2024年初中升学考试专题复习数学总复习（按知识点分类）解直角三角形的应用方向角问题

解直角三角形的应用方向角问题50．（2023•通辽）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东72°方向，距离灯塔100nmile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东40°方向上的B处．这时，B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）​【答案】B处距离灯塔P约有148海里．【分析】根据题意可得：PC⊥AB，EF∥AB，从而可得∠A＝∠EPA＝72°，∠B＝∠BFP＝40°，然后在Rt△APC中，利用锐角三角函数的定义求出PC的长，再在Rt△BPC中，利用锐角三角函数的定义求出BP的长，即可解答．【解答】解：如图：由题意得：PC⊥AB，EF∥AB，∴∠A＝∠EPA＝72°，∠B＝∠BFP＝40°，在Rt△APC中，AP＝100海里，∴PC＝AP•sin72°≈100×0.95＝95（海里），在Rt△BCP中，BP=PC∴B处距离灯塔P约有148海里．【点评】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，熟练掌锐角三角函数的定义是解题的关键．解直角三角形的应用方向角问题52．（2023•眉山）一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是63+6【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题；勾股定理的应用．【分析】过点C作CH⊥AB于H．证得BH＝CH，在Rt△ACH中，解直角三角形求出CH的值即可．【解答】解：过点C作CH⊥AB于H．∵∠DAC＝60°，∠CBE＝45°，∴∠CAH＝90°﹣∠CAD＝30°，∠CBH＝90°﹣∠CBE＝45°，∴∠BCH＝90°﹣45°＝45°＝∠CBH，∴BH＝CH，在Rt△ACH中，∠CAH＝30°，AH＝AB+BH＝12+CH，tan30°=CH∴CH=33（12+解得CH＝6（3−答：渔船与灯塔C的最短距离是6（3+故答案为：63+【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确根据题意画出辅助线，熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．解直角三角形的应用方向角问题49．（2023•广安）为了美化环境，提高民众的生活质量，市政府在三角形花园ABC边上修建一个四边形人工湖泊ABDE，并沿湖泊修建了人行步道．如图，点C在点A的正东方向170米处，点E在点A的正北方向，点B、D都在点C的正北方向，BD长为100米，点B在点A的北偏东30°方向，点D在点E的北偏东58°方向．（1）求步道DE的长度；（2）点D处有一个小商店，某人从点A出发沿人行步道去商店购物，可以经点B到达点D，也可以经点E到达点D，请通过计算说明他走哪条路较近．（结果精确到个位）（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，3≈【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．【分析】（1）过D作DF⊥AE，垂足为F，根据题意可得：四边形ACDF是矩形，从而可得DF＝AC＝200米，然后在Rt△EFD中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答；（2）先在Rt△EFD中，利用锐角三角函数的定义求出EF的长，再在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出AB，BC的长，从而求出DC的长，然后利用矩形的性质求出AF的长，从而求出AE的长，最后利用线段的和差关系进行计算，比较即可解答．【解答】解：（1）过D作DF⊥AE，垂足为F，由题意得：四边形ACDF是矩形，∴DF＝AC＝170米，在Rt△EFD中，∠DEF＝58°，∴DE=DF∴步道DE的长度约为200米；（2）小红从A出发，经过点B到达点D路程较近，理由：在Rt△EFD中，∠DEF＝58°，DF＝170米，∴EF=DF在Rt△ABC中，∠BAC＝90°﹣30°＝60°，AC＝170米，∴BC＝AC•tan60°＝1703（米），∴AB=170∵BD＝100米，∴CD＝BC+BD＝（1703+∵四边形ACDF是矩形，∴AF＝DC＝（1703+∴AE＝AF﹣EF＝1703+∴某人从A出发，经过点B到达点D路程＝AB+BD＝340+100＝440（米），某人从A出发，经过点E到达点D路程＝AE+DE＝287.8+283＝570.8（米），∵440米＜570.8米，∴小红从A出发，经过点B到达点D路程较近．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，勾股定理的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．50．（2023•重庆）人工海产养殖合作社安排甲、乙两组人员分别前往海面A，B养殖场捕捞海产品．经测量，A在灯塔C的南偏西60°方向，B在灯塔C的南偏东45°方向，且在A的正东方向，AC＝3600米．（1）求B养殖场与灯塔C的距离（结果精确到个位）；（2）甲组完成捕捞后，乙组还未完成捕捞，甲组决定前往B处协助捕捞，若甲组航行的平均速度为600米每分钟，请计算说明甲组能否在9分钟内到达B处？（参考数据：2≈1.414，3【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题；勾股定理的应用．【分析】（1）过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中，解直角三角形求出AD，CD．在Rt△BCD中，解直角三角形即可求出BC；（2）求出AD，BD，进而求出AB，根据速度公式即可得到结论．【解答】解：（1）过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中，∠ACD＝60°，AC＝3600米，cos60°=CDAC，sin60°∴AD＝3600×32=18003（米），在Rt△BCD中，∠BCD＝45°，∴∠B＝45°＝∠BCD，∴BD＝CD＝1800（米），∴BC=BD2答：B养殖场与灯塔C的距离约为2545米；（2）AB＝AD+BD＝18003+600×9＝5400（米），∵5400米＞4917.6米，∴能在9分钟内到达B处．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，解答本题的关键是利用三角函数求出AD与BD的长度，难度一般．51．（2023•重庆）为了满足市民的需求，我市在一条小河AB两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图：①A﹣D﹣C﹣B；②A﹣E﹣B．经勘测，点B在点A的正东方，点C在点B的正北方10千米处，点D在点C的正西方14千米处，点D在点A的北偏东45°方向，点E在点A的正南方，点E在点B的南偏西60°方向．（参考数据：2≈1.41，3（1）求AD的长度．（结果精确到1千米）（2）由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题；勾股定理的应用．【分析】（1）过D作DF⊥AE，垂足为F，根据题意可得：四边形ABCF是矩形，从而可得AF＝BC＝10千米，然后在Rt△AFD中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答；（2）先在Rt△ADF中，根据等腰三角形的判定求出AF的长，再在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求出AB，AE的长，最后利用线段的和差关系进行计算，比较即可解答．【解答】解：（1）过D作DF⊥AE，垂足为F，由题意得：四边形ABCF是矩形，∴AF＝BC＝10千米，在Rt△ADF中，∠DAF＝45°，∴AD=AFsin45°=∴AD的长度约为14千米；（2）小明应该选择线路①，理由：在Rt△ADF中，∠DAF＝45°，AF＝10千米，∴∠ADF＝45°＝∠DAF，∴DF＝AF＝10千米，在Rt△ABE中，∠ABE＝90°﹣60°＝30°，AB＝DF+CD＝24千米，∴AE＝AB•tan30°＝24×33=EB＝2AE＝163千米，按路线①A﹣D﹣C﹣B走的路程为AD+DC+CB＝14+14+10＝38（千米）按路线②A﹣E﹣B走的路程为AE+EB＝83+163∵38千米＜41.52千米，∴小明应该选择线路①．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．解直角三角形的应用方向角问题52．（2023•聊城）东昌湖西岸的明珠大剧院，隔湖与远处的角楼、城门楼、龙堤、南关桥等景观遥相呼应．如图所示，城门楼B在角楼A的正东方向520m处，南关桥C在城门楼B的正南方向1200m处．在明珠大剧院P测得角楼A在北偏东68.2°方向，南关桥C在南偏东56.31°方向（点A，B，C，P四点在同一平面内），求明珠大剧院到龙堤BC的距离（结果精确到1m）（参考数据：sin68，2°≈0.928，cos68.2°≈0.371，tan68.2°≈2.50，sin56.31°≈0.832，cos56.31°≈0.555，tan56.31°≈1.50）【答案】明珠大剧院到龙堤BC的距离约为1320m．【分析】过P作PE⊥BC于E，过A作AD⊥PE于D，根据矩形的性质得到DE＝AB＝520m，设PD＝xm，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：过P作PE⊥BC于E，过A作AD⊥PE于D，则四边形ADEB是矩形，∴DE＝AB＝520m，设PD＝xm，在Rt△APD中，∵∠PAD＝68.2°，∴AD=PDtan68.2°∴BE＝AD=x2.5∴PE＝PD+DE＝（x+520）m，CE＝BC﹣BE＝（1200−2x5）在Rt△PCE中，tanC＝tan56.31°=PE解得x＝800，∴PD＝800m，∴PE＝PD+DE＝800+520＝1320（m），答：明珠大剧院到龙堤BC的距离约为1320m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，矩形的判定和性质，正确地作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，53．（2023•郴州）某次军事演习中，一艘船以40km/h的速度向正东航行，在出发地A测得小岛C在它的北偏东60°方向，2小时后到达B处，浏得小岛C在它的北偏西45°方向，求该船在航行过程中与小岛C的最近距离（参考数据：2≈1.41，3≈1.73．结果精确到0.1【答案】该船在航行过程中与小岛C的最近距离为29.2海里．【分析】由题意得，AB＝40×2＝80（海里），∠CAB＝30°，∠ABC＝45°，过C作CD⊥AB于D，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：由题意得，AB＝40×2＝80（海里），∠CAB＝30°，∠ABC＝45°，过C作CD⊥AB于D，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∴AD=3∵AB＝80海里，∴3CD+CD＝80，解得CD＝403−答：该船在航行过程中与小岛C的最近距离为29.2海里．【点评】本题考查解直角三角形应用﹣方向角问题、勾股定理的应用等知识，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．解直角三角形的应用方向角问题54．（2023•株洲）如图所示，在某交叉路口，一货车在道路①上点A处等候“绿灯”，一辆车从被山峰POQ遮挡的道路②的点B处由南向北行驶．已知∠POQ＝30°，BC∥OQ，OC⊥OQ，AO⊥OP，线段AO的延长线交直线BC于点D．（1）求∠COD的大小；（2）若在点B处测得点O在北偏西α方向上，其中tanα=35，OD＝12米．问该轿车至少行驶多少米才能发现点A处的货车？（当该轿车行驶至点D处时，正好发现点​【答案】（1）30°；（2）24米．【分析】（1）根据垂直的定义得到∠POD＝90°，根据三角形的内角和定理得到∠DOQ＝∠POD﹣∠POQ＝90°﹣30°＝60°，根据垂直的定义得到∠COQ＝90°，于是得到结论；（2）根据平行线的性质得到∠BCO＝180°﹣∠COQ＝90°，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：（1）∵AO⊥OP，∴∠POD＝90°，∵∠POQ＝30°，∴∠DOQ＝∠POD﹣∠POQ＝90°﹣30°＝60°，∵OC⊥OQ，∴∠COQ＝90°，∴∠COD＝∠COQ﹣∠DOQ＝90°﹣60°＝30°，即∠COD的大小为30°；（2）∵BC∥OQ，∴∠BCO＝180°﹣∠COQ＝90°，在Rt△COD中，∠COD＝30°，OD＝12米，∴CD=1∴OC=OD2∵tanα=tan∠OBC=3∴BC=OC∴BD＝BC﹣CD＝30﹣6＝24（米），即轿车至少行驶24米才能发现点A处的货车．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，平行线的性质，正确地求出结果是解题关键．解直角三角形的应用方向角问题57．（2023•内蒙古）为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为B点和C点，行进路线为A→B→C→A．B点在A点的南偏东25°方向32km处，C点在A点的北偏东80°方向，行进路线AB和BC所在直线的夹角∠ABC为45°．（1）求行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数；（2）求检查点B和C之间的距离（结果保留根号）．【答案】（1）行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数为60°；（2）检查点B和C之间的距离（3＋3）km【分析】（1）根据题意可得：∠NAC＝80°，∠BAS＝25°，从而利用平角定义可得∠CAB＝75°，然后利用三角形内角和定理进行计算即可解答；（2）过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AD和BD的长，再在Rt△ADC中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【解答】解：（1）由题意得：∠NAC＝80°，∠BAS＝25°，∴∠CAB＝180°－∠NAC－∠BAS＝75°，∵∠ABC＝45°，∴∠ACB＝180°－∠CAB－∠ABC＝60°，∴行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数为60°；（2）过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ABD中，AB＝32km，∠ABC＝45°，∴AD＝AB•sin45°＝32×22BD＝AB•cos45°＝32×22在Rt△ADC中，∠ACB＝60°，CD=ADtan60°=∴BC＝BD＋CD＝（3＋3）km∴检查点B和C之间的距离（3＋3）km【点评】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．解直角三角形的应用坡度坡角问题44．（2023•连云港）渔湾是国家“AAAA”级风景区，图1是景区游览的部分示意图．如图2，小卓从九孔桥A处出发，沿着坡角为48°的山坡向上走了92m到达B处的三龙潭瀑布，再沿坡角为37°的山坡向上走了30m到达C处的二龙潭瀑布．求小卓从A处的九孔桥到C处的二龙潭瀑布上升的高度DC为多少米？（结果精确到0.1m）（参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．菁优网版权所有【分析】过点B作BE⊥AD，作BF⊥CD，分别在Rt△ABE和Rt△CBF中分别解三角形求出BE，CF的长，二者相加就是CD的长．【解答】解：如图，过点B作BE⊥AD于E，在Rt△ABE中，sin∠BAE=BE∴BE＝ABsin∠BAE＝92×sin48°≈92×0.