2024年初中升学考试专题复习数学总复习（按知识点分类）一次函数综合题

一次函数综合题27．（2023•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，菱形AOCB的边OC在x轴上，∠AOC＝60°，OC的长是一元二次方程x2－4x－12＝0的根，过点C作x轴的垂线，交对角线OB于点D，直线AD分别交x轴和y轴于点F和点E，动点M从点O以每秒1个单位长度的速度沿OD向终点D运动，动点N从点F以每秒2个单位长度的速度沿FE向终点E运动．两点同时出发，设运动时间为t秒．（1）求直线AD的解析式；（2）连接MN，求△MDN的面积S与运动时间t的函数关系式；（3）点N在运动的过程中，在坐标平面内是否存在一点Q，使得以A，C，N，Q为顶点的四边形是矩形．若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，说明理由．【答案】（1）y=−3（2）S=3（3）存在，点Q的坐标是(32，【分析】（1）过点A作AH⊥OC于H，解方程可得OC＝6，然后解直角三角形求出CD、OH和AH的长，得到点A、D的坐标，再利用待定系数法求出解析式即可；（2）首先证明△EOD是等边三角形，求出DO＝DF＝43，然后分情况讨论：①当点N在DF上，即0≤t≤23时，过点M作NP⊥OB于P，②当点M在DE上，即23＜t≤43时，过点M作NT⊥OB于T，分别解直角三角形求出NP和NT（3）分情况讨论：①当AN是直角边时，则CN⊥EF，过点M作NK⊥CF于K，首先求出CN，然后解直角三角形求出CK和NK，再利用平移的性质得出点Q的坐标；②当AN是对角线时，则∠ACN＝90°，过点M作NL⊥CF于L，证明∠NCF＝∠NFC，可得CL＝FL＝3，然后解直角三角形求出NL，再利用平移的性质得出点Q的坐标．【解答】（1）解：解方程x2－4x－12＝0得：x1＝6，x2＝－2，∴OC＝6，∵四边形AOCB是菱形，∠AOC＝60°，∴OA＝OC＝6，∠BOC=12∠∴CD＝OC•tan30°＝6×33=∴D（6，23），过点A作AH⊥OC于H，∵∠AOH＝60°，∴OH=12OA＝3，AH＝OA•sin60°＝6×3∴A（3，33），设直线AD的解析式为y＝kx＋b（k≠0），代入A（3，33），D（6，23）得：3k＋b=33解得：k=−3∴直线AD的解析式为y=−3（2）解：由（1）知在Rt△COD中，CD=23，∠DOC∴OD=2CD=43，∠EOD＝90°－∠DOC∵直线y=−33x＋43与∴OE=43∴OE＝OD，∴△EOD是等边三角形，∴∠OED＝∠EDO＝∠BDF＝60°，ED=OD=43∴∠OFE＝30°＝∠DOF，∴DO=DF=43①当点N在DF上，即0≤t≤23由题意得：DM=OD−OM=43−t，过点N作NP⊥OB于P，则NP＝DN×sin∠PDN＝DN×sin60°＝（43−2t）×32=∴S=12DM×NP=12（43−2t）×（6−3t）=3②当点N在DE上，即23由题意得：DM＝OD－OM=3−t，DN＝2t－4过点N作NT⊥OB于T，则NT＝DN•sin∠NDT＝DN•sin60°＝（2t－43）×3∴S=1综上，S=3（3）解：存在，分情况讨论：①如图，当AN是直角边时，则CN⊥EF，过点N作NK⊥CF于K，∵∠NFC＝30°，OE=43∴∠NCK＝60°，OF=3∴CF＝12－6＝6，∴CN=1∴CK＝CN×cos60°＝3×12=32，NK∴将点N向左平移32个单位长度，再向下平移332∴将点A向左平移32个单位长度，再向下平移332∵A(3，33∴Q（32，3②如图，当AN是对角线时，则∠ACN＝90°，过点N作NL⊥CF于L，∵OA＝OC，∠AOC＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴∠ACO＝60°，∴∠NCF＝180°－60°－90°＝30°＝∠NFC，∴CL＝FL=12∴NL＝CL•tan30°＝3×3∴将点C向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点N，∴将点A向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点Q，∵A(3，33∴Q（6，43）；∴存在一点Q，使得以A，C，N，Q为顶点的四边形是矩形，点Q的坐标是(32，【点评】本题考查了解一元二次方程，菱形的性质，解直角三角形，待定系数法的应用，等边三角形的判定和性质，含30°直角三角形的性质，二次函数的应用，矩形的判定和性质以及平移的性质等知识，灵活运用各知识点，作出合适的辅助线，熟练掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用是解题的关键．一次函数综合题19．（2023•河北）在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点（x，y）移动到点（x+2，y+1）称为一次甲方式；从点（x，y）移动到点（x+1，y+2）称为一次乙方式．例点P从原点O出发连续移动2次：若都按甲方式，最终移动到点M（4，2）；若都按乙方式，最终移动到点N（2，4）；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点E（3，3）．（1）设直线l1经过上例中的点M、N，求l1的解析式，并直接写出将l1向上平移9个单位长度得到的直线l2的解析式；（2）点P从原点O出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点Q（x，y）．其中，按甲方式移动了m次．①用含m的式子分别表示x，y；②请说明：无论m怎样变化，点Q都在一条确定的直线上．设这条直线为l3，在图中直接画出l3的图象；（3）在（1）和（2）中的直线l1，l2，l3上分别有一个动点A，B，C，横坐标依次为a，b，c，若A，B，C三点始终在一条直线上，直接写出此时a，b，c之间的关系式．【答案】（1）直线l1的解析式为y＝﹣x+6；直线l2的解析式为y＝﹣x+15；（2）①x＝m+10，y＝20﹣m；②直线l3的解析式为y＝﹣x+30；图象见解析过程；（3）a，b，c之间的关系式为5a+3c＝8b．【分析】（1）由待定系数法可求直线l1的解析式；由平移的性质可求直线l2的解析式；（2）①由题意可得：点P按照甲方式移动m次后得到的点的坐标为（2m，m），再得出点（2m，m），按照乙方式移动（10﹣m）次后得到的点的横坐标和纵坐标，即得结果；②由①的结果可得直线l3的解析式，进而可画出函数图象；（3）由题意可得点A，点B，点C的坐标，由待定系数法可求直线AB的解析式，即可求解．【解答】解：（1）设l1的解析式为y＝kx+b，由题意可得：4k+b=22k+b=4解得：k=−1b=6∴l1的解析式为y＝﹣x+6，将l1向上平移9个单位长度得到的直线l2的解析式为y＝﹣x+15；（2）∵点P按照甲方式移动了m次，点P从原点O出发连续移动10次，∴点P按照乙方式移动了（10﹣m）次，∴点P按照甲方式移动m次后得到的点的坐标为（2m，m），∴点（2m，m）按照乙方式移动（10﹣m）次后得到的点的横坐标为2m+10﹣m＝m+10，纵坐标为m+2（10﹣m）＝20﹣m，∴x＝m+10，y＝20﹣m；②∵x+y＝m+10+20﹣m＝30，∴直线l3的解析式为y＝﹣x+30；函数图象如图所示：（3）∵点A，B，C，横坐标依次为a，b，c，∴点A（a，﹣a+6），点B（b，﹣b+15），点C（c，﹣c+30），设直线AB的解析式为y＝mx+n，由题意可得：ma+n=−a+6mb+n=−b+15解得：m=−1+9∴直线AB的解析式为y＝（﹣1+9b−a）x+6∵点A，点B，点C三点始终在一条直线上，∴c（﹣1+9b−a）+6−∴5a+3c＝8b，∴a，b，c之间的关系式为5a+3c＝8b．【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，平移的性质，掌握平移的性质和一次函数的性质是解题的关键．一次函数综合题21．（2023•广东）综合运用如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上．如图2，将正方形OABC绕点O逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜45°），AB交直线y＝x于点E，BC交y轴于点F．（1）当旋转角∠COF为多少度时，OE＝OF；（直接写出结果，不要求写解答过程）（2）若点A（4，3），求FC的长；（3）如图3，对角线AC交y轴于点M，交直线y＝x于点N，连接FN．将△OFN与△OCF的面积分别记为S1与S2．设S＝S1﹣S2，AN＝n，求S关于n的函数表达式．【答案】（1）当旋转角为22.5°时，OE＝OF；（2）FC的长为154（3）S关于n的函数表达式为S=1【分析】（1）如图2中，当OE＝OF时，得到Rt△AOE≌Rt△COF，利用全等三角形的性质以及旋转的性质解决问题即可；（2）在图2中，过点A作AG⊥x轴于点G，利用三角形相似，可得结论；（3）过点N作直线PQ⊥BC于点P，交OA于点Q，利用四点共圆，得出三角形FON是等腰直角三角形是解决问题的关键，结合三角形全等的判定和性质和三角形的面积公式解决问题．【解答】解：（1）当OE＝OF时，在Rt△AOE和Rt△COF中，OE=OFOA=OC∴Rt△AOE≌Rt△COF（HL），∴∠AOE＝∠COF（即∠AOE＝旋转角），∴2∠AOE＝45°，∴∠COF＝∠AOE＝22.5°，∴当旋转角为22.5°时，OE＝OF；（2）过点A作AG⊥x轴于点G，则有AG＝3，OG＝4，∴OA=O∵四边形OABC是正方形，∴OC＝OA＝5，∠AOC＝∠C＝90°，又∵∠COF+∠FOA＝90°，∠AOG+∠FOA＝90°，∴∠COG＝∠GOA，∴Rt△AOG∽Rt△FOC，∴OCOG∴FC=OC⋅AG∴FC的长为154（3）过点N作直线PQ⊥BC于点P，交OA于点Q，∵四边形OABC是正方形，∴∠BCA＝∠OCA＝45°，BC∥OA，又∠FON＝45°，∴∠FCN＝∠FON＝45°，∴F、C、O、N四点共圆，∴∠OFN＝∠OCA＝45°，∴∠OFN＝∠FON＝45°，∴△FON是等腰直角三角形，∴FN＝NO，∠FNO＝90°，∴∠FNP+∠ONQ＝90°，又∵∠NOQ+∠ONQ＝90°，∴∠NO