沪科版八年级数学下学期核心考点精讲精练 专题06 一元二次方程根的判别式和根与系数的关系（知识点考点串编）-【专题重点突破】(原卷版+解析)

专题06一元二次方程根的判别式和根与系数的关系【思维导图】©知识点一：根的判别式【技巧】根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．◎考点1根据判别式判断根的情况例．(2023·四川涪城·一模）©知识点一：根的判别式【技巧】根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．◎考点1根据判别式判断根的情况A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．无法确定练习1．(2023·四川凉山·模拟预测）关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k﹣6＝0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k≥0 B．k≥0且k≠2 C．k≥ D．k≥且k≠2练习2．(2023·广东·东莞市光明中学九年级期中）一元二次方程的根的情况是（

）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根 D．没有实数根练习3．(2023·湖北荆门·模拟预测）小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1，b＝3，解出其中一个根是．他核对时发现所抄的比原方程的值小2．则原方程的根的情况是（）A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根C．有一个根是x＝﹣1 D．有两个相等的实数根◎◎考点2根据根的情况求参数例．(2023·海南海口·九年级期末）若关于x的方程（k为常数）有两个相等的实数根，则k的值为（

）A．﹣4 B．4 C． D．练习1．(2023·甘肃兰州·九年级期末）已知关于x的一元二次方程(k－1)x2－2x＋1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（

）A．k≤-2 B．k≤2 C．k≥2 D．k≤2且k≠1练习2．(2023·四川省荣县中学校九年级期中）若关于x的方程无实数根，则一次函数的图象不经过的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限练习3．(2023·广东·河源市第二中学一模）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是（

）A． B． C．且 D．且©知识点二：根与系数关系【技巧】根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．例．(2023·湖北·武汉七一华源中学九年级阶段练习）关于x的方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根x1©知识点二：根与系数关系【技巧】根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x2A．1 B．2 C．4 D．6练习1．(2023·山东·周村二中九年级开学考试）已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，则x12﹣5x1﹣2x2的值为（）A．﹣7 B．﹣3 C．2 D．5练习2．(2023·四川省安岳中学九年级开学考试）关于x的一元二次方程x2+mx+3＝0有两个实数根x1＝1，x2＝n，则代数式（m+n）2020的值为（）A．1 B．0 C．32020 D．72020专题06一元二次方程根的判别式和根与系数的关系【思维导图】©知识点一：根的判别式【技巧】根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．◎考点1根据判别式判断根的情况例．(2023·四川涪城·一模）©知识点一：根的判别式【技巧】根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．◎考点1根据判别式判断根的情况A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．无法确定答案:A解析：分析：先求出Δ的值，再判断出其符号即可．【详解】解：∵Δ=（-3）2-4×1×(-1)=13＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．【点睛】本题考查的是根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的情况与判别式Δ的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．练习1．(2023·四川凉山·模拟预测）关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k﹣6＝0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k≥0 B．k≥0且k≠2 C．k≥ D．k≥且k≠2答案:D解析：分析：根据一元二次方程有两个实数根，可知k-2≠0，b2-4ac≥0，求出k的取值范围．【详解】解：根据题意得k﹣2≠0且b2-4ac＝(﹣2k)2﹣4(k﹣2)(k﹣6)≥0，解得且k≠2，故选：D．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，注意一元二次方程ax2+bx+c=0成立的条件是a≠0．练习2．(2023·广东·东莞市光明中学九年级期中）一元二次方程的根的情况是（

）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根 D．没有实数根答案:A解析：分析：根据一元二次方程的判别式进行判断即可．【详解】解：∵，∴原方程有两个不相等的实数根．故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程(为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．练习3．(2023·湖北荆门·模拟预测）小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1，b＝3，解出其中一个根是．他核对时发现所抄的比原方程的值小2．则原方程的根的情况是（）A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根C．有一个根是x＝﹣1 D．有两个相等的实数根答案:A解析：分析：首先利用已知的a、b，以及解出的一个根，求出c，再根据“所抄的比原方程的值小2”得出正确的c值，最终利用根的判别式判断根的情况即可．【详解】解：小刚在解关于的方程时，只抄对了，，解出其中一个根是，，解得：，故原方程中，则，则原方程的根的情况是不存在实数根．故选：A．【点睛】本题重点考查的是一元二次方程中根的判别式的应用，熟练掌握一元二次方程中的运算，以及判别式的运用是解题的关键．◎◎考点2根据根的情况求参数例．(2023·海南海口·九年级期末）若关于x的方程（k为常数）有两个相等的实数根，则k的值为（

）A．﹣4 B．4 C． D．答案:D解析：分析：根据方程x2-x+k=0有两个相等的实数根，则根的判别式△=b2-4ac=0，从而列关于k的方程求解即可．【详解】解：∵方程有两个相等的实数根，∴△=b2−4ac=（-1）2-4k=0，解得：k=．故选D．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，当一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式为0．练习1．(2023·甘肃兰州·九年级期末）已知关于x的一元二次方程(k－1)x2－2x＋1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（

）A．k≤-2 B．k≤2 C．k≥2 D．k≤2且k≠1答案:D解析：分析：根据方程有两个实数根则，再结合二次项系数，即可得到关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，∴，解得：且．故选：D．【点睛】本题考查了根的判别式，根据根的判别式，结合二次项系数不为0，得出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．练习2．(2023·四川省荣县中学校九年级期中）若关于x的方程无实数根，则一次函数的图象不经过的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限答案:C解析：分析：先根据关于的方程无实数根求出的取值范围，再判断出一次函数的图象经过的象限即可．【详解】解：关于的方程无实数根，△，解得，，一次函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限．故选：C．【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，解题的关键是熟知一次函数的图象当，时在一、二、四象限．练习3．(2023·广东·河源市第二中学一模）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是（

）A． B． C．且 D．且答案:C解析：分析：根据一元二次方程根的判别式，即可求得．【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，∴且，解得且，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，注意二次项系数不为零是解决本题的关键©知识点二：根与系数关系【技巧】根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．例．(2023·湖北·武汉七一华源中学九年级阶段练习）关于x的方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根x1©知识点二：根与系数关系【技巧】根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x2A．1 B．2 C．4 D．6答案:D解析：分析：根据根与系数的关系得出x1+x2=-，由x2=2x1得出3x1=-，即x1=-，可解出x2，由两根之积x1x2=可得c=，代入代数式即可得到4b-3ac==4b-=-（b-3）2+6，从而求得4b-3ac的最大值是6．【详解】解：∵关于x的方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实根x1、x2，∴x1+x2=-，x1x2=，∵x2=2x1，∴3x1=-，即x1=-，∴x2=-，∴==，∴9ac=2b2，∴c=∴4b-3ac=4b-3a•=4b-=-（b-3）2+6，∵-＜0，∴4b-3ac的最大值是6，故选：D．【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是根据两根之和和两根之积，找到a、b、c之间的关系，再代入所求的式子运用配方法配方求出最大值．练习1．(2023·山东·周村二中九年级开学考试）已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，则x12﹣5x1﹣2x2的值为（）A．﹣7 B．﹣3 C．2 D．5答案:A解析：分析：由题意得，，将变形为，进行计算即可得．【详解】解：∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，∴，，∴，故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，将进行变形．练习2．(2023·四川省安岳中学九年级开学考试）关于x的一元二次方程x2+mx+3＝