高三数学新高考一轮复习 充分条件与必要条件

1.2充分条件与必要条件

课标要求考情分析核心素养

1.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义；新高考3年考题题号考点

2.能够运用“n,u”对“若p,则q”形式的命充要条件探数学抽象

题进行合理推断，判断充分、必要条件及充要究，与椭圆离数学运算

2021(II)卷20

条件.心率有关的逻辑推理

参数问题

1.充分条件、必要条件、充要条件

充分、必要条件：A={x|p(x)},B={x|q(x))集合关系

若p=>q,则p是q的充分条件，q是p的必要条件AQB

p是q的充分不必要条件p=q且q#pA^B

p是q的必要不充分条件p#q且q=>pB^A

p是q的充要条件poqA=B

p是q的既不充分也不必要条件p/q且q#p且

1.对于命题“若p，则q”的条件和结论，我们都视为条件，只看推岀符号“=”的方向.

2.若p=q,则p是q的充分条件.充分性就是说条件是充分的，条件是充足的，足够的，条件p是足以保证结

论q成立的.“有之必成立，无之未必不成立”.

3.若qnp,则p是q的必要条件.所谓必要性，就是缺其不可，即如果没有p,也就没有q.

4.如果''若p,则q”为假命题，那么由p推不岀q,记作p#q.此时，我们就说p不是q的充分条件，等价

于q不是p的必要条件.

5.证明“充要条件”应分为两个环节，一是充分性，二是必要性，应该进行一方面充分性由条件到结论，另一方

面由结论到条件的两次证明，证明时要分清哪个是条件，哪个是结论.

1.[P19T2]"sEa>0”是“a是第一象限角”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

考点一充分条件、必要条件的判断

【方法储备】

充分条件、必要条件的判定方法：

【典例精讲】

例1.（2021•辽宁省沈阳市模拟.多选）对任意实数a、b、c,给出下列命题，其中假命题是（）

A.“a=b”是"ac=bc”的充要条件

B.ua>bn是％2>房”的充分条件

C."a<5”是“a<3”的必要条件

D.“a+5是无理数”是“a是无理数”的充分不必要条件

【名师点睛】

解决充分、必要、充要条件的判定问题，主要是运用充分条件、必要条件的概念进行判断.

【靶向训练】

练11（2022•江西省宜春市期末）设4、B是两个集合，则“4nB=A”是“4UB”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

练12（2021•温州市模拟）设a,b€R,则“a>“'是"a冋〉匕网”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件

[|考点二充分条件、必要条件的应用

【方法储备】

1.充分条件、必要条件的应用一般表现在参数问题的求解上,解题时需注意：

2.探求某结论成立的充分、必要条件解题策略：

角度1结合充分、必要条件求参数的取值范围

【典例精讲】

例2.（2022•湖南省名校联考）若“好+3x-4<0”是“好一（37n+3口+2徵2+3m>0"的充分不必要条件,

则实数m的取值范围是（）

A.m<—4或?n2IB.m<-4或zn>—3C.m<—1或m24D.m<—3或m24

【名师点睛】

解决已知充分、必要条件，求参数取值范围的问题，通常把充分、必要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合

之间的关系列岀关于参数的不等式（或不等式组）求解，解题过程中要注意检验区间端点值。

【靶向训练】

练21（2022。山东省济宁市期中）已知P={x|a-4<x<a+4},Q={x|l<x<3},ax&P"是“x6Q”的必

要条件，则实数a的取值范围是.

练22（2022•河北省月考）已知P={X|X2-8X-20<0},非空集合5={x|l-m4%W1+m}.若“%€尸”是“x€S”

的必要条件，则m的取值范围为.

角度2探求某结论成立的充分、必要条件

【典例精讲】

例3.（2022•重庆市联考）已知a>0且a于1,则函数f（x）="-/为奇函数的一个充分不必要条件是（）

A.b<0B.h>-lC.b=-lD.b=+1

【名师点睛】

依据函数奇偶性的定义对充分、必要条件进行判定.

【靶向训练】

练23（2022•广东省模拟.多选）“2d一3x—2<0”的一个充分不必要条件可以是（）

1<X<1

A.%>-1B,0<x<1C.-22D.X<2

练24（2022•广东省模拟.多选）函数/0）=3。%2-9+2口+2亿》单调递增的必要不充分条件有（）

A.a>2B.a=2C.a>1D.a>2

核心素养系列逻辑推理一一充要条件探究

【方法储备】

探究充要条件的关键在于问题转化的等价性，解题时要考虑条件包含的各种情况，保证条件的充分性和必要性。

求（证）充要条件的两种方法：

【典例精讲】

例4.（2021•新高考二卷）已知椭圆C的方程为5+，=l（a>b>0）,右焦点为尸（夜,0）,且离心率为当.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设M,N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线%2+y2=/（%>0）相切.证明：“，此F三点共线的充

要条件是|MN|=V3.

【名师点睛】

本题考查了直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重.

(1)由离心率公式可得a=百，进而可得〃，即可得解；

(2)必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证|MN|=百；

充分性：设直线MN:y=kx+b,(kb<0),由直线与圆相切得〃=卜2+1,联立直线与椭圆方程结合弦长公式可

得的二中•叵J=遅，进而可得九=±1，即可得解.

【靶向训练】

练31(2021•江苏省徐州市模拟)设非空集合A=(x\-2<x<a],B={y\y=2x+3,xeA),

C=(z\z=x2,xGA],求使CaB成立的充要条件.

练32(2021•湖北省联考)己知函数/(x)=sin(cox+w)0>0,|<p|<])的部分图象如图所示.

(1)求/(x)的解析式.

(2)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的m(m>1)倍(纵坐标不变)，得到函数丫=g(x)的图象,

证明：硬0)在(0吟)上有最大值的充要条件是1<小<8.

)

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

易错点2.忽视端点值的取舍

例6.(2021•河南省月考)已知全集U=R,m>0,集合。={泪*2-—一12<0},B={x\\x-3|<m}.

(1)当m=2时，求an(CuB)；

(2)p：xEA,q：xEB,若p是q的充分条件，求实数m的取值范围.

答案解析

【教材改编】

1.【解析】由sina>0,可得a是第一或第二象限角及终边在y轴正半轴上：

若a是第一象限角，则sina>0,所以“sina>0”是“a是第一象限角”的必要不充分条件.故选B.

【考点探究】

例1.【解析】因为"a=b”能推出“ac=bc"，当c=0时，"ac=be”不能推出“a=b”，

所以“a=b”是"ac=bc”的充分不必要条件，故｛为假命题;

因为“a>b”不能推出“a2>b2"，"a2>b2”不能推出“a>b”,

所以“a>b”是“a?>b2n的既不充分也不必要条件，故8为假命题；

因为{a|a<3}内{a|a<5},所以“a<5”是“a<3”的必要条件，故C为真命题;

因为“a+5是无理数”能推出“a是无理数”，“a是无理数”能推出“a+5是无理数”，

所以“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件，故〃为假命题.

故选：ABD.

练11.【解析】4、B是两个集合，则“4nB=4”可得“4UB”，

UAcB",可得"4nB=4”.

所以'"nB=4”是“AUB”的充要条件.

故选：C.

练12.【解析】若a>b,

①a>b>0,不等式a|a|>b|b|等价为a-a>b-b,此时成立；

@0>a>b,不等式a|a|>b|b|等价为-a-a>—b-瓦即a?<b2,此时成立；

③a>0>b,不等式a|a|>b|b|等价为a-a>—b-b,即a?>-b2,此时成立,

即充分性成立；

若a|a|>b\b\,

①当a>0,b>0时,a\a\>去掉绝对值得,(a-b)(a+b)>0,因为a+b>0,所以a-b>0,即a>b；

②当a>0,b<0时，a>b；

③当a<0,b<0时,a|a|>b|b|去掉绝对值得,(a—b)(a+b)<0,因为a+b<0,所以a-b>0,即a>b,

即必要性成立.

综上“a>b”是“a|a|>b网”的充要条件，

故选C.

例2.【解析】设集合力={久优？+3x—4<0},集合B={x|/—(3m+3)x+2m2+36>0},

由题意得A^B.

由％2+3万一4<0,得一4<x<l,则力={x|-4<x<1},

由广—(3m+3)x+2m2+3m>0,得(x—m)(x—2m—3)>0,

当m<—3时，2m+3<m,所以x<2m+3或x>m,

则B=(x\x<2m+3或%>m},

因为4呈B,所以m<-4.

当m=—3时，2m4-3=m,所以x。一3,不满足条件.

当m>—3时，2nl+3>犯所以xVm或％,2m+3,

则B={x\xVm或x>2m+3],因为A^Bf所以m>1.

综上所述：实数m的取值范围是血4-4或mZ1.

故选：A.

练21.【解析】vP={x\a-4<x<a4-4},Q={x|lVxV3},xWP是xEQ的必要条件，

x6Qnx6P,即QUP=1：，EE51，解得一1WaS5..•.实数a的取值范围为[-1,5].

故答案为[—1,5].

练22.【解析】由%2—8%—20式0,得-2WXWIO,P={X|-2<XW10},

1—m<14-m

由xep是xes的必要条件，知SUP,贝小1-mN-2,0<m<3,

.1+m<10

.•.当0WmS3时，x6P是xeS的必要条件，即m的取值范围是[0,3].

故答案为：[0,3].

例3.【解析】函数f(x)=9—掲为奇函数，则/(x)+f(—x)=O,

f(x)+-_%)=9_/+?一吉=>/+告_b.ax=4i)(ax+/)=o,

即(3-6)=0,解得b=±1,

当b=±1时，f(-x)=[一3==一ba*=5•刍一屍=匀_/=_/(%),

baxbcraxbaxb丿、/

即/(X)=号一最为奇函数的充分必要条件是6=1或b=-1,

b<0是b=±1的非充分非必要条件;b>-1是b=±1的非充分非必要条件;b=-1是b=±1的充分不必要条

件；

则函数/(%)=》提为奇函数的一个充分不必要条件是匕=-1,

故选C

练23.【解析】2x2-3x—2<0,所以—<x<2.

设M=(一表2),选项对应的集合为N,

因为选项是“2x2—3%-2<0”的一个充分不必要条件,

所以N是M的真子集.

故选闱

练24.【解析】由函数/(x)=2a%2-((1+2)%+2伍乂在(0,+8)上单调递增，

可得/''(>)=ax-(a+2)+|=a/-(a：2)x+2丄。在(0,+8)上恒成立，

即ax2-(a+2)x+2>0在(0,+8)上恒成立，

当。=0时，一2%+220=%41,不满足题意；

当Q<0时,ax2一(a+2)%4-2=a—1)>0,

又:<o,即［一ga—1)w0=久w1,不满足题意；

当a>0时,a/—(a+2)x+2=a(x—：)(x—1)20,

又:>0,ax2-(a+2)x+2>0在(0,+8)上恒成立，

则A=(a+2/-8a=(a-2/40na=2,

综上，函数/(x)=1ax2-(a+2)x4-2lnx单调递增的充要条件是a=2.

则函数/(x)=1ax2-(a+2)x+2lnx单调递增的必要不充分条件,a>2,a>1都可以,

故选：AC.

【素养提升】

例4.【解析】(1)解：由题意，椭圆半焦距c=&且e=£=在，所以a=百，

a3

.2

又62=。2一©2=1,所以椭圆方程为^■+y2=1；

(2)证明：由(1)得，曲线为%2+y2=IQ>0),

当直线MN的斜率不存在时，直线MN:x=l,不满足M,N,尸三点共线；

当直线MN的斜率存在时，设M(Xi，yi),N(M，y2)，

必要性：

若“，N,尸三点共线，可设直线MMy=k(x—亜)即kx—y—&/c=0，

由直线MN与曲线/+y2=IQ>0)相切可得峥L=i,解得A=±1,

y=±(x-V2)

联立•2可得4/—6A/^X+3=0，△>0.

yx+y2=i

所以X1+x2=等的,久2=3，

2—

所以|MN\—V1+1--7(X1+x2)1%2=V3，

所以必要性成立;

充分性:

设直线MN:y=kx+b,(kb<0)即kx—y+b=0,

由直线MN与曲线x2+y2=i(x>o)相切可得烏=1,所以扶=/+i,

y=kx+b

联立x2,可得(1+3卜2)%2+6以)％+362-3=0,4=12(3/£2-/)2+=24k2>0,

T+y=1

6kb3b2-3

所以+x2=一五新""2=五新

2222

所以|MN|=Vl+/c-V(X1+%2)-4%1-X2=Vl+fcJ(-y^p-)-4-1^

=加倭V3.

化简得3(fc2—l)2=0,所以k=±1,

所以]fc=-l

h=V2

所以直线MN:y=x—&或y=—%+V2,

所以直线MN过点F(&,0),M,N,F三点共线，充分性成立；

所以M,N,尸三点共线的充要条件是|MN|=V^.

练31.【解析】B={y\y=2%4-3,xE4}={y|-1<y<2a4-3].

(1)当一2Wa<0时，C=(z\z=x2,xEA]={z|a2<z<4].

由CUB,得产+322^ae0.

(2)当0Wa。2时,C-{z\z=x2,x£4}={z|0<z<4}.

由CUB,得案+兽2，制-2.

(3)当a>2时，