空间向量在立体几何中的三种考法（解析）-2024年高考数学复习大题题型归纳

空间向量在立体几何中的三种考法

空间角的向量求法

题目工］如图，在四棱锥P—4BCD中，底面4BCD是边长为2的菱形，ACnBD=O,且P。，平

（1）求证：BD〃平面EFG；

（2）若NDAB=誓,求直线PA与平面EFG所成角的余弦值.

O

【答案】（1）证明见解析

⑵方

0

【分析】（1）通过证明由〃GF即可证明结论；

（2）以。为原点建立空间直角坐标系，由选择条件可得相应点坐标，可得向量P4坐标与平面

EFG法向量坐标，即可得线面夹角正弦值，从而可得答案.

【详解】（1）证明：：G,F分别为PD,PB中点，GFIIDB,

又6。©平面GEF,GFU平面GEF,

:.BD//平面EFG;

（2）底面4BCD是边长为2的菱形，所以4C_L_BD,又PO_L平面ABC。，OAOBU平面

ABCD,

所以PO_LOA,PO±OB,

如图所示，以。为原点，以04OB,OP所在直线为c,y,z轴，建立空间直角坐标系，

/。48=冬，底面48。。是边长为2的菱形，OA=1,OD=OB=^,

O

1

则4(1,0,0),吕(0,6,0),0(0,—四,0),「(0,0,2),G(0,—乎,1),F(O,苧,1).

PA=(1,0,-2),AP=(-1,0,2),OA=(1,0,0),

又AP=3AE,AE^^-AP,AOE^OA+-AP^(^-,0,^-),

oooo

设平面EFG的一个法向量为方=(,,y,z),

n・EF—

—|~x++/z—0nQ二1'令0=1,所以方=(1,°,2)，

则

n•EG——一~^~y+gz=0

设直线PA与平面EFG所成角为。.6»€(0,y]

则sin0==二=■，故有cos。=V1-sin20=-f-,

|可同V5-V555

所以直线PA与平面EFG所成角的余弦值4.

5

题目可如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，P4,平面ABCD,E为PD的中

⑴求证：PB〃平面力EC；

(2)求平面P4C与平面4EC所成角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

【分析】(1)建系，求平面4EC的法向量，利用空间向量证明线面平行；

(2)求平面P4C的法向量，利用空间向量求面面夹角.

【详解】(1)因为P4_L平面4BCD,且4B,4Du平面4BCD,则PA±AB,PA±AD,

即AB,AD,4P两两互相垂直，

如图，以4为原点，以AB,4D,AP分别为力轴，U轴，之轴，建立空间直角坐标系幺一名弊,

则A(0,0,0),F(0,0,2),B(2,0,0),C(2,2,0),£；(0,l,l),

可得方=(2,0,-2),AC=(2,2,0),AE=(0,1,1).

设平面AEG的法向量为洗=O,沙,z),

则<—>_y，取0=1,可得g=—l,z=l,

[AE-m=y+z=0

所以平面AEC的一个法向量为由=(l,-l.l),

2

可知两•由=2xl+0—2xl=0,即屈_L关,

又因为PBQ平面AEC,所以PB//平面AEG,

(2)由(1)可知：为苕=(2,2,0),#=(0,0,2),

设平面PAC的法向量为五=（a,b,c）,

•元=2a+2b=0

则，取a=1,可得b=—l,c=0,

g•n=2c=0

则平面PAC的一个法向量为荷=（1,一1,0）,

m•n1+1+0V6

可得cos<m,n>==

\m\,|n|V3xV2—3

所以平面PAC与平面ABC所成角的余弦值为乎.

题目§已知图1是由等腰直角三角形ABE和菱形BCDE组成的一个平面图形，其中菱形边长为

4,乙4=90°,Zn=60°.将三角形ABE沿BE折起，使得平面ABE_L平面BCDE（如图2）.

图1图2

（1）求证：力Q_LCE＞；

（2）求二面角B-AC-D的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

【分析】（1）取BE的中点O,连接力Q,OC,则4Q，BE,再结合已知面面垂直可得AQ，平面

BCDE,则4Q，CD,而OC，CD,再由线面垂直的判定可得CD，面AXOC,从而可证得AXC

±CD,

（2）以OB,OC,04所在的直线分别为名轴，沙轴，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解.

【详解】（1）证明：取BE的中点O,连接40,OC.

•：ArB-AXE,：.AiO±BE.

又,/平面平面BCDE,且平面4跳；0平面BCDE=BE,AQu平面A〔BE,

AQ_L平面BCDE.

•••CDU平面BCDE,：.AiO_LCD.

•.•在菱形BCDE中，/D=60°,△BCE为等边三角形，

1/BE的中点为。，OC工BE,

•：BEIICD,：.OCLCD

•••A】。COC=O,力iO,OCu平面A.OC,

CD，平面AQC,•••AQu平面AQC,CD，AQ.

3

(2)由(1)40_1平面88£；,；08,0。匚平面3。0£；,.・.40_1。840_10。，

•••OC_LBE,

：.如图，以OB,OC,OAi所在的直线分别为c轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则

,

B(2,0,0),C(0,2V3,0),JD(-4,2V3,0),A1(0,0,2),

AC=(0,2V3,-2),BC=(-2,2V3,0),CD=(-4,0,0).

设平面BAiC的法向量为有=(x,y,z),则

和•绥=2岛-方=0

\r^-BC=-2x+2V3y=0

设平面DA.C的法向量为甚=(a,b,c),则

营£=,6产=0,令-用则花=(0,3,

[n2・CD=-4Q=0

设二面角石一4。一。的大小为仇由图可知夕为钝角,

Wl-^2

ICOS01=4=差，，sin”

区H荔，3+1+3XV1+3

A/21

7,

二面角B—4。一。的正弦值为

题目可如图，四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD为梯形，AB〃CD,A。，AB,4B=4P=

2。。=4,FB=2A£>=4V2,PD=2瓜M,N分别是PO,PB的中点.

(1)求证：直线MN//平面ABCD；

(2)求平面MCN与平面ABCD夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵等

【分析】(1)由M,N分别是P。，PB的中点可得上ZN〃BD,进而可证直线MN〃平面ABCD;

(2)以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，求平面MCN与平面ABCD得法向量，进而求出

cos#,4,则平面MCN与平面AB。。夹角的余弦值可得.

【详解】(1)连接BD,；河，N分别是PD,PB的中点.

MN//BD

又MN«平面ABCD,8。U平面ABCD

：.直线MN//平面ABCD

(2)VAB=AP=2DC=4,PB=2AD=472,PD=276

AB2+AP2=PB2,AD2+AP2=PD2

：.AB±AP,AD±AP

4

AB,AD,AP两两之间互相垂直

以/.为原点，建立如图所示空间直角坐标系

,

A(010,0),B(0,4,0),C(2V2,210),n(2V2,0>0),F(0,0,4)

又：M,N分别是PD,PB的中点.

/.M(V2,0,2),N(0,2,2)

CM^(一方,一2,2),函=(-272,0,2),AP=(0,0,4)

设平面MCN的法向量为n=(x,y,z)

n—0可？(—V2x—2y+2z=0

n=0付\-2V2x+2z=0

(_V2

e解得令±=2可得法向量克=(2,2,2方)

[z=V2x

­：AB±AP,AD±AP,ADHAB^A

：.AP±平面ABCD

毋为平面ABCD得法向量

AP-n

cosAP,n8V2_2V7

4xV14-7

令平面同CN与平面ABCD夹角为。且为锐角

cosO=|cosAP,n|=2,

：.平面MCN与平面ABCD夹角的余弦值为当Z.

题目可如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形,PA±平面ABCD,PA=AD=

（1）证明：AA/LPC；

（2）设力。的中点为。，点N在棱PC上（异于点P,C）,且ON=Q4,求直线AN与平面4W所

成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

【分析】（1）由等腰三角形的性质可得,由面面垂直的性质可得CD_L平面PAD,则CD

_LAM,所以由线面垂直的判定可得力M_L平面PCD，从而可得结论；

（2）以AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.

【详解】（1）证明：因为P4=4D,点M是PD的中点，所以AMI.PD.

5

因为PA_L平面ABCD,P4u平面PAD,所以平面PAD_L平面ABCD,

因为四边形ABCD为矩形，所以CD_L40,

因为平面PADCI平面AB0D=AD,CDu平面ABCD,

所以CD_L平面PAD,所以CD_LAW,

因为PDCCD=D,PD,CDu平面PCD,

所以_AM_L平面PCD,

因为PCu平面PCD,所以⑷WJ_PC.

（2）解：由题意可得AB,AD,AP两两垂直,

设=1,如图，以AB,AD,AP所在直线分别为c,y,z轴建立空间直角坐标系，

则A（O,O,O）,B（I,O,O）,C（I,2,O）,D（O,2,O）,P（O,O,2）,

因为点M是PD的中点,所以闸0,空，空），

所以宿二（0,亨,空）,前=（1,2,0）,

设平面ACM的法向量为亢=（0,?/,z）,则

n=卓"+夸z=0

n=rc+V2y=0

令y=—l可得/==1,所以平面ACM的一•个法向量n=

（V2,-1,1）.

FC=（1,V2,—V2）,设N（xNfyN9zN'）,PN=APC=（/I,V2A,—V2/1）（0</I<1）,

即QN,VN,ZN-尬）=（4仞，一仞），所以N（X,仞，血一仞）.

又。传，岑，0），。可=。4=苧,

所以C—-空了+w

化简得542—7/1+2=0,解得4=3或4=1（舍去）.

5

所以而=（高子,胃），

设直线AN与平面ACW所成的角为仇则

3V2,_

n-AN5_________________V15

sin。=

<M+_L.18_10，

'V25T25T25

所以直线AN与平面ACM所成角的正弦值为噜

题目引已知三棱台A.B^-ABC,ArA_L面ABC,4AB产AB=AC=4,cosZBAC=-j,D

是线段AtA中点，且BD，DC.

6

（1）证明：BDLBQ；

（2）请选择合适的基底向量,求直线B。与AA,所成角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵噜

OO

【分析】（1）根据条件结合余弦定理先求出A.A的长度，然后再证明△BAD与△/。4片相似，从

而可证明.

（2）选取基底｛AB,AC,AA｝,分别表示出瓦方,求出模长和对应的数量积,由向量法可得出答案.

【详解】⑴证明：连接BQ.设小人=a，在4ABC中，由余弦定理得

BC=不—2x4x4x（一―）=2V10,

又DB=DC=J4+16，因为BD_LOC,所以2（号+16）=40,解得a=4,

由于4^77=4=4^，且/BAD=ADAXBX,所以4BAD〜△/。4目，

AyD2A.B

所以NAQBFAABD,所以NBDBF90°，即BD_LBQ,

又因为BQA所以BD_L面又因为BQu面BQC,所以BD_LB。

（2）选取基底｛五反彩,兀希｝,

----►»----►----►1--->---->----►

BC=+ArA+AC=-十-AB+AC-AAr,

（瓦方=（―?-AB+AC-瓦可=1+16+16+2x（一十）

AB-AC^35,

AA=（-j-AB+AC-=-16,

力寸_—16_4A

cOSB.C,AAx=—=--,

所以直线B'C与44i所成角的余弦值为巨淳.

35

题目可如图,在三棱柱ABC-中，AB=BC,AB尸BQ.

1

4G

B

⑴证明:

（2）若AB=BBi=2,AB尸碗，/ABC=120°,求二面角力—3目一。的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

【分析】⑴取力。的中点。，连接即可证明力。，平面B8Q,从而得证；

⑵证明BQJL平面ABC,以。为坐标原点，分别以DB、DC、所在直线为re、夕、z轴建立空

间直角坐标系，再由空间向量求解.

【详解】⑴取力。的中点。，连接BD,BQ,

•/AB=BC,AB尸B。,：.AC.LBD,AC±BQ,

文BDCBQ=D,BD,BQu平面BBQ,：.AC±平面BBQ,

而BBC平面BBQ,

(2)在△ABC中，AB=BC=2,/ABC=120°,

可得5£>=4^8=1,人。=24。=2盗，

2r

在△ABiC中，ABX=BC=V6,AC=2V3,可得BQ=V6^3=V3,

在ABBQ中，BD=1,BQ=A/3,BB}=2,

22

可得BD+BXD=Bp,即BXD_LBD,

由(1)知，AC±平面BBQ,ACu平面ABC,所以平面ABC_L平面BBQ,

又平面ABCn平面BBQ=BD,BQu平面BBQ,

：.BQ_L平面ABC,以D为坐标原点，分别以DB、DC、所在直线为x、y、z轴建立空间直角

坐标系，

则5(1,0,0),A(0,-V3,0),C(0,V3,0),32(0,0,y/3),

BA=(-l,-V3,0),丽=(-l,0,V3),BC=(-1,V3.0),

设平面ABBi与平面CBBi的一■个法向量分别为由=(如%,zj,n=(z2,纺,z2),

由fm-BA=-X1-V3yi=°,取/产例得力=(々fi),

rri•BBX=-x1-\-VSz1=0

I

由卜西=-X2+V3Z2=。，取然=小得方=(何i,).

1n•BC=-X2+V3?/2—0

由图可知，二面角A的平面角为钝角，

8

，二面角A—BB—C的余弦值为一§.

5

题目回如图，在四棱锥P—4BCD中，P4_L平面ABCD,AD±CD,AB//CD,PA=AD=

8=1,AB=2,点河是PB的中点.

（1）证明：PB=2C7W；

（2）求直线与平面ACM所成的角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵乎

【分析】（1）取AB中点F,证明得到四边形AFCD是正方形，进而得到8。_L平面P4C,所以BC

±PC,根据直角三角形相关性质可得到PB=2CM-,

（2）先建立空间直角坐标系，结合线段长度写出坐标，求平面4W的一个法向量，再结合线面角计

算公式求出答案.

【详解】（1）取4B中点F,连接CF,^]AF=CD=1,

又因为AF〃CD,所以四边形AFCD是平行四边形，

因为AD_LCD,AD=CD,所以四边形AFCD是正方形，

所以AB_LCF,即△ABC是等腰三角形，则AC=BC=

A/2,

所以AC2+BC2=4：=AB2,即AC±BC,

因为PA_L平面ABCD,BCu平面4BCD,所以PA_L

BC,

又因为PAACu平面P力。，PAHAC=A,

所以平面PAC,

因为PCu平面P4C,所以8C_LPC,

又因为点M■是的中点，所以由直角三角形性质易得PB=2CM

（2）因为P4_L平面4BCD,AD,ABU平面4BCD,所以P4_L40,PA±AB,

又因为四边形AFW是正方形，所以AD_LAB,

如图，以｛国5,荏，存｝为正交基底建立空间直角坐标系A—g/z,

则人(0,0,0),0(1,1,0),。(1,0,0),河(0,1,q)，

所以丽=(-1,1。,正=(1,1,0),疯=(0,1,(),

设平面ACW的一^个法向量为n=(x、y,z),

,[n-AC—x+y=Q人…/、

则〔小0一+A。,令'j则—⑵,

9

设直线ZW与平面ACM所成的角为仇046»4年，

所以sin。=|cosn,DM|=匕=——}—==誓,

11同"向MI氓x氓9

所以直线。M■与平面ACM所成的角的正弦值为小.

9

题目回如图，平行六面体ABCD-4BQQ1的体积为6,截面ACQA,的面积为6.

（1）求点B到平面ACCrAx的距离；

⑵若AB=AD=2,/BAD=60°,44产通,求直线口2与平面CCQQ所成角的正弦值.

【答案】（1）1

⑵噂

【分析】（1）应用等体积法求出点到平面距离；

（2）空间向量法求线面角的正弦值即可.

【详解】（1）在平行六面体ABCD—ABiG。中，ABC—45G是三棱柱，

21

^B-ACCiAj-W%1BC-4B[G=^ABCD-AACrDj-2,

设点_B到平面ACCrAi的距离为d,则%_4cq4尸["SACGA，d=：x6d=2,所以d=l,

即点B到平面4CG4的距离为1.

(2)在UABCD中，AB=AD=2,/BAD=60°，所以ABCD是菱形，连接BD纪AC于O,则BO

=1,

由(1)知点B到平面ACCrAx的距离为1,所以BOJ_平面ACCxAr.

设点4在直线AC上射影为点H,SaACCiA^AC-AJ/=2V3A1H=6,

222

则AH=四,且BO_L4",力〃=y/A^-AlH'=V(V6)-(V3)=V3,

所以。和夕重合，即A.O±AO.

以。为坐标原点，OAOB,04分别为立轴，,轴，z轴，建立空间直角坐标系，

则3(0,1,0),4(四,0,0),。(0,—1,0),4(0,0,7^),

根据AAi=DDi=(--^3,0,y/3),AB=DC=(-,\/3,1,0),则Z?i(—V3,—1,V3),

BDt=(-V3,-2,V3),设平面CCQQ的一法向量为五=(x,y,z),

-n——V3x+—0_rml向、、

L，取工=1,则71=(1,6,1),

n=—V^x+y=0

设直线BA与平面CCQQ所成角为a,则sin&=|cos的阅==——二一士

e11\BD\\n\VWxV5

}

_V6

一可，

所以直线BDi与平面CCQQ所成角正弦值为艰.

5

题目兀如图所示，在多面体ABCGFE中，底面BCFE为矩形，且AE，底面BCFE,AG〃EF,

AG=AE=BE=±EF=2,BFC\CE=O.

⑴证明：A。〃平面GCF.

（2）求平面ABO与平面GCF夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

【分析】（1）取线段CF的中点X,连接OH,GH,则利用三角形中位线定理结合已知条件可得四边

形AOHG是平行四边形，则AO〃HG,然后利用线面平行的判定定理可证得结论；

⑵由题意可得EB,EF,94,所以以E为原点，分别以EF,94所在的直线为①z轴建立空间

直角坐标系，然后利用空间向量求解即可.

【详解】（1）证明：取线段CF的中点H,连接OH,GH,

因为四边形EBCF是矩形,且CB=2EB,

所以OHHBC且OH=^-BC,

因为AG〃EF且AG=[EF,EF"BC且EF=BC,

所以AG//BC且AG=yBC,

所以AG//OH且AG=OH,

所以四边形AOHG是平行四边形，则AOHUG,

因为平面GCF,HGu平面GCF,所以40〃平面GCF

（2）因为AE_L底面BCFE,EB,EFd平面BCFE,所以AE_LEB,AE_LEF,

因为EB_LEF

所以以E为坐标原点，分别以EB,EF,EA所在的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标

11

系E—xyz,

则A(0,0,2),B(2,0,0),C(2,4,0),F(0,4,0),G(0,2,2),0(1,2,0),AB=(2,0,-2),AO=(1,2,-2),

历=(2,0,0),死=(0,—2,2).

设平面ABO的法向量为沆=(a,b,c),则

jAB-rn=2a-2c=0，令0=0=2,则b=1,

[AO-m—a+2b—2c—0

故平面ABO的一个法向量用,=(2,1,2),

设平面GCF的法向量为方=0,/z),

.fn•FC=2z=0„,,

由＜—,，取y=l1,则nz=l,

[n-FG=-2y+2z—0

故平面GCF的一个法向量l=(0,1,1),

贝Icosm,n=-.

3V22

设平面ABO与平面GCF的夹角为贝°C[o£]),则cos昨亨.

题目工口如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA，平面ABCD,PA=AD=

;AB=1,E,河分别为线段4B,PC的中点，连接CE,延长CE并与ZM的延长线交于点F,连

接PE,PF.

(1)求证：ME〃平面PFD.

(2)求平面APE与平面PEF所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

【分析】(1)要证ME〃平面PFD，只需证明ME〃PF即可;

(2)建立空间直角坐标系，用向量法求解即可.

【详解】(1)；AE=^AB=。，且AE〃。。，

为△FW的中位线，

ME为ACPF的中位线，二MEIIPF.

文•：PFU平面PFD,ME4平面PFD,:.ME〃平面PFD.

⑵以4为坐标原点，分别以方，荏，力的方向为2，y,z轴的正方向建立空间直角坐标系，如

图所示，则由已知可得P(0,0,l),E(0,l,0),F(L0,0),

•••立轴，平面尸区4,.•.设平面PEA的一个法向量为元=(1,0,0),平面PEF的法向量为沅=

3H),,/PE=(0,1,-1),PF=(1,0,-1),

,归PE-y^j—。，令幺=1,得/=i,j=i,...力=(1,],]),

Im•PF=x—z=0

12

A/6

~3~

题目电如图1,在五边形4BCDE中，四边形4BCE为正方形，CDLDE,CD=DE,如图2,将

△ABE沿BE折起，使得A至4处，且人田，AXD.

⑴证明平面ABE；

（2）求二面角C—4E—。的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵乎

［分析】（1）由已知易得。E_LBE,即可证明线面垂直;

（2）建立空间直角坐标系，用坐标公式法求解即可.

【详解】(1)由题意得NBEC=NCED=看,NBED=&DE_LBE,

因为AB_LAE,则AXB_LA.E,

又A_B_LA。，AXEAA}D=AX,AXE,AXDc面为即,所以4_8_1_面A^ED,

又。Eu面儿即，则DE±ArB,

入DELBE,A.BCBE=B,ArBu平面AiBE,BEu平面AXBE,

所以OE_L平面4BE.

(2)取BE的中点O,可知BE=2CD,OE=CD,

由DE_LBE,且CD_LDE可得OE〃CD,

所以四边形OCDE是平行四边形，所以。。〃DE,则CO_L平面A{BE,

设BE=2,以点。为坐标原点，OB,OC,04所在直线为坐

标轴建立空间直角坐标系，如图,

则Ai(0,0,1),七(一1,0,0),B(l,0,0),。(0,1,0),0(—1,1,0),

=(1,0,1),动=(1,1,0),历=(0,1,0),

设平面4EC的一个法向量为nx=

则{"pnptl+Zl=0

即G+%=0取a;i=1,则4=(1,—1,

13

-1）,

设平面AXED的一个法向量为n2=（/2,统,22），

则代.鬻=：，即巴7O，取工2=1,则范=（1.0,-1）,

[n2•ED—01仍一U

所以cos/,/==等，

6

|nx||n2|

由图可知，二面角。一人出一。为锐角，

所以面角。一_4田一。的余弦值为平.

O

题目E如图,在斜三棱柱ABC—ABG中,AA,=AB,AB,±AQ,AB1的中点为。,BC的中

点为D

（1）证明：。。〃平面ACCXAX；

（2）若乙4cB=90°,AB产BQ,47=25。=4,求平面ACG4与平面ABO所成角的大小.

【答案】（1）证明见解析

（2）60°.

【分析】（1）连接4B,则。为的中点，然后由三角形中位定理可得。。//,再由线面平行

的判定定理可证得结论;

（2）由题意可证得BE_L平面ABC,所以以E为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，利用空

间向量求解即可.

【详解】（1）连接45因为四边形4B1BA为平行四边形,

所以。为4B的中点，

因为。为BC的中点，

所以OO〃AQ,

又AQu平面ACCrAx,OD«平面ACCrAr,

所以OO〃平面ACGA.

（2）因为4B,又ABi_LAYC,AQCl4口=4,4C4BU平面A,BC,

所以4Bi_L平面人出。，

因为BCu平面4BC,

所以

又工。_LBC,ACHAB^A,平面AB]。，

所以BC_L平面ABQ,

因为BCu平面ABC,

所以平面ABCX.平面AB,C,

取的中点E,

14

因为48产BQ,所以BiE_LAC,

因为平面ABC_L平面ABLC,平面ABCC平面ABrC^AC,

所以3田_L平面ABC,BiE=20，

建立如图所示空间直角坐标系,A(0,-2,0),(7(0,2,0),51(0,0,273),5(2,2,0),

由反?=分高得6(—2,0,2冲)，则/=(0,4,0),南=(一2,—2,2遍)，

设平面ACC^Ax的法向量为有={x,y,z),

则J苞•生=包=0

［苏•CC、=-2x-2y+2在=0'

令a;=四,所以肃=,

因为B］E_L平面ABC,所以可取平面ABC的法向量为兀=

(0,0.1).

设平面ACG4与平面ABC所成角为明由图可知a为锐角,

故平面ACC.A,与平面ABC所成角为60°.

题目兀如图，在底面为正方形的四棱台ABCD-ABCS中，已知AD=2,尸1,BD1=V7,

A到平面BDDi的距离为等1.

⑴求A到平面ABCD的距离；

⑵若44户夸,求直线CG与平面ABD,所成角的正弦值.

【答案】⑴乎

⑵等

［分析［(1)先判定BD1±DD1,再根据等体积法计算即可；

(2)建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量求线面角即可.

【详解】(1)在正方形ABCD中，AB=A。=2,则8。=2.72,

2

在/\BDD\中，由条件可知BZ5=BD1+DDl,即BD」DDX,

所以S^BDD=4BD「DD产亨,

因为4到平面BOA的距离为考L,所以VA.BDD=^-x2用S^BDD『,

(OfO

因为S^ABD=］AB・AD=2,记。到平面ABCD的距离为九，

所以由VDx_ABD--^-h-SAABD=VA_BDD=，得h=,

即。i到平面ABCD的距离为空；

15

(2)在四棱台ABCD-4B1GA中，AQH平面ABCD,

则。到平面ABCD的距离即为4到平面ABCD的距离，

假设441不垂直于平面ABCD，则44i>空，与44尸乎矛盾，

所以44i_L平面ABCD,

又因为平面ABQQi〃平面ABCD,所以AA,_L平面A^C^,

由ARU平面4BQQi,>L4i_LAXDX,

所以在直角梯形AAQQ中，如图所示，过。1作D1M±AD于M点、,

2

则DM=AD-ARA4尸DXM,DM+AA[=DD；nDM=。AQ尸,

以71为原点，AB,AD,AAX方向为z,y,z轴的正方向，如图建立空间直角坐标系，

则4(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),■，乌),2(0,菅,乌)，荏=(2,0,0),羽=

设行=(力,y,z)是平面ABDi的一^法向量，

—2/—Q

f77r3V3c，取？7=1,,则Z=-，^,所以亢=(0,l,-v^),

TI,AD\—~2y-\—^~z=0

13「

CC-n一工一7_2V5

设直线CG与平面AB。所成角为。，则sin。=Y

.\nVf+T+Tx7r+35.

题目正1如图,多面体ABQi—ABCD中，四边形ABCD是菱形，AABC^60°,AB//AXBX,AB=

243=4,ADUAQi,AD=2A1D1,AA_L平面ABCD,AQ_LAB,.

16

⑴求44i；

⑵求二面角D-CA-D的正弦值.

【答案】（1）2

【分析】⑴取AB的中点E,连接A.E,CE,3小，由已知可得出CE，AB.进而根据线面垂直的判

定定理、性质定理，可得出四边形A.AEB,是正方形.即可得出答案；

（2）取的中点F,连接AF.先证明AF,AD,441两两相互垂直.以点A为坐标原点，建立空间

直角坐标系，写出点的坐标，求出平面4coi与平面4的法向量，根据向量法求出夹角的余弦

值,进而即可得出答案.

【详解】(1)(1)取的中点E,连接AXE,CE,BXE.

在菱形ABCD中，/ABC=60°,BA=BC,

所以△ABC是正三角形.

又E是AB的中点，所以CE_LAB.

•/AA±平面ABCD,CEu平面ABCD,

：.CE.

,：AAiAAB-A,AB,AAjC平面AArBxB,

图1

：.CE±平面AAiBiB.

ABxc平面ABCD,：.CE±ABr.

•/AC±AB,,AcnCE=C,ACC平面AXEC,CEu平面A〔EC,

AB,A.平面ArEC.

•：AVEu平面AXEC,：.ABX±AVE.

•：AXBJ/AE,AE,A4」AE,

：.四边形AAEBi是正方形.

AXB{=2,AAi=2.

（2）取B。的中点F,连接AF.

由（1）知，△AB。是正三角形.

又F为8。的中点，所以AF_LBC,AF_L40,且AF=273.

因为44,平面ABCD,

所以AF,4D,44i两两相互垂直.

如图2,以4为坐标原点，/，瓦希的方向分别为,，g,z轴正方向建立空间直角坐标系A

-g/z,则C(2V3,2,0),A(0,0,2),。(0,2,2),D(0,4,0),

所以，两=(-2四,-2,2),(0,2,0),河=(0,4,-2).

设平面A1CD1的法向量为n={x,y,z）,

则收3=。，即升一2v+2z=0,令,=],则亢,0,⑸

[n-A1n1=O129=0

设平面4CD的法向量为关=（a,b,c）,

\m-CA=0而f—2V3a—26+2c=0人,,_>”后门后、

贝nl”>—Xi，即“八。八，令a=l,贝n”力=1,四,2战.

lm-A£>=0145-2c=0

所以Icos由L=曲>=上=工

/'制同网2X48,

所以，二面南a—CA—。的正弦值为』_（看y=且11

已知空间角求其他量

题目工如图,在三棱锥P-ABC中，PA工底面ABC,NBAC=90°.点。、E、N分别为棱PA.

。。、3。的中点，”是线段入。的中点，_?人=4。=4,48=2.

P

（1）求证：MN//平面BDE-,

（2）己知点H在棱PA上,且直线NH与直线BE所成角的余弦值为京，求线段AH的长.

【答案】（1）证明见解析

【分析】⑴以点A为原点，以AB.AC.AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用

空间向量法可证得MN〃平面BDE;

（2）设AH=7i（O<7i<4）,则8（0,0,无），利用空间向量法可得出关于无的方程，解出后的值，即可

得出结论.

【详解】（1）证明：因为P4，底面ABC,ABAC=90°,

如图，以点力为原点，以AB,AC.AP所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标

系，

18

则4(0,0,0)、B(2,0,0)、C(0,4,0)、P(0,0,4)、D(0,0,2)、E(0,2,2)、M(0,0,l)、N(l,2,0),

屈=(0,2,0),屈=(2,0,-2),

设平面BDE的法向量为4=(c,y,z),则(".竺=2"=°,

[n-DB=2x-2z=0

取c=l,可得方=(1,0,1),

又因为丽=(1,2,—1),则砒•亢=1—1=0,所以，丽_L五，

又因为MN<t平面BDE,所以，MN//平面BDE.

(2)解:依题意，设AH=爪0W无W4),则H(0,0,/i),

所以,NH—(—1,—2,1i),BE—(—2,2,2),

,,――>,\BE-NH\12/1-21V7

由已知，仔\cosBE,NH\=।=-y==-----=百-,

\BE\­\NH\V/I2+5x2V321

整理可得10/i2-21/z+8=0,解得/i=~|"或/i=1■,

o/

所以，线段AH的长为2或J.

0/

题目团已知正方体ABCD-AiBQQi，点、E为4。中点，直线5G交平面CDE于点、F.

⑴证明：点F为EG的中点；

（2）若点M为梭48上一点,且直线与平面CDE所成角的正弦值为噂,求4粤的值.

【答案】（1）证明见解析.

（2）4-