江苏省滨海县2023-2024学年高二数学第一学期期末经典模拟试题含解析

江苏省滨海县2023-2024学年高二数学第一学期期末经典模拟试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若抛物线3=8y上一点尸到焦点的距离为9,则点尸的纵坐标为。

A.±4A/3B.±6

C.6D.7

2.已知命题P：△ABC中，若sinA=4，则人=/；命题公函数/（x）=sinx+二一，xe-^,0则/（无）

26sinxL2>

的最大值为-3.则下列命题是真命题的是（）

A.Jp）八qB.PM

C.pv（->q）D.（w）A（-

3.已知等比数列｛%｝满足%=3,则为=。

A.-243B.27

C.81D.243

4.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）

A.“至少有1个白球”和“都是红球”

B.“至少有2个白球”和“至多有1个红球”

C.“恰有1个白球”和“恰有2个白球”

D.“至多有1个白球”和“都是红球”

5.在棱长为1的正方体ABC。-A4GR中，"是线段4a上一个动点，则下列结论正确的有（）

D\___________C\

A.不存在M点使得异面直线BM与AC所成角为90°

B.存在M点使得异面直线BM与AC所成角为45°

C.存在M点使得二面角M-BD-C的平面角为45°

9

D.当44M=AC时，平面截正方体所得的截面面积为3

O

6.现要完成下列两项调查：①从某社区70户高收入家庭、335户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调

查社会购买能力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况.这两项调查宜采用的抽样

方法是()

A①简单随机抽样，②分层抽样B.①分层抽样，②简单随机抽样

C.①②都用简单随机抽样D.①②都用分层抽样

7.设一ABC的内角A,5c的对边分别为“力,。,445。的面积S=(6+〃—c2)sin2C,则cosC=()

A.+也B.正

一44

,11

C.i—D.—

44

8.已知集合4={—2,—1,0，1,2},3={x[(x—l)(x+2)<0},则AB=()

A.{-1,0}B.{0,l}

C.{-1,0,1}D.{0,l,2)

9.已知点A为双曲线=i的左顶点，点3和点。在双曲线的右分支上，AABC是等边三角形，则AABC的面

积是

AV3R3有

32

C.373D.60

10.已知数列{/}满足4+2=a“+i+a”("eN*),且4=1,4=1，则4=()

A.2B.3

C.5D.8

11.若直线尤—3y+l=0与％+砂—3=0互相垂直，则实数。的值为()

1

A.-3B.—

3

1

c.一D.3

3

12.已知等比数列｛a“｝的首项为1,公比为2,则+……+。；=（）

A.（2n-1）2B.|（2n-1）

C.4"—1D.1（4,!-1）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.直线/过抛物线丁=2彳的焦点F,且/与该抛物线交于不同的两点4（%,%）,B（x2,y2）.若占+%=3,则弦

AB的长是

14.已知随机变量X服从正态分布N（〃,cr2）,若。（X>O）+P（X»5）=1,则〃=

15.某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此

样本中男生人数为.

16.已知曲线。：/+/=2+国y，则以下结论正确的是.①曲线C关于点（0,0）对称；②曲线C关于y轴对

称；③曲线C被x轴所截得的弦长为2；④曲线C上的点到原点距离都不超过2.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知直线/：2机x—y—8机一3=0和圆C：x2+j2—6x+12j+20=0.

（1）7"dR时，证明/与C总相交；

（2）机取何值时，/被C截得的弦长最短？求此弦长

18.（12分）已知函数/（x）=ax-2sinx-a.

（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0,/（0））处的切线方程；

（2）若xe（0,%）,且。>0,讨论函数g（x）=V+/（幻-仪的零点个数.

19.（12分）随着生活条件的改善，人们健身意识的增强，健身器械比较畅销，某商家为了解某种健身器械如何定价

可以获得最大利润，现对这种健身器械进行试销售.统计后得到其单价x（单位：百元）与销量y（单位：个）的相关

数据如下表：

单价X（百元/个）3035404550

日销售量y（个）1401301109080

（1）已知销量y与单价x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；

（2）若每个健身器械的成本为25百元，试销售结束后，请利用（1）中所求的线性回归方程确定单价为多少百元时,

销售利润最大？（结果保留到整数），

附：对于一组数据（%,%）,（与％）「，（%，%），其回归直线亍=%+6的斜率和截距的最小二乘估计分别为

及__

^x^-nxy55

g=号----------工=了—成.参考数据：X%%=21200,=8250.

i=l

20.（12分）已知抛物线。的顶点在原点，焦点在工轴上，且抛物线上有一点P（4,加）到焦点R的距离为&

（1）求抛物线。的方程；

（2）若不过原点。的直线/与抛物线。交于A、B两点,且Q4LO3,求证：直线/过定点并求出定点坐标.

21.（12分）已知数列｛为｝的前"项和为S"，若S”=2a”-1.

（1）求｛。”｝的通项公式；

⑵设2=210g2an-Sn,求数列｛bn｝的前n项和Tn.

22.（10分）设等差数列｛4｝的各项均为整数，且满足对任意正整数"，总存在正整数加，使得％+出++%=am,

则称这样的数列｛4｝具有性质P

（1）若数列｛4｝的通项公式为=2"，数列｛4｝是否具有性质P?并说明理由；

（2）若4=3,求出具有性质尸的数列｛4｝公差的所有可能值；

（3）对于给定的由,具有性质P的数列｛4｝是有限个，还是可以无穷多个？（直接写出结论）

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1,D

【解析】设出尸的纵坐标，利用抛物线的定义列出方程，求出答案.

【详解】由题意得：抛物线准线方程为丫=-2,尸点到抛物线的焦点的距离等于到准线的距离，设P点纵坐标为为,

则为+2=9,解得：％=7.

故选：D

2、A

【解析】由三角形内角及正弦函数的性质判断。、「，的真假，应用换元法令，=sinx,结合对勾函数的性质确定

2

/a)=g«)=%+7的值域即知《、「9的真假，根据各选项复合命题判断真假即可.

【详解】由sinA=—1且0<A<»,可得人=72T或4=5'11，故?为假命题，为真命题；

266

TIA2

令/=sinx,又x£--,0I,贝故f(x)=g(f)=f+—,

•••g⑺在te[—1,0)上递减，

f(x)=gQ)e(-<x),-3],故/(x)的最大值为-3.

q为真命题，为假命题；

；.(T>)A,q为真,。八4为假，pv(-1q)为假，(->p)A(-)q)为假.

故选：A.

3、D

【解析】由已知条件求出公比4的平方，然后利用/=%/即可求解.

【详解】解：设等比数列｛4｝的公比为4,

因为等比数列｛a,J满足%=；，%=3,

/=经=a=9

所以4一%一』—，

3

所以为==3x9，=243,

故选：D.

4、C

【解析】结合互斥事件与对立事件的概念，对选项逐个分析可选出答案.

【详解】对于选项A,“至少有1个白球”和“都是红球”是对立事件，不符合题意；

对于选项B,“至少有2个白球”表示取出2个球都是白色的，而“至多有1个红球”表示取出的球1个红球1个白球，或者2

个都是白球，二者不是互斥事件，不符合题意；

对于选项C,“恰有1个白球”表示取出2个球1个红球1个白球，与“恰有2个白球”是互斥而不对立的两个事件,符合题

意；

对于选项D,“至多有1个白球”表示取出的2个球1个红球1个白球，或者2个都是红球，与“都是红球”不是互斥事件，不

符合题意.

故选C.

【点睛】本题考查了互斥事件和对立事件的定义的运用，考查了学生对知识的理解和掌握，属于基础题.

5、D

【解析】由正方体的性质可将异面直线与AC所成的角可转化为直线与AG所成角，而当河为4G的中点

时，可得可判断A；"与A或G重合时，直线与AC所成的角最小可判断B；当M与G重合时，

二面角5£>-C的平面角最小，通过计算可判断C；过加作即〃2与，交AB]于F,交42于E点，由题意

可得四边形EKBD即为平面截正方体所得的截面，且四边形EKBD是等腰梯形，然后利用已知数据计算即可

判断D.

【详解】异面直线BM与AC所成的角可转化为直线与AG所成角，

当"为4G中点时，BM1,此时与AC所成的角为90。，所以A错误；

当“与4或C重合时，直线与AC所成角最小，为60。，所以B错误；

当M与G重合时，二面角M—5£>—C的平面角最小，tan/GOC=a>1，所以所以c错误;

对于D,过M作EF//RB],交4用于R,交4。于E点，因为44M=AG，所以E、R分别是A。、A用的

中点，又BRHBD,所以EF//DB,四边形EKBD即为平面截正方体所得的截面，因为所=，2耳=交,

22

且BF=DE=dBB；+B/2=乎,所以四边形EKB£>是等腰梯形，作尸G，Z）3交于G点，所以

BG=g（BD—EF）=%FG=NFB?-BG2=乎,所以梯形的面积为J（3。+故）*入7=：,所以D正确.

【解析】通过简单随机抽样和分层抽样的定义辨析得到选项

【详解】在①中，由于购买能力与收入有关，应该采用分层抽样；在②中，由于个体没有明显差别，而且数目较少,

应该采用简单随机抽样

故选：B

7、A

【解析】利用三角形面积公式、二倍角正弦公式有ga加inC=2（a2+b2—c2WnCcosC,再由三角形内角的性质及

余弦定理化简求cosC即可.

【详解】由5=工。加也。，

2

/.-^absinC=l[a2+b'-c2）sinCcosC,在.ABC中，sinC>0,

1/序2/7

:•一=-----------cosC=cos2C,解得cosC=±—・

8lab4

故选：A.

8、A

【解析】由已知得3={x[-2<xvl},

因为A={—2,—1,0,1,2},

所以Ac5={-1,0},故选A

9、C

【解析】设点B在x轴上方，由AABC是等边三角形得直线AB斜率左

3

又直线过4（—L0）点，故方程为y=+g.

代入双曲线方程必―>2=1,得点3的坐标为（2,6）.

同理可得，点C的坐标为（2,-百）.

故AABC的面积为［2-（-1）］Q=3g,选C.

10、D

【解析】使用递推公式逐个求解，直到求出&即可.

【详解】因为％=1,«2=1

所以％=&+4=2,tz4=a3+a2=3,a5=a4+a3=5,a6=a5+a4=8.

故选：D

11、C

【解析】根据给定条件利用两条直线互相垂直的关系列式计算作答.

【详解】因直线无一3y+l=O与％+冲一3=0互相垂直，则lxl+（-3）a=0,解得a=；,

所以实数。的值为

3

故选：C

12、D

【解析】数列｛。:｝是首项为1,公比为4的等比数列，然后可算出答案.

【详解】因为等比数列｛q｝的首项为1,公比为2,

所以数列｛%2｝是首项为1,公比为4的等比数列

所以a；+«2+a；+...+a；=［彳）=g（4”—1）

故选：D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、4

【解析】由题意得，=1,再结合抛物线的定义即可求解.

【详解】由题意得，=1,

由抛物线的定义知：AB=AF+BF=玉+~^+九2+_^=玉+九2+.=3+1=4,

故答案为：4.

5

14、-##25

2

【解析】根据正态分布曲线的对称性即可求得结果.

【详解】XP（X>O）+P（X>5）=1,

又P（X>O）+P（XKO）=1,

/.P（X>5）=P（X<0）,

5+05

/.Ll-----二—.

22

故答案为：—.

2

15、160

【解析】・・•某个年级共有980人，要从中抽取280人，

•••抽取比例为会=[,

9o（J7

2

,此样本中男生人数为一义560=160,

7

故答案为160.

考点：本题考查了分层抽样的应用

点评：掌握分层抽样的概念是解决此类问题的关键，属基础题

16、②④

【解析】将x换成一七将y换成-兀若方程不变则关于原点对称；将x换成-x,曲线的方程不变则关于y轴对称；令

y=0通过解方程即可求得被x轴所截得的弦长；利用基本不等式即可判断出曲线C上y轴右侧的点到原点距离是否不

超过2,根据曲线C关于y轴对称，即可判断出曲线C上的点到原点距离是否都不超过2.

【详解】对于①，将x换成一七将y换成一兀方程改变，则曲线C关于点（0,0）不对称，故①错误；

对于②，将x换成-8,曲线的方程不变，则曲线C关于y轴对称，故②正确；

对于③，令尸。得，犬=2,解得》=±行，即曲线C与x轴的交点为卜"0）和（"0）,则曲线C被x轴所截得

的弦长为行-卜行）=20,故③错误；

2.2

对于④，当尤>0时，x2+y2=2+xy,x2+y2-2=xy<X,当且仅当时取等号，即工2+_/<4,

则次+y2?2,即曲线C上y轴右侧的点到原点的距离都不超过2,此曲线关于y轴对称，即曲线C上y轴左侧的

点到原点的距离也不超过2,故④正确

故答案为：②④.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)证明见解析；(2)当机=-J时，/被C截得的弦长最短，最短弦长为2折?.

6

【解析】(1)求出直线/的定点，进而判断定点和圆。的位置关系，最后得到答案；

(2)当圆心C到直线/的距离最大时，弦长最短，进而求出机，然后根据勾股定理求出弦长.

【详解】(1)直线/的方程可化为7+3=2"。-4),贝(H过定点P(4,-3),

由于42+(-3)2—6X4+12X(—3)+20=—15<0,

所以点尸在圆内，故直线/与圆C总相交

(2)圆的C方程可化为：。-3)2+。+6)2=25,

如图所示，当圆心C(3,—6)到直线/的距离最大时，弦的长度最短,

…11

则2加=——=>m=——,

36

在直角△APC中，|PC|=JI6，|AC|=5,所以|43|=2j|=2A/I?.

故当机=一工时，/被C截得的弦长最短，最短弦长为2岳.

6

18、(1)y=-x—1.

(2)答案见解析.

【解析】(1)求导函数，求得了(0),/(0),由此可求得曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程;

(2)求得导函数8'(》)=2%-285%，分工6和彳J讨论，当时，设%(x)=g'(x)=2x-2cosx,

求导函数，分析导函数的符号，得出所令函数的单调性，从而得函数g(x)的单调性，根据零点存在定理可得答案.

【小问1详解】

解：当a=l时，/(x)=x-2sinx-l,所以/'(x)=l—2cosx,

故/(0)=-1,/'(0)=-1,

所以曲线y=/(x)在点(0,7(0))处的切线方程为y=-x-l.

【小问2详解】

解：依题意g(x)=/+/(x)-or=/一。一2sinx,则g'(x)=2x-2cosx,

当尤时,g'(x)>0,所以g(x)在［,p1上单调递增;

当时，设/z(x)=g，(x)=2x-2cosx,

此时林尤)=2+2sin.r>0,所以g'(x)在］0,上单调递增，

又/(0)=一2<0,g("万〉0,

所以存在使得g'(x0)=0,且g(x)在(0,天)上单调递减，在升,(J上单调递增.

综上所述，g(x)在(0,%)上单调递减，在(%,1)上单调递增.

又g(0)=-a<0,所以当g(〃)=〃2—。〉0,即4〈万2时，g(x)有唯一零点在区间(天,乃)上，当g(〃)=〃2—

即时，g(x)在(0,%)上无零点;

故当0<a</时,g(x)在(0,乃)上有1个零点;

当aN/时，g(无)在(0,万)上无零点.

19、(1)y=—3.2x+238；

(2)确定单价为50百元时，销售利润最大.

【解析】(1)根据参考公式和数据求出坂*，进而求出线性回归方程;

(2)设出定价，结合(1)求出利润，进而通过二次函数的性质求得答案.

【小问1详解】

由题意，元=-------------------=40,y=---------------------=110,贝!|5孙=5x40x110=22000,

5元2=5x402=8000,结合参考数据可得B=幺丝二1"四=-3.2,4=110+3.2x40=238,所以线性回归方

8250-8000

程为夕=—3.2x+238.

【小问2详解】

设定价为X百元，利润为了(X),贝!)/(X)=(—3.2x+238)(x—25)=—3.2f+318x—5950,由题意九225,贝！I

Q1Q

x=--------=49.6875«50(百元)时，最大.

-3.2x2,7

故确定单价为50百元时，销售利润最大.

20、(1)/=8%

(2)证明见解析,定点坐标为(8,0).

【解析】(1)根据抛物线的定义，即可求出结果；

(2)由题意直线/方程可设为％=冲+"("，0),将其与抛物线方程联立，再将。4,08转化为QL08=0,根据

韦达定理，化简求解，即可求出定点.

【小问1详解】

解：抛物线。的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点尸(4,加)，

设抛物线的方程为丁=2px(p>0)，

P(4,m)到焦点的距离为6,即有点P到准线的距离为6,

即4+g=6解得。=4,即抛物线的标准方程为/=8x；

【小问2详解】

证明:由题意知直线I不能与x轴平行，故直线I方程可设为x=阳+〃("#0),

x=my+n

与抛物线联立得〈，■，消去X得y2—8my-8〃=0,

U=8x

设贝必=64疗+32〃>0,

则%+%=即%，乂%=_8〃，

由可得%々+%%=°，

所以即x《i+若卜°，

—8^7

亦即-8〃(1+77)=0,又“/0,解得〃=8,

64

所以直线方程为x=/盯+8,易得直线/过定点(8,0).

21、(1)an=2-

2n+1

(2)Tn=n-2+2

【解析】⑴根据所给条件先求出首项，然后仿写S“_1,作差即可得到｛4｝的通项公式；(2)根据(1)求出｛〃｝的通

项公式，观察是由一个等差数列加上一个等比数列得到，要求其前〃项和，采用分组求和法结合公式法可求出前〃项

和7.

【小问1详解】

当〃=1时，解得％=1；

当〃22时,S“_]=2。“_]-1,a”=S“-=2%-,化简得4=2%-,

••・｛4｝是首项为1,公比为2的等比数列，二4=2"-，

因此｛4｝的通项公式为4=2"-1.

【小问2详解】

n

由⑴得臬=24-1=2"-1,：.bn=2\og2an-Sn=2n-l-2,

7；,=(1-2