数学（天津卷）金卷：2024年高考第二次模拟考试参考解析

2024年高考第二次模拟考试高三数学（天津卷）第I卷注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，2，本卷共9小题，每小题5分，共45分参考公式：•如果事件A、B互斥，那么．•如果事件A、B相互独立，那么．•球的体积公式，其中R表示球的半径．•圆锥的体积公式，其中S表示圆锥的底面面积，h表示圆锥的高。选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意可得：，，所以.故选：D.2．已知且，则“”是“函数是增函数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，，又因为是增函数，所以是增函数；当是增函数时，或，所以“”是“函数是增函数”的充分不必要条件，故选：A.3．函数的大致图象为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【解析】由于的定义域为,又，所以为奇函数，故可排除AB,由于当时，，故排除C，故选：D4．若，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为，而，即，，所以.故选：B.5．已知的一段图像如图所示，则（

）A．B．的图像的一个对称中心为C．的单调递增区间是D．的图像向左平移个单位长度后得到的是一个奇函数的图象【答案】C【解析】由图可知，，所以，解得，所以，又函数过点，即，所以，解得，因为，所以，所以，故A错误；因为，故B错误；令，解得，故函数的单调递增区间为，故C正确；将函数的图象向左平移个单位得为偶函数，故D错误；故选：C6．灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围如图，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分除去两个球冠如图，球冠是由球面被一个平面截得的，垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球的半径为，球冠的高为，则球冠的面积已知该灯笼的高为，圆柱的高为，圆柱的底面圆直径为，则围成该灯笼所需布料的面积为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意得圆柱的底面圆直径为，半径为，即球冠底面圆半径为.已知该灯笼的高为，圆柱的高为，所以该灯笼去掉圆柱部分的高为，所以，得，，所以两个球冠的表面积之和为，灯笼中间球面的表面积为．因为上下两个圆柱的侧面积之和为，所以围成该灯笼所需布料的面积为．故选：B．7．某品牌手机商城统计了开业以来前5个月的手机销量情况如下表所示：时间x12345销售量y（千只）0.50.71.01.21.6若y与x线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（

）A．由题中数据可知，变量y与x正相关B．线性回归方程中，C．时，残差为0.06D．可以预测时，该商场手机销量约为1.81千只【答案】B【解析】对A，由图表可知，变量y与x正相关，且，即变量y与x正相关，A正确；对B，由图表数据可得，因为样本中心满足回归直线，所以，解得，B错误；对C，时，残差为，C正确；对D，时，该商场手机销量约为千只，D正确；故选:B.8．已知双曲线与椭圆有公共焦点，且左、右焦点分别为，，这两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，则双曲线的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】设双曲线的方程为，在椭圆中，则，因为是以为底边的等腰三角形，所以，由椭圆的定义可知，，所以，再由双曲线的定义可得，所以，因为双曲线与椭圆有公共焦点，所以，故双曲线的标准方程为.故选：C.9．已知函数，是函数的4个零点，且，给出以下结论：①m的取值范围是；②；③的最小值是4；④的最大值是.其中正确结论的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】作出函数的图象如下图所示：因为是函数的4个零点，所以直线与函数的图象有四个交点，且，结合图象可知：，故①错误；对于②，由图可知，，则，所以，，则，所以，所以，所以，故②错误；对于③，当时，或，结合图象可知，，由得，即，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，显然不满足，所以，故③错误；对于④，因为，当且仅当时，等号成立，所以，即的最大值是，故④正确.综上，正确结论为④，共1个.故选：A.第II卷注意事项1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共11小题，共105分．二、填空题，本大题共6小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分。10．已知复数，其中为虚数单位，则.【答案】【解析】∵，∴.故答案为：11．已知随机变量，且，则的展开式中常数项为.【答案】【解析】由题意得随机变量服从正态分布，且，由，所以，即求的常数项，由二项式定理得常数项为.故答案为：12．计算.【答案】【解析】.故答案为：13．已知直线和圆相交于两点；弦长，则．【答案】1【解析】圆的圆心为，半径为则由题意可得，则.故答案为：.14．在一个布袋中装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球，从中随机摸取1个球，有放回地摸取3次，记摸取白球的个数为X．若，则，．【答案】1【解析】由题意知．因为，所以，解得，所以．故答案为：；.15．在边长为的正方形中，是中点，则；若点在线段上运动，则的最小值是.【答案】【解析】

以为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，因为正方形的边长为，且是中点，则，则，所以；设，其中，则，则，所以，，则，，其中，，当时，有最小值为.所以的最小值是.故答案为：30；解答题，本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤。16．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，．(1)求的值；(2)求值；(3)若，求．【解析】（1）由题设及正弦定理知：，则，又，故，又.（2）由B为内角且，则，故，，所以.（3）由，而，所以，由（2）知：，则，综上，.17．如图，四边形是正方形，平面为的中点.

(1)求证：；(2)求到平面的距离；(3)求平面与平面的夹角.【解析】（1）

依题意，平面，如图，以A为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．依题意，可得，.（2）,设平面的一个法向量为，则，即，令，则，故，，故到平面的距离即在法向量上的投影长度，则，故到平面的距离为.（3）因为，平面，所以平面，故为平面的一个法向量，设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面的夹角为.18．已知椭圆：的一个焦点为，上顶点到这个焦点的距离为2.（1）求椭圆的标准方程（2）若点在圆上，点为椭圆的右顶点，是否存在过点的直线交椭圆于（异于点），使得成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.【解析】解：（1）由椭圆的一个焦点为知：，因为上顶点到这个焦点的距离为2，故，所以，∴所求椭圆的标准方程为；（2）假设存在过点的直线符合题意，直线的斜率必存在，于是可设直线的方程为，由，得.（*）∵点是直线与椭圆的一个交点，则，∴，∴，∴，即点，，∴，即∵点在圆上.∴，化简得，解得，∴，，经检验知，此时（*）对应的判别式，满足题意，故存在满足条件的直线，其方程为.19．已知各项均为正数的数列的前n项和满足，且.（1）求的通项公式：（2）设数列满足，并记为的前n项和，求证：.【解析】（1）由，结合，因此由得，又，得从而是首项为2公差为3的等差数列，故的通项公式为.（2）由可得，从而∵，于是∴.20．已知函数，（其中为自然对数的底数）．(1)若，求函数在区间上的最大值．(2)若，关于的方程有且仅有一个根，求实数的取值范围．(3)若对任意的，，不等式均成立，求实数的取值范围．【解析】（1）解：当时,，,所以，当时，，时，，所以，在上单调递减,上单调递增,因为，当时,,当时,,所以，在区间上的最大值为．（2）解：当时,关于的方程为有且仅有一个实根,所以，有且仅有一个实根,设,则,所以，当时，，当时，，所以，在和上单调递减,在上单调递增,因为,当趋近于时，趋近于，