安徽省部分省示范高中高三开学联考数学试卷

安徽省部分省示范中学2024届高三开学联考数学试卷第Ⅰ卷选择题（共58分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量，若，则实数的值为（）A. B.2 C.1 D.8【答案】A【解析】【分析】根据题意，结合向量共线的坐标表示，列出方程，即可求解.【详解】由向量，因为，可得，解得.故选：A.2.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四像限【答案】D【解析】【分析】利用复数的四则运算化简复数，由几何意义得复平面内对应的点所在象限.【详解】，则在复平面内对应的点为，位于第四象限.故选：D．3.已知直线与曲线在点处的切线垂直，则直线的斜率为（）A.1 B.1 C. D.2【答案】C【解析】【分析】可得，得到，进而求得直线斜率，得到答案.【详解】由函数，可得，则，所以直线的斜率为.故选：C．4.已知正项数列满足，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据给定的递推公式，利用构造法探讨数列的特性即可得解.【详解】依题意，，则数列是以为公比的等比数列，因此，所以.故选：B5.已知抛物线的准线为，点在抛物线上，且线段的中点为，则直线的方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据抛物线的几何性质，求得抛物线的方程为，再利用点差法，即可求解.【详解】由抛物线的准线为，可得，可得，所以，设，可得，且，两式相减，可得，可得，所以直线的方程为，即.故选：A．6.近期，哈尔滨这座“冰城”火了，2024年元旦假期三天接待游客300多万人次，神秘的鄂伦春族再次走进世人的眼帘，这些英雄的后代讲述着英雄的故事，让哈尔滨大放异彩．现安排6名鄂伦春小伙去三个不同的景点宣传鄂伦春族的民俗文化，每个景点至少安排1人，则不同的安排方法种数是（）A.240 B.420 C.540 D.900【答案】C【解析】【分析】根据题意，分为三个景点安排的人数之比为或或，结合排列、组合数的计算公式，即可求解.【详解】若三个景点安排的人数之比为，则有种安排方法；若三个景点安排的人数之比为，则有种安排方法；若三个景点安排的人数之比为，则有种安排方法，故不同的安排方法种数是．故选：C．7.如图，为圆锥底面圆的一条直径，点为线段的中点，现沿将圆锥的侧面展开，所得的平面图形中为直角三角形，若，则圆锥的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，得到，由，求得，结合圆锥的侧面积公式和圆的面积公式，即可求解.【详解】如图所示，作出展开图，可得为锐角，故，由，可得，即为等边三角形，所以，则圆锥的侧面积为，底面积，所以圆锥的表面积为.故选：B．8.“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设，则两点间的曼哈顿距离，已知，点在圆上运动，若点满足，则的最大值为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求得圆心，半径，设，则，可得点的轨迹为正方形，结合圆的性质，即可求解.【详解】如图所示，由圆，可得，则圆心，半径，设，则，可得点的轨迹为如下所示的正方形，其中，则，则，所以的最大值为.故选：D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，则（）A.直线为图象的一条对称轴B.点为图象的一个对称中心C.将的图象向右平移个单位长度后关于轴对称D.在上单调递增【答案】AC【解析】【分析】由正弦函数的对称轴，对称中心，平移，单调性性质逐一判断选项即可.【详解】A：，故A正确；B：，故B错误；C：将函数图象向右平移个单位长度后，得到，偶函数，故C正确；D：因为，所以，则函数在上先增后减，故D错误．故选：AC．10.已知棱长为2的正方体中，动点在棱上，记平面截正方体所得的截面图形为，则（）A.平面平面B.不存在点，使得直线平面C.最小值为D.的周长随着线段长度的增大而增大【答案】ACD【解析】【分析】根据几何体特征判断A选项,根据线面平行的判定定理判断B选项,结合距离和最小判断C选项,根据导数结合函数单调性判断D选项.【详解】由于正方体的对角面相互垂直，故正确；当点与重合时，直线平面，故错误；将四边形翻折至与四边形共面，则，故C正确；当时，为，且的周长为．当时，为四边形，且四边形的周长为．当时，如图，过点作，易得，所以为四边形，设，四边形的周长为，则，所以，令，解得，所以在上单调递增，所以的周长随着线段长度的增大而增大，故D正确．故选:ACD．11.已知函数的定义域均为，其中的图象关于点中心对称，的图象关于直线对称，，则（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】根据题意，结合函数的性质，所以，可判定A错误；再由函数是以4为周期的周期函数，得到，可判定B正确；结合，结合周期性，可判定C错误；求得，进而可判定D正确.【详解】由题意知，所以，所以，所以A错误；又由，因为关于点中心对称，所以，所以，又因为，所以，所以函数是以4为周期的周期函数，所以，所以B正确；由，所以C错误；因为，所以，所以，所以D正确.故选：BD.第Ⅱ卷非选择题（共92分）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知集合，则__________．【答案】【解析】【分析】列举法表示M，由交集的定义求.【详解】因为，又，所以．故答案为：13.在中，，且，则的面积为__________；若，则__________．【答案】①.4②.##【解析】【分析】利用正弦定理可得，进而可得，代入面积公式即可得的面积；根据题意可得，利用余弦定理可得，进而可得.【详解】设角所对边分别为，因为，由正弦定理可得，又因为，则，所以的面积；当时，则，即，由余弦定理可得，即，所以．故答案为：4；.14.已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与交于两点，若，且，则的离心率为__________．【答案】【解析】【分析】作，分别求得，，，在直角中，利用勾股定理，列出关于离心率的方程，结合离心率的定义，即可求解.【详解】如图所示，作，垂足为，因为，所以，点为的中点，所以，因为，所以，所以，所以，所以，在直角中，由勾股定理可得，整理得到，即，因为，解得.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．15.2023年12月28日，小米汽车举行了技术发布会，首款产品SU7揭开神秘面纱，引起了广大车迷爱好者的热议，为了了解车迷们对该款汽车的购买意愿与性别是否具有相关性，某车迷协会随机抽取了200名车迷朋友进行调查，所得数据统计如下表所示．性别购车意愿合计愿意购置该款汽车不愿购置该款汽车男性10020120女性503080合计15050200（1）请根据小概率值的独立性检验，分析车迷们对该款汽车的购买意愿与性别是否有关；（2）用频率估计概率，随机抽取两名车迷作深度访谈，记其中愿意购置该款汽车的人数为，求的分布列与期望．参考公式：，其中．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）认为车迷们对该款汽车的购买意愿与性别有关．（2）分布列见解析，数学期望为．【解析】【分析】(1)由题中公式计算，得出结果；(2)由题意得到二项分布，求出相应的概率，列出分布列，用公式求出数学期望即可.【小问1详解】零假设为：车迷们对该款汽车的购买意愿与性别无关．根据表中数据可得，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为车迷们对该款汽车的购买意愿与性别有关．【小问2详解】由题意得，随机抽取到1名愿意购置该款汽车的车迷的概率为，故，所以，，故的分布列为012（或）16.如图，在正四棱锥中，，点是的中点，点在棱上（异于端点）．（1）若点是棱的中点，求证：平面平面；（2）若二面角的余弦值为，求线段的长．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由线面垂直证明面面垂直，先证明平面，即可得出平面平面.（2）分别以为轴､轴､轴正方向建系，设，则进而表示出，求出平面的一个法向量为，再利用二面角的余弦值为求出，最后得出结果.【小问1详解】由题意得，正四棱锥所有棱长均为，因为是的中点，所以，因为，且平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面．【小问2详解】如图，连接，易知两两垂直，分别以为轴､轴､轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以．设，则，所以，所以．设平面的法向量为，则，令，则，所以平面的一个法向量为．易知平面的法向量为，设二面角的平面角为，则，即，解得或（不合题意，舍去），此时．17.已知双曲线的左､右焦点分别为，点在上，且的面积为．（1）求双曲线的方程；（2）记点在轴上的射影为点，过点的直线与交于两点．探究：是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）（2），定值．【解析】【分析】（1）根据的面积为，表示为，结合双曲线方程，即可得到答案；（2）首先设直线的方程与双曲线方程联立，并用坐标表示和，并利用韦达定理表示，即可化简求解.【小问1详解】设双曲线的焦距为，由题意得，，解得，故双曲线的方程为．【小问2详解】由题意得，，当直线的斜率为零时，则．当直线的斜率不为零时，设直线的方程为，点，联立，整理得，则，解得且，所以，所以．综上，，为定值．18.已知函数，其中．（1）若，讨论在上的单调性；（2）若存在正数，使得，且时，，求的取值范围．【答案】18.答案见解析.19.【解析】【分析】（1）求导，讨论的正负及与1和4的大小关系判断单调性；（2）先转化为，构造新函数得，求导分类讨论判断单调性，当分离参数求得范围.【小问1详解】由题意得，．若，则，此时在上单调递增；若，则，此时在上单调递增；若，则，此时在上单调递减；若，则当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减．综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减．【小问2详解】由题意得，，使得函数在上单调递减，．令，问题即转化为：．①当时，，且单调递增，易知，不合题意，舍去．②当时，因为，在上单调递增，在上单调递减，．即，使得．令，故，在上单调递减，且当时，，．综上所述，实数的取值范围为．【点睛】关键点点睛：本题考查函数单调性及恒成立问题，注意第二问双变量k,x的处理，先看做x的恒成立问题，再对k有解.19.基本不等式可以推广到一般的情形：对于个正数，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即，当且仅当时，等号成立．若无穷正项数列同时满足下列两个性质：①；②为单调数列，则称数列具有性质．（1）若，求数列的最小项；（2）若，记，判断数列是否具有性质，并说明理由；（3）若，求证：数列具有性质．【答案】（1）最小项为（2）数列具有性质，理由见解析．（3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用，结合三个数的算术平均不小于它们的几何平均求解；（