高三数学专项训练-平面向量的数量积

平面向量的数量积

1、在直角AA5C中,ZC=90-,NA=30。，BC=\,D为斜边A3的中

点，则nBCD=。

2、已知向量a=(x,3),b=(2,1),若a与b的夹角为锐角，则实数x的

取值范围是

3、已知平面向量”=(1,-3),/,=(4,-2)，入“+〃与。垂直，则

九是

4、设向量4和〃的长度分别为4和3，夹角为60。，则If+〃|的值为.一

5、已知线段AB为圆。的弦，且AB=2,则心加♦

6、不共线的向里加/m的模都为2,右G=3m-2m,h=2m-3m,

121212

则两向量a+方与的夹角为.

7、已知向量a与〜的夹角为120/且巴=3=4/那么万.万的值为

K

8、a,5的夹角为120。,忖=1,忖=3，贝1115a_々=

9、已知平面向量a=(2,4),b=(-1,2),若才=2-0.万历,则忖=.

10、关于平面向量a,4c.有下列三个命题：①若限万，则b=c.

②右a=(Lk),b-(-2,6)Ia//b/则攵=-3"③非零向重a和两足

lal=IM=la-加，则a与a+点狭角为60•其中真命题的序号为.(写出

所有真命题的序号)

11、已知a是平面内的单位向量，若向量力满足方.0_万)=0,则|向的

取值范围是。

12、已知向量°=(1,2),一(x,4)/若向量%，则％=.

13、平面向量a,共线的充要条件是

①.a,b方向相同②.a,6两向量中至少有一个为零向

--

里

③.,6=入“④.存在不全为零的实数入，x,%a+Xb=O

1212

14、在平面直角坐标系中，菱形OABC的两个顶点为0(0,0),A(l,l),且

OAOC=T,贝!JABAC=•

15、在直角三角形ABC中，/A=90°,AB=1，则旭记的值是.

16、设向量a,b的夹角为。,a=(2,1),a+3b=(5,4),则向。=0

17、已知展_(cos2a,sina),b=(1,2sina-I),aG二，兀)，若a.分=2,则tan(a+—)的

254

彳劭.

18、已知a与b均为单位向量，它们的夹角为60°,那么|a+3b|

等于.

19、在A/WC所在的平面上有一点P,满足PA+PB+PC=AB，则\PBC

与AABC的面积之比是一•

^/3x—y<Q

20、已知A(31)/O是原点，点P(x,y)的坐标;两足,犬_11y5y+2<0'则

y>Q

(1)出亘的最大值为；(2)空变的取值范围为.

\OA\\OP\

21、已知点O在△ABC内部，且有丽+2m+4g=0,则△OAB与aOBC

的面积之比为

22、在中，角A、B、C的对边分别为“力,c,已知向量

加=(cos?,sin?),〃=(cos,,sin令,且满足+=①,(I)求角A的大

小；（II）若"c=p,试判断AABC的形状。

23、已知向量4=凤11。,臼，。=（1,30），。€（一9?.

⑴若打揖求。；（7分）（n）求山+幻的最大值（7分）

24、已知向量4=(cosx,sinx),5=(0,。)/右鼠3=色/且ZL<x<?

(I)试求出cos(x-ZL)和tan(x-ZL)的值；(II)求sin2x(l+tanx)的值。

441-tanx

平面向量的数量积

1、在直角AABC中，NC=90。，ZA=30。，BC=\<O为斜边A8的中

点I则-CD=o—1

2、已知向量a=(x,3),b=(2,1),若a与b的夹角为锐角，则实数x的

取值范围是(]31

卜X〉一§且x工61

3、已知平面向量a=(1,-3),/j=(4,-2),A+〃与a垂直,则

A,是_1

4、设向量”和〃的长度分别为4和3,夹角为60°；贝尤正我的值为.

_屈

5、已知线段AB为圆O的弦，且AB=2，则Ao..=.2」

6、不共线的向里M/7的模都为2,若往=3和-2万,b=2m-3nT,

121212

则两向量〃+5与的夹角为.90°

7、已知向量“与万的夹角为120，且网=H=4,那么方.万的值为

_______--8

8、的夹角为120。，忖=由=3，则也叫=7

9、已知平面向量a=(2,4),方=(一1,2)，若方=方-0•方昉，则产|=.卬

10、关于平面向量a,b,c.有下列三个命题：①若2•方=方七，则》=c•

②右a=(l,k)，b=(-2,6)/a//b,则&=-3-③非零向量”和两足

\a\=\b\=\a-b\,则a与a+b的夹角为60.其中真命题的序号为②.(写

出所有真命题的序号)

11、已知。是平面内的单位向量，若向量》满足3.0一方)=0,则的

取值范围是[0,1]o

12、已知向量a=(1,2),b=(x,4)/若向量»则”2.

13、平面向量。，b共线的充要条件是④

①.a,沙方向相同②.a,b两向量中至少有一个为零向

里

③.SeR,b=Xa@.存在不全为零的实数九,九，"S

1212

14、在平面直角坐标系中,菱形O4BC的两个顶点为0(0,0),A(l,l),且

OAOC=r,贝•1

15、在直角三角形ABC中，zA=90°,AB=1,则初.沅的值是.一1

、设向量的夹角为。则向。二。

16a,b,a=(2,l)/a+3b=(5,4),

V10

10

17、已知〃=(cos2a,sina),J=(1,2sina-l),ae(三，兀)，若鼠坂=2,则tan(a+土)的

254

联.J.

7

18、已知a与b均为单位向量，它们的夹角为60°,那么|a+3b|

等于.JB

19、在AABC所在的平面上有一点P，满足PA+P8+PC=A5，则APBC

与AABC的面积之比是一.

20、已知4（3⑼，O是原点，点P（x,y）的坐标满足产丁<°，则（1）

7^x-V3y+2<0

y>0

苏.而的最大值为；（2）..而的取值范围为./；[-3,3]

\OA.\\OP\

21、已知点。在^ABC内部且有砺+2仍+4g=0,贝必。AB与^OBC

的面积之比为4:1

22、在AABC中，角A、B、C的对边分别为。力,c,已知向量

3A.34（3八分且满足W+〃|W（1戌角A的大小（D）

若。+c=P，试判断SABC的形状。

（1）A=-----------7分（2）A4就为直角三角形o------------------14

3

分

23a=（siny7）（l,cos

、已知向量。,11,力=。）⑴若小〃,求°⑪）

求a+m的最大值.

解：(I)因为a_L6,所以sin。+/cos9=0得tan9=（用辅助角

得到sin（0+?=0同样给分）所以

又06一釜）

0=-1......1…二.....................（7分）

3

(H)兀、

因为\a+hh=(sin6+1)2+(cos0=5+4sin(0+3)

所以当。二工时，la+/?|2的最大值为5+4=9故la+bl的最大

6

值为3

24、已知向量〃=(cosx,sinx),5=，右_各_8，J日--L71t一71

—<X<—

-542

（1）试求出—予和7T的值；（II）求sin2x（1+tanx)的值。

tan(x--)

1-tanx

解解I)-78-.8即

'；a，b=一v2cosx4-V2sinx=-