电路的矩阵形式

关于电路的矩阵形式复习基本概念一、网络的图二、树、基本回路与基本割集第2页,共82页，2024年2月25日，星期天一、网络的图1、网络图论网络图论是图论在电路理论中的应用。主要通过电路的结构及其连接性质，对电路进行分析计算。第3页,共82页，2024年2月25日，星期天每一个电路元件或多个电路元件的某种组合用一条线段代替，称为支路。2、支路BranchR1R212skIskUkΙ-+kZ+kU-k第4页,共82页，2024年2月25日，星期天每一个电路元件的端点，或多个电路元件相连接的点，称为节点。在电网络理论中，通常节点是指支路的汇集点。3、节点NodeR1R2①②③skIskUkΙ-+kZ+kU-①②

第5页,共82页，2024年2月25日，星期天

从一个结点沿某些支路移动到另一结点，则这些支路就是一条路径。4、路径Path第6页,共82页，2024年2月25日，星期天一条路径的起点、终点重合所形成的不重复的闭合路径。5、回路Loop第7页,共82页，2024年2月25日，星期天

平面图中自然的“孔”，它限定的区域内不再有支路。6、网孔Mesh第8页,共82页，2024年2月25日，星期天节点和支路的集合，称为图，每一条支路的两端都连接到相应的节点上。7、网络的图Graph第9页,共82页，2024年2月25日，星期天

当图G中的任意两个节点之间至少存在一条路径时，称为连通图。有向图是指各个支路规定了参考方向的图，反之，称为无向图。8、连通图和有向图第10页,共82页，2024年2月25日，星期天第11页,共82页，2024年2月25日，星期天二、树、基本回路与基本割集1、树Tree一个连通图G的树T是指G的一个连通子图，它包含G的全部节点，但不含任何回路。构成树的支路称为“树支”，图G中不属于T的其他支路称为“连支”，其集合称为“树余”。第12页,共82页，2024年2月25日，星期天

只含一条连支的回路称为单连支回路，它们的总和为一组独立回路，称为“基本回路”。树一经选定，基本回路唯一地确定下来。２、基本回路第13页,共82页，2024年2月25日，星期天

1

a

c2

b3

de

4

f第14页,共82页，2024年2月25日，星期天连通图G的割集是指其一个支路集合：1、把这些支路全部移去（保留节点）后，将使连通图分离成各自连通的两个部分；2、少移去其中一条支路,图仍然是连通的。３、割集Cutset割集是一个广义结点，属于一个割集的所有支路的代数和为0第15页,共82页，2024年2月25日，星期天

只含一条树支的割集称为单树支割集，它们的总和称为“基本割集”。

1

ac2

b

3

de

4

f

1

ac2

b

3

de

4

f

1

ac2

b

3

de

4

f

1

ac2

b

3

de

4

f４、基本割集第16页,共82页，2024年2月25日，星期天15-1关联矩阵Ａ

15-2回路矩阵Ｂ

15-3割集矩阵Ｑ第17页,共82页，2024年2月25日，星期天三个矩阵研究的对象结点支路关联矩阵AaA回路支路回路矩阵BBf

割集支路割集矩阵QQf行列第18页,共82页，2024年2月25日，星期天15.1-1、增广关联矩阵Aa

n×b

Aa定义：行对应图的节点，列对应图的各个支路。Aa=[ajk]中：当节点i与支路bk无关联时，ajk=0当节点i与支路bk关联，且支路电流的参考方向离开节点时，ajk=+1当节点i与支路bk关联，且支路电流的参考方向指向节点时，ajk=-1第19页,共82页，2024年2月25日，星期天

4n

4b

3b

5b

5n

7b1n

3n

1b

6b

2b

2n例题1：分析：有5个结点，7条支路，所以应该是5X7的矩阵。5X7第20页,共82页，2024年2月25日，星期天关联矩阵Aa的特点：

每一列只有两个非零元素，一个是+1，一个是-1，Aa的每一列元素之和为零。

矩阵中任一行可以从其他n-1行中导出，即只有n-1行是独立的。引入降阶关联矩阵AA=(n-1)b支路b结点（n-1）第21页,共82页，2024年2月25日，星期天A定义：除去增广关联矩阵中的任意一行，矩阵仍然具有同样的信息，足以表征定向图中节点对支路的关系。将这种矩阵称为降阶关联矩阵或简称为关联矩阵，记为A。15.1-2、降阶关联矩阵A(n-1）×b第22页,共82页，2024年2月25日，星期天思考：如果已知A矩阵，能否画出对应的图？例题2：写出Aa和A第23页,共82页，2024年2月25日，星期天15.2回路矩阵B(b-n+1）×bB定义：行对应图的回路，列对应图的各个支路。B=[bjk]中：当支路k不在回路j内，bjk=0;当支路k在回路j内，且支路方向与回路方向相同，bjk=+1;当支路k在回路j内，且支路方向与回路方向不同，bik=-1。第24页,共82页，2024年2月25日，星期天例题3：取网孔为独立回路，顺时针方向1231２３６５４①②④③123B=123456支回01110000-10-111-1000-1

给定B可以画出有向图。第25页,共82页，2024年2月25日，星期天列写规则：先选择一棵树T;

列写时，将矩阵的列按先连支后树支且连支与树支要分开排列的方式;Bf定义：如果B是由以下列方式列写出来的称为基本回路矩阵Bf。15.2基本回路矩阵Bf

(b-n+1）×b第26页,共82页，2024年2月25日，星期天3.由于基本回路为单连支回路，就选连支方向为回路方向;4.连支和对应的回路要为相同的行和列号;5.特点：Bf的左半边为E单位矩阵。Bf列写规则：第27页,共82页，2024年2月25日，星期天例题4：写出Bf矩阵。1234567选1、2、3、6为树l1l2l34571236l1l2l34、5、7则为连支第28页,共82页，2024年2月25日，星期天

Q定义：行对应基本割集，列对应图的各个支路。Q=[qjk]中：当支路k不在割集j内，qjk=0;当支路k在割集j内，且支路方向与割集方向相同，qjk=+1;当支路k在割集j内，且支路方向与割集方向不同，qjk=-1。15.3割集矩阵Q与基本割集矩阵Qf第29页,共82页，2024年2月25日，星期天例题5：写出下图的Q。Q1Q2Q2156423割集支路第30页,共82页，2024年2月25日，星期天Qf定义：如果选定一组单树支割集为一组独立割集，称为基本割集矩阵。列写规则：先选择一棵树T;列写时，将矩阵的列按先树支后连支且分开排列;由于基本割集为单树支割集，所以就选树支方向为割集方向;树支和对应的割集要为相同的行列号;Qf的左半边为E单位矩阵。第31页,共82页，2024年2月25日，星期天例题5：选4、5、6支路为树，写Qf1２３６５４①②④③Q1:{1,2,4}Q2:{1,2,3,5}Q3:{2,3,6}Q=456123支割集123100-1-10

01011-1

0010-11QlQt第32页,共82页，2024年2月25日，星期天4、KCL、KVL的矩阵形式1）、KCL定律：3514726②①④③⑤根据结点、割集列写支路KCL方程网孔或回路电路表示支路电流第33页,共82页，2024年2月25日，星期天2）、KVL定律：3514726②①④③⑤每条支路电压总是可以由这n-1个结点电压表示：支路电压表示回路方程结点电压、树枝电压表示支路电压第34页,共82页，2024年2月25日，星期天15-4回路电流方程的矩阵形式第35页,共82页，2024年2月25日，星期天推导思路:回路电流法：以回路电流作独立变量，列写b-n+1个KVL方程。已知：KCL--KVL—如能求出VCR--第36页,共82页，2024年2月25日，星期天一、复合支路模型电路图中第k条支路有向图中第k条支路k_++_1、Uk与Ik关联；2、USk与Uk方向相反；3、ISk与Ik都流入同一个结点；4、Zk是单一阻抗；5、不允许存在理想ISk支路。第37页,共82页，2024年2月25日，星期天

复合支路只是定义了一条支路最多可以包含的不同元件数及连接方法，但允许缺少某些元件。Zk（Yk）Zk（Yk）+-+-Zk（Yk）Zk（Yk）=0+-第38页,共82页，2024年2月25日，星期天V

C

R

方程推导+_+_第39页,共82页，2024年2月25日，星期天+_+_VCR:V

C

R

方程推导第40页,共82页，2024年2月25日，星期天bX1bXbbX1bX1bX1第41页,共82页，2024年2月25日，星期天其中:（各支路无耦合）第42页,共82页，2024年2月25日，星期天二、回路电流方程推导KCL方程：KVL方程：VCR方程：第43页,共82页，2024年2月25日，星期天回路阻抗矩阵bXb:支路阻抗矩阵bXb回路电压源矩阵bX1第44页,共82页，2024年2月25日，星期天三、Z矩阵的列写：(1)无耦合时：Z就是一个对角阵。第45页,共82页，2024年2月25日，星期天写出图示电路支路电压、电流关系（VCR）矩阵：例+R1R51/j

Cj

L2R6234-j

L311①23456②③④解注意电流源的参考方向参考方向第46页,共82页，2024年2月25日，星期天(2)耦合情况一：含有互感线圈Mkj_++__++_Mkj第47页,共82页，2024年2月25日，星期天1、位置-----两个互感电感所在的位置分别作双下标，即Zkj和Zjk

同时成对出现在Z中；kZkjjkZjkj步骤一：先不考虑M写出对角阵Z；步骤二：在对角阵Z的基础上成对添加±jwM；2、大小-----Zkj=Zkj=±jωM。符号看支路方向和同名端相对位置是相同还是相反。（增强/削弱）第48页,共82页，2024年2月25日，星期天(2)耦合情况二：含有受控电压源Udk_++__+记：受控电压源方向与UK方向一致。第49页,共82页，2024年2月25日，星期天VCR:skIskUkΙ

–+kZ+–kU

–+dkU第50页,共82页，2024年2月25日，星期天根据Udk的控制量不同：1、Udk=μkjIej(CCVS)Zkj=-μkj第51页,共82页，2024年2月25日，星期天根据Udk的控制量不同：2、Udk=μkjUej(VCVS)Zkj=-μkjZj第52页,共82页，2024年2月25日，星期天15-5结点电压方程的矩阵形式第53页,共82页，2024年2月25日，星期天一、Y矩阵的列写1、无受控源,无MＹ-----支路导纳矩阵,且为一个对角阵!第54页,共82页，2024年2月25日，星期天2、有电感M支路导纳矩阵Y不再是一个对角阵,其主对角线为各支路导纳,而非对角线上有关于主对角线对称的互感导纳出现!位置-----如第i与j支路间有互感存在,则在Yij和Yij的位置上成对出现!大小-----±1/jωM,符号看同名端是增强还是削弱！第55页,共82页，2024年2月25日，星期天3、有受控源支路导纳矩阵Y不再为一个对角阵；新导纳位置----控制量所在支路j决定列号；受控源所在支路k决定行号；则其出现在Ykj位置上;新导纳大小----如：Idk=gkjUej则Ykj=gkj，如：Idk=βgkjIej则Ykj=βkjYj第56页,共82页，2024年2月25日，星期天二、节点电压法的矩阵形式的推导KCL方程：KVL方程：VCR方程：第57页,共82页，2024年2月25日，星期天------结点导纳矩阵-----流入该结点的电流源值第58页,共82页，2024年2月25日，星期天结点分析法的一般步骤1①23456②③④第一步：抽象为有向图5V0.5W2W1W0.5W5W1W3A1A+-第二步：形成[A]123A=123456支节1100010-1110000-101-1第59页,共82页，2024年2月25日，星期天第三步：形成[Y]1①23456②③④5V0.5W2W1W0.5W5W1W3A1A+-第四步：形成[US]、[IS]US=[-500000]T[IS]=[000-130]T第60页,共82页，2024年2月25日，星期天第五步：用矩阵乘法求得节点方程第61页,共82页，2024年2月25日，星期天15-6割集电压方程的矩阵形式第62页,共82页，2024年2月25日，星期天一、树支电压的概念:树支电压：指选定做树支上的支路电压。341562如图，有三个树支电压：第63页,共82页，2024年2月25日，星期天341562二、Q与KCL的关系：1、Q与KCL的关系356124Q1Q2Q3流入割集的电流代数和为0第64页,共82页，2024年2月25日，星期天341562三、Q与KVL的关系：1、Q与KVL的关系选346做树支，则可以将支路电压用树支电压来表示：第65页,共82页，2024年2月25日，星期天四、复合支路------VCRVCR方程：第66页,共82页，2024年2月25日，星期天五、方法推导KCL方程：KVL方程：VCR方程：第67页,共82页，2024年2月25日，星期天------割集电导矩阵------割集电流源向量几个概念：第68页,共82页，2024年2月25日，星期天六、例题例1：写出割集电压法的矩阵形式第69页,共82页，2024年2月25日，星期天14235678第70页,共82页，2024年2月25日，星期天15-11状态方程第71页,共82页，2024年2月25日，星期天一、定义1、状态变量：电路的一组独立的动态变量，它们和输入（us、is）一起确定电路任何时刻的状态。第72页,共82页，2024年2月25日，星期天2、状态方程：对状态变量列出的一阶微分方程。（KCL或KVL）输入向量v状态向量xAnXnBnXm第73页,共82页，2024年2月25日，星期天二、状态方程

R++

L