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文档简介
二倍角、半角问题一、方法突破既有构造相等角的,也有在这个问题上再进行加工的,比如,在坐标系中构造已知角的半角或二倍角,角可以单独出现,也可以存在于某个几何图形中,因此,构造半角、二倍角的方法也并不唯一,常用如下:思路1:构造半角三角函数.构造二倍角三角函数:思路2:等腰三角形外角:三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和.二、典例精析例一:如图,在平面直角坐标系中,直线与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线经过A、B两点且与x轴的负半轴交于点C.(1)求该抛物线的解析式;(2)若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点,当∠ABD=2∠BAC时,求点D的坐标.【分析】(1)抛物线:;(2)思路:转化为等角本题中的∠BAC和∠ABD是内错角,若是构造∠ABD=∠BAC,作平行线即可.两倍角亦可以作平行构造出,过B作x轴的平行线,作BA关于平行线对称的直线,与抛物线交点即为D点.考虑到,故,可得直线BD解析式为:,与抛物线联立方程:,解得:,,故D点坐标为(2,3).
例二:如图1,四边形OABC是矩形,点A的坐标为(3,0),点C的坐标为(0,6),点P从点O出发,沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A出发,同时点Q从点A出发,沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动,当点P与点A重合时运动停止.设运动时间为t秒.问题:当t=1时,抛物线经过P、Q两点,与y轴交于点M,抛物线的顶点为K,如图2所示,问该抛物线上是否存在点D,使?若存在,求出所有满足条件的D的坐标;若不存在,说明理由.【分析】思路:三角函数构造相等角t=1时,P点坐标为(1,0),Q点坐标为(3,2),代入抛物线解析式,可求得抛物线:,故顶点K的坐标为.考虑要构造,过点K作KH⊥MQ交MQ于H点,则.根据图形可求得,故若,则,故,分别解得直线DQ解析式为或,与抛物线联立方程:,解得:,,则对应D点坐标为;,解得:,,则对应D点坐标为.综上所述,D点坐标为或.三、中考真题对决1.如图,抛物线交x轴于A、B两点,其中点A坐标为(1,0),与y轴交于点C(0,-3).(1)求抛物线的函数表达式;(2)如图,连接AC,点P在抛物线上,且满足∠PAB=2∠ACO.求点P的坐标;【分析】(1)抛物线:;(2)思路:利用特殊角的三角函数值考虑到A点坐标(1,0),C点坐标(0,-3),故,若∠PAB=2∠ACO,则,转化角的正切值为直线的k,即.当时,直线PA解析式为:,联立方程:,解得:,,故P点坐标为.当时,直线PA解析式为:,联立方程:,解得:,,故P点坐标为.综上所述,P点坐标为或.2.(2021•南充)如图,已知抛物线与轴交于点和,与轴交于点,对称轴为直线.(1)求抛物线的解析式;(3)如图2,在(2)的条件下,是的中点,过点的直线与抛物线交于点,且.在轴上是否存在点,得为等腰三角形?若存在,求点的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)由题意得:,解得,故抛物线的表达式为①;(3)是的中点,则点,由点、的坐标,同理可得,直线的表达式为,过点作轴于点,则,故,而.,则直线和直线关于直线对称,故设直线的表达式为,将点的坐标代入上式并解得,故直线的表达式为②,联立①②并解得(不合题意的值已舍去),故点的坐标为,设点的坐标为,由点、的坐标得:,同理可得,当时,即,解得;当时,即,方程无解;当时,即,解得;故点的坐标为或或.3.(2021•泰安)二次函数的图象经过点,,与轴交于点,点为第二象限内抛物线上一点,连接、,交于点,过点作轴于点.(1)求二次函数的表达式;(2)连接,当时,求直线的表达式;解:(1)二次函数的图象经过点,,,解得:,该二次函数的表达式为;(2)如图,设与轴交于点,轴,,,,,,设,则,,在中,由勾股定理得:,,解得:,,设所在直线表达式为,,解得:,直线的表达式为;4.(2021•包头)如图,在平面直角坐标系中,抛物线经过坐标原点,与轴正半轴交于点,点是抛物线上一动点.(1)如图1,当,,且时,①求点的坐标;(2)如图2,该抛物线的对称轴交轴于点,点在对称轴上,当,,且直线交轴的负半轴于点时,过点作轴的垂线,交直线于点,为轴上一点,点的坐标为,连接.若,求证:射线平分.解(1)①点在抛物线上,(Ⅰ),(Ⅱ),联立(Ⅰ)(Ⅱ)解得,(舍去)或,;(2)抛物线,,令,则,或,,轴,点的横坐标为4,由图知,,,,,,过点作轴于,是梯形的中位线,的横坐标为3,点在抛物线上,点的纵坐标为,,点,直线的解析式为,令,则,,,,,令,则,记直线与轴的交点为,,,,,,根据勾股定理得,,过点作于,,,,,平分,即射线平分.5.(2021•绥化)如图,已知抛物线与轴交于点,点(点在点的左边),与轴交于点,点为抛物线的顶点,连接.直线经过点,且与轴交于点.(1)求抛物线的解析式;(3)点为线段上的一点,点为线段上的一点,连接,并延长与线段交于点(点在第一象限),当且时,求出点的坐标.解:(1)将,代入抛物线得:,解得:,抛物线的解析式为:;(3)如图1,在上取一点,作的垂
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