新教材苏教版高中数学选择性必修第二册 练习 05 空间直角坐标系及空间点的坐标表示

05空间直角坐标系及空间点的坐标表示

目录

☆【题型一】正方体、长方体中利用相互垂直的三条棱建立坐标系.....................................ɪ

☆【题型二】正棱柱中作辅助线建立坐标系.........................................................3

☆【题型三】正棱锥中作辅助线建立坐标系.........................................................4

☆【题型四】棱柱中通过利用共顶点的相互垂直的三条棱建立坐标系..................................6

☆【题型五】棱锥中通过利用共顶点的相互垂直的三条棱建立坐标系..................................7

☆【题型六】利用线面垂直作辅助线找到互相垂直的三条直线建立坐标系...............................8

☆【题型七】利用面面垂直作辅助线找到互相垂直的三条直线建立坐标系..............................13

☆【题型八】利用几何体底面的中心与高所在的直线垂直关系........................................15

☆【题型一】正方体、长方体中利用相互垂直的三条棱建立坐标系

【例题】已知正方体∕8CΣ>-45ιGO∣的棱长为2,E,尸分别为棱83C的中点，如图所示建立空间直角

坐标系.

(1)写出各顶点的坐标；

-►->->

(2)写出向量EF,8尸，4E的坐标.

【详解】⑴由题图知Z(2,0,0),5(2,2,0),C(0,2,0),Z)(0,0,0),

4(2,0,2),BiQ,2,2),C,(0,2,2),Z)∣(0,0,2),

(2)因为E,尸分别为棱BBi,OC的中点，

由中点坐标公式，得E(2,2,1),F(O,1,0).

-->--►--►

所以E尸=(-2,-1,-1),5∣F=(-2,-1,-2),ZIE=(O,2,-1).

【变式训练】

1.在长方体/8CD一4冏GOi中，AB=BC=2,44∣=2√L建立适当的空间直角坐标系并确定点小，Ci,

B,。的坐标.

【详解】以/为坐标原点，AB,AD,4小所在直线分别为X,y,Z轴建立空间直角坐标系.

如图建系，则出(0,0,2√2),Cl(2,2,2√2),BQ,0,0),D(0,2,0),

1——1--1——

2.如图，在长方体OZBC-。'48'C'中，OZ=3,OC=4,OU=2,以150/,700,300?为单

位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系。-盯z.

(1)写出。¢,C,A',6'四点的坐标；

(2)写出向量才才，^BrB-ArC'>/的坐标.

【详解】(1)点。,在2轴上，且OQ'=2,所以点Z)«的坐标是(0,0,2).

同理，点C的坐标是(0,4,0).点4在X轴，y轴，Z轴上的射影分别为4O,DM

它们在坐标轴上的坐标分别为3,0,2,所以点7的坐标是(3,0,2).

点8'在X轴，y轴，z轴上的射影分别为4C,Dt,

它们在坐标轴上的坐标分别为3,4,2,所以点8'的坐标是(3,4,2).

(2)=1=(0,4,0)；而=一砺=(0,0,-2);

正=而+和=(-3,0,0)+(0,4,0)=(-3,4,0)；

^σ=^o+δc+cσ=(-3,o,o)+(o,4,o)+(o,o,2)=(-3,4,2).

3.正方体D4BC-D'A'B'C的棱长为α,E,F,G,H,I,J分别是棱C'D',D'A',A1A,AB,

BC,CC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，写出正六边形EFG4〃各顶点的坐标.

【详解】正方体DZ8C—D'A1B'C的棱长为α,

且E,F,G,H,I,J分别是棱C'D',D'A',A'A,AB,BC,CC'的中点,

.∙.正六边形E尸G”"各顶点的坐标为jo,1α］怎0,g,0,*

3?°),4①q,a*3

☆【题型二】正棱柱中作辅助线建立坐标系

【例题】在正三棱柱N8C一小8C1中，已知AXBC的边长为1,三棱柱的高为2,请建立适当空间直角坐标

系，并求各个点的坐标.

【详解】分别取8C,SG的中点D,Di,

以。为原点，分别以虎，DA,方方的方向为X轴、y轴、Z轴的正方向建立空间直角坐标系，

如图所示，D(0,0,0),^(θ,ɪ,θ),6(,0,0),C(∣,0,0),Z)(0,0,0),

4(0,2),β,(-∣,0,2),e,(ɪ0,2),2(0,0,2).

【变式训练】

1.已知正三棱柱N5C-48Q,底面边长/8=2,点。，O∣分别是边/C,4G的中点，AB∖=2,

请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标.

【详解】如图建立空间直角坐标系,

由题意得Z(O,-1,0),β(√3,0,0),C(0,1,0),51(√3,0,2),C,(0,1,2),

☆【题型三】正棱锥中作辅助线建立坐标系

【例题】如图，在正四棱锥尸-48CD中，底面488是边长为1的正方形，。是ZC与8。的交点，PO=I,

〃是尸C的中点.请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标.

【详解】(方法1)以点A为原点，AB,AD分别为x,y轴,

过点A作底面的垂线为Z轴建立空间直角坐标系，

则/(0,0,0),B(l,0,0),D(0,1,0),C(l,l,0),

(方法2)以点O为原点，OA,OB,OP分别为X,y,z轴建立空间直角坐标系,

则Zp^,O,O),5(θ,-ɪ,θ),D(O,--^-,O),e(--ɪ,o,θ),

O(O,O,O),P(O,O,1),M(∣,∣ɪ).

【变式训练】

1.设正四棱锥S一尸砂2尸3尸4的所有棱长均为2,建立适当的空间直角坐标系，求各个顶点的坐标.

【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，其中。为底面正方形的中心，

PlP2∙LQy轴，PiALOx轴，So在OZ轴上.

•：P[Pz=2,且尸I,P2,尸3,2均在XQy平面上,

.∙.P1(1,1,O),p2(-1,1,0).

在XQy平面内，尸3与Pl关于原点。对称，尸4与P2关于原点。对称,

.∙.R(-1,-1,0),P4(∣,-1,0).

又SP∖=2,0P↑=∖∣2,

二在RtZ∖SOP∣中，So=此ΛS(O,O,√2).

2.已知正四棱锥尸一/88的底面边长为α,侧棱长为/,试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐

标.

【详解】设正四棱锥底面中心为点。，因为点尸在平面月5CD上的射影为O,

所以以O为坐标原点，以O/,OB,OP所在的直线分别为X轴，y轴，Z轴，建立空间直角坐标系.

贝IJON=省

a,PA=PB=PC=PD=I,所以尸O=

2

故各顶点坐标依次为

[争，°'°],J°f~

3.已知在正四面体A8CZ)中，E为棱ND的中点，AB=I,请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐

【详解】作NOL平面BCD于点。，则。是XBCD的中心，

以0为坐标原点，直线为y轴，直线0/为Z轴建立空间直角坐标系，

如图所示,则o(o,o,o),加。用。-事iM*用,』

☆【题型四】棱柱中通过利用共顶点的相互垂直的三条棱建立坐标系

【例题】如图，在直三棱柱ZBC-48∣Cl的底面ANBC中，C/=CB=I,/80=90。，棱AAi=2,M,N

—>>—A

分别为48∣,/M的中点，试建立恰当的坐标系求向量BN,BAl,48的坐标.

【详解】由题意知CC↑1AC,CC↑±BC,AC±BC,以点C为原点，

分别以CA,CB,CCi的方向为X轴，y轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系C-XyZ,

如图所示.5(0,1,0),/(1,O,0),4(1,O,2),N(l,O,1),

Λ57V=(1,-1,1),Λ4∣=(l,-1,2),Λ^β=(-1,1,-2).

【变式训练】

1.如图，己知直四棱柱ABCD-AlBICl%中=2,底面ABCD是直角梯形为直角,4B〃CD,AB=4,

AD=2,DC=I,请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标.

✓

------------------

【详解】如图，以D为坐标原点，分别以DA,DC,DDl所在直线为x、y、Z轴建立空间直角坐标系.

则。(0,0,0),4(2,0,0),5(2,4,0),C(0,l,0),4(2,0,2),5,(2,4,2),C1(0,1,2),D1(0,0,2).

☆【题型五】棱锥中通过利用共顶点的相互垂直的三条棱建立坐标系

【例题】如图，四棱锥PdBCO中，RI，平面∕8CO,PB与底面所成的角为45。，底面/88为直角梯形,

NABC=/8/0=90。，RI=BC=LlZ)=1.请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标.

2

【详解】分别以48,4),4尸为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图,

则P(0,0,1),C(l,1,0),。(0,2,0),A((),0,0),B(l,0,0)

【变式训练】

1.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD,PD=DC1E是PC

的中点，试建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标.

【详解】分别以48,4),NP为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图，

则4(2,0,0),8(2,2,0),C(0,2,0),Z)(0,0,0),P(0,0,2),£(0,1,1).

2.如图，已知四棱锥PdBC。的底面是菱形，对角线/C,8。交于点O,04=4,OB=3,OP=4,且OPL

平面488,点M为Pe的三等分点(靠近P),建立适当的空间直角坐标系并求各点的坐标.

【详解】以。为坐标原点，OB,OC,。尸所在直线分别为X,y,Z轴建立空间直角坐标系,

4Q

则尸(0,0,4),8(3,O,0),C(0,4,0),/(0,-4,0),。(一3,0,0),Λ∕(01；，；)

☆【题型六】利用线面垂直作辅助线找到互相垂直的三条直线建立坐标系

【例题】如图，在等腰梯形/8。中，AB//CD,AD=DC=CB=I,N/8C=60。，CF，平面48C0,且

CF=1,建立适当的空间直角坐标系并确定点48CO,F的坐标.

【详解】(方法1：以8C为y轴)

连接NC,由题意可知N4OC=120。，

在△/£>C中，AC1=AD2JΓDC2-2ADDCcosZADC=3,

ΛJC=√3.

由∕C=√5,BC=∖,ΛABC=60°,可得N8=2,ZACB=90°,

：.ACLBC,∙.∙CF,平面48C0,：.CF±AC,CFLBC,

以C为坐标原点，CA,CB,C/所在直线分别为X,夕，Z轴建立空间直角坐标系.

则C(0,0,0),B(0,1,0),A(®0,0),D(?,-∣,0),F(0,0,1).

(方法2：以CA为X轴)

过C作/8的垂线Cw交/8于M,

∖"CFABCD,：.CF±CD,CFLCM,

以C为坐标原点，CD,CM,CF所在直线分别为X,y,Z轴建立空间直角坐标系.

计算可得CM=*,48=2,

2

;./(|，¥，0),fi(-ɪ,0),C(0,0,0),0(1,0,0),F(0,0,1).

【变式训练】

1.如图，在四棱锥尸一NBCO中，底面/8CD为矩形，点E在棱4)上，且Z)E=24E,PE_L底面N8CZ),

BC=2®AB=PE=2.建立适当的空间直角坐标系并求点P,C,。的坐标.

【详解】过F作尸G〃/5E,则FG，平面/8CO,可得/G_LBEFGLFC,

以尸为原点丽，FC,FG的方向分别为X轴、夕轴、Z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,

2.如图所示，ZXN8C是一个正三角形，ECLL平面∕8C,8O"CE,且CE=CZ=28O=2,M为ZE的中点.

请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标.

【详解】建立如图所示的空间直角坐标系C-孙z.

QO,0,0),ZM,1,0),δ(0,2,0),Λ(0,0,2),D(0,2,1),Mq,；』).

3.如图，四棱锥P-/8CD中，PAL^ABCD,PA=BC=CD=I,AC=4,ZACB=ZACD=-,FPC

3

的中点.请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标.

【详解】如图，连接8。交4C于O,因为8C=CD即45C。为等腰三角形,

又/C平分/8CO,故NULBD以。为坐标原点,

--►--►--►

分别以08,OC,NP为正交基底建立空间直角坐标系0-xy∑.

因为OC=Cf)CoS-=1,AC=4,所以ZO="C-OC=3,

3

又OB=OD=CDSin-=√3,

3

故4(0,-3,0),B(y∣3,0,0),C(0,I,0),0(-√3,0,0),P(0,-3,2)zF(0,-1,1)β

4.如图，四棱锥尸XBCO中，刃，底面/8。，ND〃8C,∕8=NO=ZC=3,H=8C=4,M为线段49

上一点，4W=2Λ∕O,N为尸C的中点.请建立适当空间宜角坐标系，并求各个点的坐标

【详解】以N为坐标原点，晶的方向为X轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系AxJZ

,1,2)

由题意知P(0,0,4),M(0,2,0),C(√5,2,0),

^(0,0,0),D(0,3,0),5(√5,-l,0)

5.如图，四面体/8C。中，A48C是正三角形，Z∖Z8是直角三角形，ZABD=ZCBD,AB=BD=I.IfB

立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标.

D

E

【详解】由题设知，。4。8,。。两两垂直，以。为坐标原点，丽的方向为X轴正方向,

建立如图所示的空间直角坐标系。一孙Z,则41,0,0),8(0,G,O),C(T,0,0),0(0,0,1).

如图，在三棱柱中，侧面为棱上异于的一点，已知

6.4BC-4ι4CιAB_1_BBICIC,ECClC,gEA1EB1.

AB=y[2,BBi=2,BC=I,NBCCl=会请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标.

【详解】AB4则面BBICIC而BC与BBl不垂直，

原图没三条两两垂直直线，此时在平面上过点作垂直的直线，

BB1C1CB

便得三线两两垂直，

BD1BB11BA

如图，以B为原点，分别以80,BBi,84所所在直线为小y、Z轴建立空间直角坐标系.

则起)，

4(0,0,5(0,0,0),C(ɔy,-pO),4(0,2,√Σ),51(0,2,0),C1(y^,∣,0),

☆【题型七】利用面面垂直作辅助线找到互相垂直的三条直线建立坐标系

【例题】如图，四边形/8C。和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，M,E,F分别为P。，AB,

8C的中点，建立适当的空间直角坐标系并求点2,E,M,尸的坐标.

【详解】由题设易知，AB,AD,/0两两垂直.

以N为原点，AB,AD,40所在直线分别为X轴、y轴、Z轴，建立空间直角坐标系,

设正方形边长为2,则/(0,0,0),E(l,0,0),M(0,1,2),FQ,1,0),

1.如图所示，正三棱柱/8C-小历Cl的所有棱长都为2为CG的中点.请建立适当空间直角坐标系，并

求各个点的坐标.

【详解】如图所示，取8。的中点。，连接NO.因为4∕I8C为正三角形，所以/0_L8C

因为在正三棱柱N8Cd∣8ιG中，平面NBC，平面BCGBi,

所以/OL平面BCC防取BQ的中点O∣,

以。为原点，以的,<9Ol,分别为X轴一轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系,

则8(1,0,0),-1,1,0),4(0,2,3),/(0,0,他)，5l(l,2,0),C(-l,0,0),C,(-l,2,0).

2.如图，在三棱柱048-。“山I中，平面088ι0∣_L平面OAB,NoQ8=60。，NAOB=90°,S.0B=OOi

=2,0A=y∣3,请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标.

【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则0(0,0,0),。(0,1,√3),A(y∣3,0,0),4(3,ɪ,√3),

5(0,2,0),Bl(0,3,√3).

3.如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是边长为2