中考数学解题技巧 75二倍角、半角问题

二倍角、半角问题一、方法突破既有构造相等角的，也有在这个问题上再进行加工的，比如，在坐标系中构造已知角的半角或二倍角，角可以单独出现，也可以存在于某个几何图形中，因此，构造半角、二倍角的方法也并不唯一，常用如下：思路1：构造半角三角函数．构造二倍角三角函数：思路2：等腰三角形外角：三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和．二、典例精析例一：如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A、B两点且与x轴的负半轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD=2∠BAC时，求点D的坐标．【分析】（1）抛物线：；（2）思路：转化为等角本题中的∠BAC和∠ABD是内错角，若是构造∠ABD=∠BAC，作平行线即可．两倍角亦可以作平行构造出，过B作x轴的平行线，作BA关于平行线对称的直线，与抛物线交点即为D点．考虑到，故，可得直线BD解析式为：，与抛物线联立方程：，解得：，，故D点坐标为（2，3）．

例二：如图1，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，6），点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A出发，同时点Q从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止．设运动时间为t秒．问题：当t=1时，抛物线经过P、Q两点，与y轴交于点M，抛物线的顶点为K，如图2所示，问该抛物线上是否存在点D，使？若存在，求出所有满足条件的D的坐标；若不存在，说明理由．【分析】思路：三角函数构造相等角t=1时，P点坐标为（1，0），Q点坐标为（3，2），代入抛物线解析式，可求得抛物线：，故顶点K的坐标为．考虑要构造，过点K作KH⊥MQ交MQ于H点，则．根据图形可求得，故若，则，故，分别解得直线DQ解析式为或，与抛物线联立方程：，解得：，，则对应D点坐标为；，解得：，，则对应D点坐标为．综上所述，D点坐标为或．三、中考真题对决1.如图，抛物线交x轴于A、B两点，其中点A坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，-3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB=2∠ACO．求点P的坐标；【分析】（1）抛物线：；（2）思路：利用特殊角的三角函数值考虑到A点坐标（1，0），C点坐标（0，-3），故，若∠PAB=2∠ACO，则，转化角的正切值为直线的k，即．当时，直线PA解析式为：，联立方程：，解得：，，故P点坐标为．当时，直线PA解析式为：，联立方程：，解得：，，故P点坐标为．综上所述，P点坐标为或．2．（2021•南充）如图，已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点，对称轴为直线．（1）求抛物线的解析式；（3）如图2，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线与抛物线交于点，且．在轴上是否存在点，得为等腰三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）由题意得：，解得，故抛物线的表达式为①；（3）是的中点，则点，由点、的坐标，同理可得，直线的表达式为，过点作轴于点，则，故，而．，则直线和直线关于直线对称，故设直线的表达式为，将点的坐标代入上式并解得，故直线的表达式为②，联立①②并解得（不合题意的值已舍去），故点的坐标为，设点的坐标为，由点、的坐标得：，同理可得，当时，即，解得；当时，即，方程无解；当时，即，解得；故点的坐标为或或．3．（2021•泰安）二次函数的图象经过点，，与轴交于点，点为第二象限内抛物线上一点，连接、，交于点，过点作轴于点．（1）求二次函数的表达式；（2）连接，当时，求直线的表达式；解：（1）二次函数的图象经过点，，，解得：，该二次函数的表达式为；（2）如图，设与轴交于点，轴，，，，，，设，则，，在中，由勾股定理得：，，解得：，，设所在直线表达式为，，解得：，直线的表达式为；4．（2021•包头）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过坐标原点，与轴正半轴交于点，点是抛物线上一动点．（1）如图1，当，，且时，①求点的坐标；（2）如图2，该抛物线的对称轴交轴于点，点在对称轴上，当，，且直线交轴的负半轴于点时，过点作轴的垂线，交直线于点，为轴上一点，点的坐标为，连接．若，求证：射线平分．解（1）①点在抛物线上，（Ⅰ），（Ⅱ），联立（Ⅰ）（Ⅱ）解得，（舍去）或，；（2）抛物线，，令，则，或，，轴，点的横坐标为4，由图知，，，，，，过点作轴于，是梯形的中位线，的横坐标为3，点在抛物线上，点的纵坐标为，，点，直线的解析式为，令，则，，，，，令，则，记直线与轴的交点为，，，，，，根据勾股定理得，，过点作于，，，，，平分，即射线平分．5．（2021•绥化）如图，已知抛物线与轴交于点，点（点在点的左边），与轴交于点，点为抛物线的顶点，连接．直线经过点，且与轴交于点．（1）求抛物线的解析式；（3）点为线段上的一点，点为线段上的一点，连接，并延长与线段交于点（点在第一象限），当且时，求出点的坐标．解：（1）将，代入抛物线得：，解得：，抛物线的解析式为：；（3）如图1，在上取一点，作的垂