初中数学120大招-35 几何模型菱形的存在性问题

菱形的存在性问题一、方法突破作为一种特殊的平行四边形，我们已经知道可以从以下几种方式得到菱形：（1）有一组邻边相等的平行四边形菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四边都相等的四边形是菱形．坐标系中的菱形存在性问题也是依据以上去得到方法．和平行四边形相比，菱形多一个“对角线互相垂直”或“邻边相等”，但这两者其实是等价的，故若四边形ABCD是菱形，则其4个点坐标需满足：考虑到互相垂直的两条直线斜率之积为1在初中并不适合直接用，故取两邻边相等．即根据菱形的图形性质，我们可以列出关于点坐标的3个等式，故菱形存在性问题点坐标最多可以有3个未知量，与矩形相同．因此就常规题型而言，菱形存在性至少有2个动点，多则有3个动点，可细分如下两大类题型：（1）2个定点+1个半动点+1个全动点（2）1个定点+3个半动点解决问题的方法也可有如下两种：思路1：先平四，再菱形设点坐标，根据平四存在性要求列出“A+C=B+D”（AC、BD为对角线），再结合一组邻边相等，得到方程组．思路2：先等腰，再菱形在构成菱形的4个点中任取3个点，必构成等腰三角形，根据等腰存在性方法可先确定第3个点，再确定第4个点．

看个例子：如图，在坐标系中，A点坐标（1,1），B点坐标为（5,4），点C在x轴上，点D在平面中，求D点坐标，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形．思路1：先平四，再菱形设C点坐标为（m，0），D点坐标为（p，q）．（1）当AB为对角线时，由题意得：（AB和CD互相平分及AC=BC），解得：（2）当AC为对角线时，由题意得：（AC和BD互相平分及BA=BC），解得：或（3）当AD为对角线时，由题意得：，解得：或思路2：先等腰，再菱形先求点C，点C满足由A、B、C构成的三角形一定是等腰三角形，用等腰存在性问题的方法先确定C，再确定D点．（1）当AB=AC时，C点坐标为，对应D点坐标为；C点坐标为，对应D点坐标为．（2）当BA=BC时，C点坐标为（8，0），对应D点坐标为（4，-3）；C点坐标为（2，0），对应D点坐标为（-2，-3）．（3）AC=BC时，C点坐标为，D点坐标为．以上只是两种简单的处理方法，对于一些较复杂的题目，还需具体问题具体分析，或许有更为简便的方法．二、典例精析例一：综合与探究如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA=2，OC=6，连接AC和BC．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）抛物线：；（2）先考虑M点位置，即由A、C、M三点构成的三角形是等腰三角形：①当CA=CM时，即CM=CA=，M点坐标为、，对应N点坐标为、．②当AC=AM时，即AM=AC=，M点坐标为（0，6），对应N点坐标为（2，0）．③当MA=MC时，勾股定理可求得M点坐标为，对应N点坐标为．综上，N点坐标为、、（2，0）、．如下图依次从左到右．例二：综合与探究如图1所示，直线y=x+c与x轴交于点A（-4,0），与y轴交于点C，抛物线经过点A，C．（1）求抛物线的解析式（2）如图2所示，M是线段OA的上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N．若点P恰好是线段MN的中点，点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D，F，P，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）抛物线解析式：；（2）设M点坐标为（m，0）（-4<m<0），则N点坐标为，P点坐标为（m，m+4），若P是MN中点，则，解得：，（舍）故P（-1，3）、M（-1，0）考虑到F点在直线AC上，故可先确定F点位置，再求得D点坐标．当PM=PF时，PF=3，可得、，对应D点坐标分别为、．当MP=MF时，MP=MF，可得，对应D点坐标为．当FP=FM时，FP=FM，F点在PM垂直平分线上，可得，对应D点坐标为．综上所述，D点坐标有、、、．例三：如图，已知直线分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过A、B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．（1）若抛物线的解析式为，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．①求点M、N的坐标；②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由．【分析】（1）①M点坐标为，N点坐标为．②由题意可知MN∥PD，故四边形MNPD若是菱形，首先MN=PD考虑到M、N是定点，可先求得，设，则，，令，即，解得：，．故P点坐标为，D点坐标为．但此时仅仅满足四边形MNPD是平行四边形，本题要求的是菱形，故还需加邻边相等．但此时P、D已定，因此接下来要做的只是验证邻边是否相等．由两点间距离公式得：，PN≠MN，故不存在点P使四边形MNPD是菱形．【小结】为什么此题会不存在，表面上看是不满足邻边相等，究其原因，是因为M、N是定点，P、D虽为动点但仅仅是半动点，且P、D横坐标相同，故本题只需一个字母便可表示出4个点的坐标，对于菱形四个点满足：若只有1个未知数或2个未知数，便出现方程个数＞未知量个数的情况，就有可能会无解．方程个数<未知数个量，可能无法确定有限组解；方程个数>未知数个量，可能会无解．特殊图形的存在性，其动点是在线上还是在平面上，是有1个动点还是有2个动点，都是由其图形本身决定，矩形和菱形相比起平行四边形，均多一个等式，故对动点位置的要求可以有3个半动点或者1个全动点+1个半动点，若减少未知量的个数，反而可能会产生无解的情况．不难想象，对于正方形来说，可以有4个未知量，比如在坐标系中已知两定点，若要作正方形，只能在平面中再取另外两动点，即2个全动点，当然，也有可能是1全动+2半动，甚至是4个半动点．三、中考真题对决1．（2021•湘潭）如图，一次函数图象与坐标轴交于点、，二次函数图象过、两点．（1）求二次函数解析式；（2）点关于抛物线对称轴的对称点为点，点是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）在中，令得，令得，，，二次函数图象过、两点，，解得，二次函数解析式为；（2）存在，理由如下：由二次函数可得其对称轴为直线，设，，而，与关于直线对称，，①当、为对角线时，如图：此时的中点即是的中点，即，解得，当，时，四边形是平行四边形，由，，可得，，四边形是菱形，此时；②、为对角线时，如图：同理、中点重合，可得，解得，当，时，四边形是平行四边形，由，，可得，四边形是菱形，此时；③以、为对角线，如图：、中点重合，可得，解得，，时，四边形是平行四边形，由，，可得，四边形是菱形，此时；综上所述，的坐标为：或或．2．（2021•鄂尔多斯）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点．（1）求，，三点的坐标；（3）点在轴上，点在直线上，点为抛物线对称轴上一点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）在中，令，得，解得：，，，，令，得，；（3）存在，如图2，，抛物线对称轴为直线，以、、、为顶点的四边形是菱形，分三种情况：对角线或为对角线或为对角线，①当为对角线时，，，点为直线与抛物线对称轴的交点，即，，，，；②当为对角线时，，，设，则，，，解得：，，③当对角线时，与互相垂直平分，设，则，，在直线上，，，综上所述，点的坐标为：，，，．3．（2021•通辽）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，动点在抛物线的对称轴上．（1）求抛物线的解析式；（3）若点是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）抛物线交轴于，两点，，解得：，该抛物线的解析式为；（2）在中，令，得，，的周长为：，是定值，当最小时，的周长最小．如图1，点、关于对称轴对称，连接交于点，则点为所求的点．，周长的最小值是：．，，，，．周长的最小值是：．抛物线对称轴为直线，设直线的解析式为，将，代入，得：，解得：，直线的解析式为，；（3）存在．设，，，则，，，四边形是菱形，分三种情况：以为对角线或以为对角线或以为对角线，①当以为对角线时，则，如图2，，解得：，，，，，②以为对角线时，则，如图3，，解得：，，，③当以为对角线时，则，如图4，，解得：，，，，，综上所述，符合条件的点的坐标为：，，，，．4．（2021•娄底）如图，在直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点和点，与轴交于点．（1）求、的值；（2）点为抛物线上的动点，过作轴的垂线交直线于点．①当时，求当点到直线的距离最大时的值；②是否存在，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出的值．解：（1）由二次函数的图象与轴相交于点和点，得：，解得：，，，．（2）①点在抛物线上，，，过作轴的垂线交直线于点，，设点到直线的距离为，直线是一三象限的角平分线，，当点到直线的距离最大时，取得最大值，当时，有最大值，当点到直线的距离最大时，的值为．②抛物线与轴交于点，时，，，，且以点、、、为顶点的四边形是菱形，，又，，，解得：，，，，当时，与重合，菱形不成立，舍去；当时，，，此时，四边形是平行四边形，，，平行四边形不是菱形，舍去；当时，，，此时，四边形是平行四边形，，，平行四边形不是菱形，舍去；当时，，，此时，四边形是平行四边形，，，平行四边形不是菱形，舍去；综上所述：不存在，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形．5．（2021•恩施州）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点，在轴上，抛物线经过点，两点，且与直线交于另一点．（1）求抛物线的解析式；（2）为抛物线对称轴上一点，为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形．若存在，请求出