2023年山东省专升本考试高等数学Ⅰ试题和答案

山东省2023年普通高等教育专升本统一考试

高等数学(I)真题答案

一、单项选择题(本大题共5道小题，每小题3分，共15分)

I.函数y=ln(3x-l)的定义域为(

2.下面属于三阶微分方程提()

A.x1y''-xy'+y=QB.x(y')'-2yy'+x=0

C./-3/=0Dx2dy+y3dx=0

3.x->0时以下不是无穷小量的是()

A.tanxB.sin2AC.ln(l+x)D.e'+I

4.已知/(x)在x=3可导，且!吗"3-2?-/(3)=4,则/")=()

A.2B,-2C.4D-4

5.级数“收敛，则下列收敛的是()

rr=l

A.£(-1)“B.£,+，)

I“11〃)"1"I\nJ

二、填空题(本大题共5小题，每题3分，共15分)

6.极限(1+x)；=.

7.已知方=(-2,l,A),6=(4,5,1),且。上5,贝I]A=.

8.已知参数方程卜=，则立/=o=_____________.

j=arcsinrdx

9.已知//(/)力=x'+x2,则/(4)=.

10.二重积分J：必J'""’/(X/)砂+['方交换积分次序后为

三、解答题(本大题共8个小题，每小题6分，共48分)

11.求极限lim(ylx2+3x-x\.

\/

l-cosx_

12.求极限lim----r

x—0X’

13求不定积分J77dm

14.求过点幺(1,0,-4),8(3,1,-2)且与直线『=詈=|■平行的平面方程.

15.求二元函数二=Jy2+l+ln（x-y）的全微分.

16.求微分方程x3+xy=/+Inx满足初始条件y\x=l=1的特解.

17.计算二重积分JJ—j===dxdy，式中D=',y|04y4Gx,1C/44,

18.求幕级数■三一的收敛域与与函数.

”（）（〃+2）m

四、应用题(本大题共2道小题，每小题7分，共14分)

19.求由直线x+y=2，曲线y=4与y轴围成图形绕x轴旋转一周而围成旋转体

的体积.

20.求函数/(x)=(2x-3)e*-x2+x的极值.

五、证明题(本大题共1道小题，每小题8分，共8分)

21.设函数/(x)在［0,1］连续，且f/(x>Zx=l

证明：

(1)对于任意整数〃N2,存在x°w(0,l),使得『/(x)公=L

(2)在(0,1)内存在两个不同的点J,",使得〃〃)+3/⑹=4⑹/(〃).

山东省2023年普通高等教育专升本统一考试

高等数学（I）真题答案

一、单项选择题（本大题共5道小题，每小题3分，共15分）

1.函数y=ln（3x-l）的定义域为（A）

A.(g,+8B[-8'g

2.下面属于三阶微分方程提（C）

A.x2y"-xy'+y=0B.-^yy'+x-0

c.y-3/=oD.x2dy+y3dx=0

3.x->0时以下不是无穷小量的是（D）

A.tanxB.sin2xC,ln(l+x)D.e*+1

.已知（）在可导，且/（3）则，（）（）

4/xx=3匚；；h.=4,/3=B

A.2B.-2C,4D,-4

5.级数£〃“收敛，则下列收敛的是（D）

n-\

AS（-i）ZC.£WD.tk-±

n-\n=\\nJn-\w=l\〃

二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分）

5

6.极限1叫（1+工产=/.

7.已知万=（一2,14），6=（4,5,1）,且万贝心=3.

8.已知参数方程卜='+",则@/=0=_____1______.

y=arcsin/dx2

9.已知//⑴力=/+/,贝|/（4）=8.

交换积分次序后为

f(ry冲.

三、解答题(本大题共8个小题，每小题6分，共48分)

11.求极限lim(Jx?+3x-x).

XT+8\/

..3x].33

lim/---=lim]——二—

i&+3x+x…1+-+12

1-COSJccc-

12.求极限lim二-COSJ

x->0x2

ei-cosx_，e1-C0SJsinj+sinj

解：hm-------C-0-S-A-=hm---------------

XT。XXT。2x

1-8SX1\-COSX1

=lim-------sinx=lim--------sinx=1

XTO2XXT02X

13.求不定积分f-——Xdx.

Jx2+10x+26

解：f----------dx-\----5----dx-[---------d(x+5)=arctan(x+5)+C

W+iOx+26Jl+(x+5)2Jl+(x+5)2V；I)

14.求过点/(LO,-4),8(3,1,-2)且与直线三士=丝2=三平行的平面方程.

解：方二(2,1,2),平面的法向量万二刀、(3,—1,2)=(4,2,—5)

所以平面方程为：4(x-l)+2y-5(c+4)=0

即4x+2y-51-24=0.

15.求二元函数二=，"+1+皿、-田的全微分.

16.求微分方程x2j'+xy=/+Inx满足初始条件1的特解.

解：方程中了+孙=/+lnx可变形为=1-

XX

所以通解为y=e仆（C++用e"屋

1、

即歹"c+—+

2

7

又因为引1=；,所以c+；=；,所以c=o

所以歹」y+Hln^）2

八22J

17.计算二重积分JJ/”,dxdy,式中Z)=^x,j|O<j<V3x,l<x2+y2<41.

D'x~+y，

解：

W-^^dxdy=R「八、…我

4乒了JoLJ,，J

17r-

r29SindcosOdrd0=—\3sinOcos3d3

」3」。

7

8

8丫〃+2

18.求累级数、的收敛域与与函数.

气（〃+2）〃!

解:

|乜W=hm,%("型=J±

imnlim=0

〃f8a〃(x)〃-8(〃+3)(〃+])!xw->oon_|_1

丫〃+2

所以的收敛域为（一°°，+8）

〃=o（〃+2）〃！

令S(x)=£―巨+工+上―

n=0("+2)〃！23-1!4-2!5-3!

234(23、

g、l“\XXX.XXX

所以S'(x)=x+—+---------+•••=%1+—+—+—+•••=xex

1!2!3!I1!2!3!J

5(x)=£xexdx=£xdex=xex-ex+1.

四、应用题(本大题共2道小题，每小题7分，共14分)

19.求由直线x+y=2,曲线y=&与歹轴围成图形绕x轴旋转一周而围成旋转体

的体积.

X4-V=2、

.由厂得交点(1,1)

y=ylx

所以旋转体的体积为：匕=可［(2-"-丫办

=-x］dx=;r《［4-5x+x1dx=;r4x—1-J<2+

20.求函数/(x)=(2x-3)e*--+x的极值.

令广(x)=(2x-1乂"-1)=0,得驻点x=°和x=；

/〃(x)=(2x+l)e、-2

(；)=2/_2=2/_2〉0

r(o)=-i<o,

所以极大值为/(0)=3,极小值为/(；)=-2/+；=-24+；

五、证明题(本大题共1道小题，每小题8分，共8分)

21.设函数〃x)在［0』连续，且£/(x*x=l

证明：(1)对于任意整数〃22,存在/e(0,l),使得=：

(2)在(0,1)内存在两个不同的点使得/(〃)+3/仔