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文档简介
安徽省部分省示范中学2024届高三开学联考数学试卷第Ⅰ卷选择题(共58分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知向量,若,则实数的值为()A. B.2 C.1 D.8【答案】A【解析】【分析】根据题意,结合向量共线的坐标表示,列出方程,即可求解.【详解】由向量,因为,可得,解得.故选:A.2.复数在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四像限【答案】D【解析】【分析】利用复数的四则运算化简复数,由几何意义得复平面内对应的点所在象限.【详解】,则在复平面内对应的点为,位于第四象限.故选:D.3.已知直线与曲线在点处的切线垂直,则直线的斜率为()A.1 B.1 C. D.2【答案】C【解析】【分析】可得,得到,进而求得直线斜率,得到答案.【详解】由函数,可得,则,所以直线的斜率为.故选:C.4.已知正项数列满足,则()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据给定的递推公式,利用构造法探讨数列的特性即可得解.【详解】依题意,,则数列是以为公比的等比数列,因此,所以.故选:B5.已知抛物线的准线为,点在抛物线上,且线段的中点为,则直线的方程为()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据抛物线的几何性质,求得抛物线的方程为,再利用点差法,即可求解.【详解】由抛物线的准线为,可得,可得,所以,设,可得,且,两式相减,可得,可得,所以直线的方程为,即.故选:A.6.近期,哈尔滨这座“冰城”火了,2024年元旦假期三天接待游客300多万人次,神秘的鄂伦春族再次走进世人的眼帘,这些英雄的后代讲述着英雄的故事,让哈尔滨大放异彩.现安排6名鄂伦春小伙去三个不同的景点宣传鄂伦春族的民俗文化,每个景点至少安排1人,则不同的安排方法种数是()A.240 B.420 C.540 D.900【答案】C【解析】【分析】根据题意,分为三个景点安排的人数之比为或或,结合排列、组合数的计算公式,即可求解.【详解】若三个景点安排的人数之比为,则有种安排方法;若三个景点安排的人数之比为,则有种安排方法;若三个景点安排的人数之比为,则有种安排方法,故不同的安排方法种数是.故选:C.7.如图,为圆锥底面圆的一条直径,点为线段的中点,现沿将圆锥的侧面展开,所得的平面图形中为直角三角形,若,则圆锥的表面积为()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意,得到,由,求得,结合圆锥的侧面积公式和圆的面积公式,即可求解.【详解】如图所示,作出展开图,可得为锐角,故,由,可得,即为等边三角形,所以,则圆锥的侧面积为,底面积,所以圆锥的表面积为.故选:B.8.“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式,其定义如下:设,则两点间的曼哈顿距离,已知,点在圆上运动,若点满足,则的最大值为()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求得圆心,半径,设,则,可得点的轨迹为正方形,结合圆的性质,即可求解.【详解】如图所示,由圆,可得,则圆心,半径,设,则,可得点的轨迹为如下所示的正方形,其中,则,则,所以的最大值为.故选:D.二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知函数,则()A.直线为图象的一条对称轴B.点为图象的一个对称中心C.将的图象向右平移个单位长度后关于轴对称D.在上单调递增【答案】AC【解析】【分析】由正弦函数的对称轴,对称中心,平移,单调性性质逐一判断选项即可.【详解】A:,故A正确;B:,故B错误;C:将函数图象向右平移个单位长度后,得到,偶函数,故C正确;D:因为,所以,则函数在上先增后减,故D错误.故选:AC.10.已知棱长为2的正方体中,动点在棱上,记平面截正方体所得的截面图形为,则()A.平面平面B.不存在点,使得直线平面C.最小值为D.的周长随着线段长度的增大而增大【答案】ACD【解析】【分析】根据几何体特征判断A选项,根据线面平行的判定定理判断B选项,结合距离和最小判断C选项,根据导数结合函数单调性判断D选项.【详解】由于正方体的对角面相互垂直,故正确;当点与重合时,直线平面,故错误;将四边形翻折至与四边形共面,则,故C正确;当时,为,且的周长为.当时,为四边形,且四边形的周长为.当时,如图,过点作,易得,所以为四边形,设,四边形的周长为,则,所以,令,解得,所以在上单调递增,所以的周长随着线段长度的增大而增大,故D正确.故选:ACD.11.已知函数的定义域均为,其中的图象关于点中心对称,的图象关于直线对称,,则()A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】根据题意,结合函数的性质,所以,可判定A错误;再由函数是以4为周期的周期函数,得到,可判定B正确;结合,结合周期性,可判定C错误;求得,进而可判定D正确.【详解】由题意知,所以,所以,所以A错误;又由,因为关于点中心对称,所以,所以,又因为,所以,所以函数是以4为周期的周期函数,所以,所以B正确;由,所以C错误;因为,所以,所以,所以D正确.故选:BD.第Ⅱ卷非选择题(共92分)三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知集合,则__________.【答案】【解析】【分析】列举法表示M,由交集的定义求.【详解】因为,又,所以.故答案为:13.在中,,且,则的面积为__________;若,则__________.【答案】①.4②.##【解析】【分析】利用正弦定理可得,进而可得,代入面积公式即可得的面积;根据题意可得,利用余弦定理可得,进而可得.【详解】设角所对边分别为,因为,由正弦定理可得,又因为,则,所以的面积;当时,则,即,由余弦定理可得,即,所以.故答案为:4;.14.已知椭圆的左、右焦点分别为,过的直线与交于两点,若,且,则的离心率为__________.【答案】【解析】【分析】作,分别求得,,,在直角中,利用勾股定理,列出关于离心率的方程,结合离心率的定义,即可求解.【详解】如图所示,作,垂足为,因为,所以,点为的中点,所以,因为,所以,所以,所以,所以,在直角中,由勾股定理可得,整理得到,即,因为,解得.故答案为:.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.2023年12月28日,小米汽车举行了技术发布会,首款产品SU7揭开神秘面纱,引起了广大车迷爱好者的热议,为了了解车迷们对该款汽车的购买意愿与性别是否具有相关性,某车迷协会随机抽取了200名车迷朋友进行调查,所得数据统计如下表所示.性别购车意愿合计愿意购置该款汽车不愿购置该款汽车男性10020120女性503080合计15050200(1)请根据小概率值的独立性检验,分析车迷们对该款汽车的购买意愿与性别是否有关;(2)用频率估计概率,随机抽取两名车迷作深度访谈,记其中愿意购置该款汽车的人数为,求的分布列与期望.参考公式:,其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)认为车迷们对该款汽车的购买意愿与性别有关.(2)分布列见解析,数学期望为.【解析】【分析】(1)由题中公式计算,得出结果;(2)由题意得到二项分布,求出相应的概率,列出分布列,用公式求出数学期望即可.【小问1详解】零假设为:车迷们对该款汽车的购买意愿与性别无关.根据表中数据可得,根据小概率值的独立性检验,我们推断不成立,即认为车迷们对该款汽车的购买意愿与性别有关.【小问2详解】由题意得,随机抽取到1名愿意购置该款汽车的车迷的概率为,故,所以,,故的分布列为012(或)16.如图,在正四棱锥中,,点是的中点,点在棱上(异于端点).(1)若点是棱的中点,求证:平面平面;(2)若二面角的余弦值为,求线段的长.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)由线面垂直证明面面垂直,先证明平面,即可得出平面平面.(2)分别以为轴、轴、轴正方向建系,设,则进而表示出,求出平面的一个法向量为,再利用二面角的余弦值为求出,最后得出结果.【小问1详解】由题意得,正四棱锥所有棱长均为,因为是的中点,所以,因为,且平面,所以平面,又因为平面,所以平面平面.【小问2详解】如图,连接,易知两两垂直,分别以为轴、轴、轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则,所以.设,则,所以,所以.设平面的法向量为,则,令,则,所以平面的一个法向量为.易知平面的法向量为,设二面角的平面角为,则,即,解得或(不合题意,舍去),此时.17.已知双曲线的左、右焦点分别为,点在上,且的面积为.(1)求双曲线的方程;(2)记点在轴上的射影为点,过点的直线与交于两点.探究:是否为定值,若是,求出该定值;若不是,请说明理由.【答案】(1)(2),定值.【解析】【分析】(1)根据的面积为,表示为,结合双曲线方程,即可得到答案;(2)首先设直线的方程与双曲线方程联立,并用坐标表示和,并利用韦达定理表示,即可化简求解.【小问1详解】设双曲线的焦距为,由题意得,,解得,故双曲线的方程为.【小问2详解】由题意得,,当直线的斜率为零时,则.当直线的斜率不为零时,设直线的方程为,点,联立,整理得,则,解得且,所以,所以.综上,,为定值.18.已知函数,其中.(1)若,讨论在上的单调性;(2)若存在正数,使得,且时,,求的取值范围.【答案】18.答案见解析.19.【解析】【分析】(1)求导,讨论的正负及与1和4的大小关系判断单调性;(2)先转化为,构造新函数得,求导分类讨论判断单调性,当分离参数求得范围.【小问1详解】由题意得,.若,则,此时在上单调递增;若,则,此时在上单调递增;若,则,此时在上单调递减;若,则当时,,当时,,故在上单调递增,在上单调递减.综上所述,当时,在上单调递增;当时,在上单调递增,在上单调递减;当时,在上单调递减.【小问2详解】由题意得,,使得函数在上单调递减,.令,问题即转化为:.①当时,,且单调递增,易知,不合题意,舍去.②当时,因为,在上单调递增,在上单调递减,.即,使得.令,故,在上单调递减,且当时,,.综上所述,实数的取值范围为.【点睛】关键点点睛:本题考查函数单调性及恒成立问题,注意第二问双变量k,x的处理,先看做x的恒成立问题,再对k有解.19.基本不等式可以推广到一般的情形:对于个正数,它们的算术平均不小于它们的几何平均,即,当且仅当时,等号成立.若无穷正项数列同时满足下列两个性质:①;②为单调数列,则称数列具有性质.(1)若,求数列的最小项;(2)若,记,判断数列是否具有性质,并说明理由;(3)若,求证:数列具有性质.【答案】(1)最小项为(2)数列具有性质,理由见解析.(3)证明见解析【解析】【分析】(1)利用,结合三个数的算术平均不小于它们的几何平均求解;(
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