4,6,8,10,12,求出X对应概率，列出分布列，计算期望即可.

【小问1详解】

解：分别记“甲租用时间不超过30钟、30〜40分钟、4050分钟”为事件它们彼此互斥，

则P(A)=0.4,P(4)=p,P(A3)=q,且p+q=0.6①；

分别记“乙租用时间不超过30钟、30〜40分钟、4050分钟”为事件综％员，则

P(BJ=0.5,P(B2)=0.2,P(B3)=0.3,且A,&与耳,氏员相互独立.

记“甲、乙租用时间相同”为事件C,

则P(C)=P(AM+4B2+453)=P(A)P(M)+P(4)P(B2)+P(4)P(/)

=0.4x0$+0.2p+0.3q=0.35=2p+3g=1.5②

由①②解得：0=4=03

【小问2详解】

解：X可能取值为4,6,8,10,12,

p(X=4)=0.4x0.5=0.2,P(X=6)=0.4x0.2+0.3x0.5=0.23,

p(X=8)=0.4x0.3+0.5x0.3+0.3x0.2=0.33,

P(X=10)=0.3x0.3+0.3x0.2=0.15,尸(X=12)=0.3x0.3=0.09

所以X分布表如下：

X4681012

P0.20.230.330.150.09

所以E(X)=4x0.2+6x0.23+8x0.33+10x0.15+12x0.09=7.4

SSI

19.记S”为数列｛%｝的前〃项和，且4>0,已知一出--=—.

。〃+1anL

(1)若q=l,求数列｛%｝的通项公式；

111,

(2)若不+不++不<1对任意〃eN*恒成立，求为的取值范围.

【答案】（1）an=n

（2）>2

【解析】

S

【分析】（1）由已知得为公差为;的等差数列，求得2S,,=（〃+l）a“，利用。”与S”的关系求得

工=—；（〃22）,再利用累乘法即可得到结果.

%1

-12（11]

（2）利用等差数列前〃项和公式表示出S“，即可得出『=一・--------L然后利用裂项相消法求得其

SHqI〃n+lJ

前〃项的和，即可得到结论.

【小问1详解】

[S11S,,

由题意得1为公差为;，首项为」=1的等差数列，

对2%

即2S,,=(〃+1)%,2S,i=3,i(〃之2),

两式作差得2a,,=(n+l)a„-na,i,

吟:含心,

a.nn-\2

所以XXXX-=---------X-----------XX—

an-\an-2an-34n-1n-21

即j=〃，afl=>2）,

a\

因为4=1也适合上式，所以a〃=〃.

小问2详解】

由（1）知"="=>。“=〃4,

q

由&=-可得s“="〃M=（i+〃），

42"22

1212fl\]

所以$;二[.而而

qln+1J

当八一>+8时，有一1—

八111,_2八

因为q>0,所以3+《++不<】恒成立等价于一41,从而qN2.

»2Aa\

20.已知函数/(x)=alnx-or+l,aeR.

(1)若经过点(0,0)的直线与函数〃x)的图像相切于点(2,/(2)),求实数°的值；

(2)设g(x)=/(x)+gx2-i,若g(x)有两个极值点为X],玉。赴)，且不等式

,g(xl)+g(x,)<2(xI+w)恒成立，求实数X的取值范围.

【答案】(1)a=-^—

l-ln2

(2)[2In2—3,+oo)

【解析】

【分析】(1)由题意，对函数求导，根据导数的几何意义进行求解即可；

(2)将g(x)有两个极值点为X],w(不。工2)，转化为方程一ox+a=0在(0,+8)上有两个不同的根，

根据根的判别式求出。的取值范围，将不等式g(X,)+g(W)<4(X|+X2)恒成立，转化为

">g(再)+g(%2)恒成立,通过构造函数，将问题转化为函数极值问题，进而即可求解.

X1+九2

【小问1详解】

/(X)的定义域为(0,+8),

由/(x)=alnx—以+],得r(x)=0-a,则/出='|-0=_'|，

因为经过点(0,0)的直线与函数/(X)的图像相切于点(2,〃2)),

所以％=®=—0,

22

所以aln2-2a+l=-〃，解得。=--—，

1-ln2

【小问2详解】

/\z./\121112rl12-dX.

=fx-\=a\nx-ax+-x,则g'(x)=——a+x=---------(x〉0),

22xx

因为g(x)有两个极值点为£(玉。9)，

所以g，(x)=巨二竺±£=o在(o,+8)上有两个不同的根,

此时方程X?—依+〃=0在。+00)上有两个不同的根,

则A=Q2一4〃>0，且不+工2=。>0，解得。>4,

若不等式g(%)+g(%)</1(玉+/)恒成立，则4>恒成立，

JL?JL)

因为g(玉)+g(/)=〃(ln玉-xt)+—X)+tz(lnx2-x2)+—x2

2

=a\n{xix2)-a(x1+X2)+^(X|+x；)

=aln(XjX2)-a(Xy+x2

=a\na——a1-a

2

.12

不妨设〃3>(为.㈤-一乎一、ma1。l(a>4),

Uycl)-----------------------------inau->为

X,+x2a2

,,.112-a

则〃(a)=----=----,

a2la

因为。>4,所以/?'3)<0,

所以h(a)在(4,+oo)上递减,所以〃(a)<版4)=2In2-3,

所以；1221n2—3,

即实数X的取值范围为［21n2-3,+8).

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查导数几何意义，考查利用导数解决不等式恒成立

问题，解题的关键是将极值点问题转化为方程X2—以+。=0在（0,+00）上有两个不同的根，求出。的范

围，再将不等式g（玉）+g（w）<4（xi+%2）恒成立，则-〉g（­）+g（"2）=ina—Ja-l（a〉4）恒成

X]IX^2L

立，然后构造关于。的函数，利用导数求出其范围，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.

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21.已知双曲线E:0—[=l（a>O/>0）的离心率为夜，左焦点尸到双曲线E的渐近线的距离为

ab

万，过点尸作直线/与双曲线C的左、右支分别交于点48,过点尸作直线4与双曲线E的左、右支分

别交于点C、D,且点8、C关于原点。对称.

（1）求双曲线E的方程；

（2）求证：直线AO过定点.

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【答案】（1）-2-=1

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（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）由条件列关于。力,c的方程，解方程求a,ac,由此可得双曲线方程；

（2）设。（一/，一%），分别联立直线EB，FC与双曲线方程，结合关于系数关系求点A和点

。坐标，利用点斜式表示直线A。的方程，再证明直线过定点.

【小问1详解】

设双曲线的半焦距为c,则网—c,0）,

由己知£=应，故==竺挈1=2,即。=人，

aaa

所以渐近线方程为y二台.

又尸到双曲线后的渐近线的距离为近，贝ij£=8,

所以c=2,a=/?=V2.

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所以双曲线E的方程为七一匕=1.

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【小问2详解】

设B^XQ,y0）,C（—x0,—y0）,

若为=0,则/=及，

故3（夜,0）,。卜VIo）,A（-0,0）,。（五,0）,

直线A。的方程为y=o,