浙江省高二年级上册学业水平合格性模拟考试数学试题（解析版）

高二上学期学业水平合格性模拟考试数学试题

一、单选题

1.设集合Z={x|xNl},8={x[-l<x<2},则()

A.{x|x>-l}B.{-x|x>l|C.{x|-l<x<l}D.{x|l<x<2}

【答案】D

【分析】由题意结合交集的定义可得结果.

【详解】由交集的定义结合题意可得：4n8={x[14尤<2}.

故选：D.

2.命题“存在实数x,,使x>l”的否定是()

A.对任意实数x,都有x>lB.不存在实数x,使xWI

C.对任意实数X,都有x41D.存在实数x,使x41

【答案】C

【详解】解：特称命题的否定是全称命题，否定结论的同时需要改变量词.

•••命题”存在实数x,使x>l”的否定是

“对任意实数x,都有xWl”

故选C.

3.己知i是虚数单位，则注=

1-Z

A.l-2iB.2-iC.2+iD.l+2i

【答案】D

【详解】试题分析：根据题意，由于"=Ux==4曳=l+2i,故可知选D.

1-Z1-Z1+Z2

【解析】复数的运算

点评：主要是考查了复数的除法运算，属于基础题.

4.sin(万一a)等于()

A.-sineB.sintzC.-cosaD.cosa

【答案】B

【分析】利用诱导公式即可求解.

【详解】sin(zr-iz)=sina.

故选：B

5.函数—Hg(l+x)的定义域是()

1-x

A.(—oo,—1)B.(1,+oo)C.(—1,1)U(1,+oo)D.(—oo,+oo)

【答案】C

【解析】根据函数解析式建立不等关系即可求出函数定义域.

【详解】因为兀0=J—+lg(l+%),

1-x

[1—x0

所以需满足I八，

[l+x>0

解得X>-1且XN1,

所以函数的定义域为(一1,1)U(1,+oo),

故选：C

【点睛】本题主要考查了函数的定义域，考查了对数函数的概念，属于容易题.

6.不等式4步4)的解集为()

A.{x|-2<x<2}B.{x|x<-2sgx>2}

C.{x|-4<x<4}D.{x|x4-4或x24}

【答案】B

【分析】根据一元二次不等式的求解方法直接求解即可.

【详解】不等式4-/口即(x-2)(x+2)20,解得xM-2或xN2,

故不等式的解集为卜卜4-2或xN2}.

故选：B.

7.是“一元二次方程x2+x+m=0”有实数解的

4

A.充分非必要条件B.充分必要条件

C.必要非充分条件D.非充分必要条件

【答案】A

【详解】试题分析：方程x2+x+〃?=0有解，则A=l-4机20=加4：.，”<：是小4：的充分不必

要条件.故A正确.

【解析】充分必要条件

8.己知a,/?,y是空间三个不重合的平面，加，〃是空间两条不重合的直线，则下列命题为真命题的

是()

A.若a，/?,0Ly,则a//7B.若aJL£,机〃£,则M_La

C.若机_La,nA.a,则，”〃“D.若机//a,n//a,则加〃〃

【答案】C

【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系的性质定理与判定定理一一判断即可；

【详解】解：由&3_4，ply,得a/什或a与？相交，故A错误；

由a_L〃，mllp,得加//c或mua或加与a相交，故B错误；

由"?_La,〃J_a,得加〃"，故C正确；

由机〃a,nlla,得机〃"或与"相交或，"与"异面，故D错误.

故选：C.

9.设函数/(x)=Y—则/(x)()

x

A.是奇函数，且在(0,+8)单调递增B.是奇函数，且在(0,+oo)单调递减

C.是偶函数，且在(0,+00)单调递增D.是偶函数，且在(0,+00)单调递减

【答案】A

【分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为｛X|XHO｝,利用定义可得出函数〃x)为奇函数，

再根据函数的单调性法则，即可解出.

【详解】因为函数/卜)=/-4定义域为｛x|"0｝,其关于原点对称，而=

所以函数〃x)为奇函数.

又因为函数y=V在(0,行)上单调递增，在(-¥,0)上单调递增，

而尸｝=<3在(0,分)上单调递减，在卜¥,0)上单调递减，

所以函数/(x)=d-J在(0,#)上单调递增，在(-¥,0)上单调递增.

故选：A.

【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题.

10.已知非零向量满足口=2W，且(屋b)1b,则£与否的夹角为

兀71八2兀5兀

A.一B.-C.—D.—

6336

【答案】B

【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、

数学计算等数学素养.先由得出向量0力的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即

可计算出向量夹角.

———,,ab而1

【详解】因为(a-6)_Lb,所以(a-5)%=a%-加=0，所以所以8$0=百同==]

，所以Z与否的夹角为故选B.

【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹

角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,兀].

11.下列函数中，既是偶函数又区间(0」，)上单调递增的是

A.y=x3B.y=\x\+\C.y=-x2+\D.y=2H-v|

【答案】B

【详解】试题分析：因为A项是奇函数，故错，C,D两项项是偶函数，但在(0,+8)上是减函数,

故错，只有B项既满足是偶函数，又满足在区间(。,用)上是增函数，故选B.

【解析】函数的奇偶性，单调性.

12.已知函数/(x)=x2-2ax+b在区间(-8,1]是减函数，则实数a的取值范围是()

A.[1,+oo)B.(-co,1]C.[-1,+oo)D.(-co,-1]

【答案】A

【分析】由对称轴与1比大小，确定实数”的取值范围.

【详解】/。)=/-2*+6对称轴为x=。，开口向上，要想在区间(-8,1]是减函数，所以

aw[l,+8).

故选：A

13.把函数y=/(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的3倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平

移。个单位长度，得到函数夕=疝1-g的图像，则〃x)=(

)

D.sin2x+-

I12

【答案】B

【分析】解法一：从函数y=/(x)的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到

y=f21-(力，即得/=sin(x-?J,再利用换元思想求得y=/(x)的解析表达式;

解法二：从函数V=sin(x-()出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到V=/(x)的

解析表达式.

【详解】解法一：函数y=/(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的3倍，纵坐标不变，得到

y=/(2x)的图象，再把所得曲线向右平移£个单位长度，应当得到的图象，

3

根据已知得到了函数y=sin(x-?)的图象，所以/21-。)=s巾-a

4、e/7tTVt7T

令./=2」x---则x=—+—x-----=—+——

13尸234212，

所以/(f)=sin]；+总，所以/(x)=sin(1+总；

解法二：由已知的函数y=sin(x-5)逆向变换，

第一步：向左平移2个单位长度，得到y=sin(x+g-?]=sin(x+总的图象，

得到y=sin.+总的图象,

第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变,

即为y=/(x)的图象,所以〃x)=sin(；i+12/

故选：B.

4x

以函数的图象大致为()

扑

2r^

A,-1XB。0左

以外

2-

c-----------------1---------->D----------------1----------->

01X

【答案】A

【分析】由题意首先确定函数的奇偶性,然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函

数的图象.

【详解】由函数的解析式可得：/(-x)="=-/(x),则函数为奇函数，其图象关于坐标

原点对称，选项CD错误；

4

当x=l时，y=-~~-=2>0,选项B错误.

1+1

故选：A.

【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的

值域，判断图象的上下位置.(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势.(3)从函数的奇偶性，判

断图象的对称性.(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.利用上述方法排除、筛选选项.

15.若定义在R的奇函数负x)在(F,0)单调递减，且｛2)=0,则满足必■(x-DNO的x的取值范围是

()

A.[-1,1]U[3,+s)B.[-3,-l]U[0,l]

C.[-l,0]u[l,+oo)D.[-l,0]u[l,3]

【答案】D

【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数/(x)在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积

大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.

【详解】因为定义在&上的奇函数/(x)在(v,0)上单调递减，且"2)=0,

所以/(X)在(0,+8)上也是单调递减，且/(-2)=0,/(0)=0,

所以当xe(f>,-2)u(0,2)时，/(x)>0,当xe(-2,0)U(2,+a)M、j,/(x)<0,

所以由¥(x-l)*0可得：

fx<0fx>0

|一24>140或104Al42或“0

解得-IWXWO或14x43,

所以满足切(x-1)±0的x的取值范围是,

故选：D.

【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档

题.

41

16.^a>0,b>0,a+b=2,则：的最小值为()

ab

79

A.-B.—C.5D.4

22

【答案】B

【分析】利用题设中的等式，把y的表达式转化成(巴?)(±+3展开后，利用基本不等式求得了的

2ab

最小值.

【详解】解：•.•。+6=2,

,3=1

2

「・y=±+：=（W"）（3+；）=<+攻+9■…■|+2==（当且仅当2b=a时等号成立）

ab2ab2a2b22

故选：B.

17.如图所示，在三棱锥中，AC=AB=BD=CD=2,且“7)8=90。.取中点E以及C。中

点尸，连接ER则E尸与Z8所成角的正切值取值范围为(）

AC.[1,72）

【答案】C

【分析】由题意可得当平面N8c1平面BCD时，张角最大,即即与48所成角最大，从而可得最

大值，当平面N8C与平面88重合时，张角最小，即E尸与所成角最小，从而可得最小值，又

平面ABC与平面BCD不能重合，即可求得EF与AB所成角的正切值取值范围.

【详解】解：如图，作EHJ.BC于H,

因为==当平面平面8c。时，张角最大，即痔与48所成角最大,

如图①，作HWLCQ与

BF=JDF?+BD。=Vl+4=亚,EF=^FM2+HM2+EH2=出，

因为BC=dBC、CD2=2&，则/员+/C?=BC）,所以/8/C=90。,

所以EF与AB的夹角为N8EF或其补角，

际/8团=段后邛，则sin/的邛，所以|tanN8E尸|=0,

故EF与所成角的正切值的最大值为&,

当平面H5C与平面8CD重合时，张角最小，即£尸与所成角最小，

如图②所示，NFEA=450即为E尸与AB所成角的平面角，

tanZ.FEA=1,

又平面ABC与平面BCD不能重合，

所以E尸与48所成角的正切值取值范围为0,正）.

故选：C.

18.在A48C中，。是8C边上一点，且5D=2OC=4,4847=60。，则/。的最大值为（）

A.2A/3+2B.4C.73+1D.2

【答案】A

【分析】由正弦定理可得28=46sinC，再在。中由余弦定理化简得出

ZD?=86sin2C+16，即可求出.

【详解】因为8D=2OC=4,所以8c=6,

4B=BC=6一百

在口ZBC中，由正弦定理可得sinCsinZBACJi,则Z3=4jisinC，

T

在中，由余弦定理得工。2=/82+5。2一2/氏8。-0$8

=48sin2C+16-2x4也sinCx4cos5

=48sin2C+16+3273sinCcos(J+C)

48sin2C+16+3273sinC-cosC--sinC

22

\7

=16GsinCcosC+16=873sin2C+16，

因为0°<C<120°,所以0°<2C<240°,

则当2c=90。,即C=45。时,

4Q取得最大值为586+16=J(2百+2『=2后+2.

故选：A.

二、填空题

19.某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单

位：万元)都在区间［030.9］内，其频率分布直方图如图所示.

(I)直方图中的。=；

(H)在这些购物者中，消费金额在区间［0.5、0.9］内的购物者的人数为

【答案】(I)3；(II)6000.

【详解】由频率分布直方图及频率和等于1可得

0.2x0.1+0.8x0.14-1.5x0.1+2x0.1+2.5x0.14-67x0.1=1,

解之得。=3.于是消费金额在区间［0.5,0.9］内频率为0.2x0.1+0.8x0.1+2x0.1+3x0.1=0.6,所以消

费金额在区间［0.5,0.9］内的购物者的人数为:0.6x10000=6000,故应填3；6000.

【解析】本题考查频率分布直方图，属基础题.

20.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名

女同学的概率是.

【答案】《

【分析】先求事件的总数，再求选出的2名同学中至少有1名女同学的事件数，最后根据古典概型

的概率计算公式得出答案.

【详解】从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿服务，共有武=10种情况.

若选出的2名学生恰有1名女生，有C；C；=6种情况，

若选出的2名学生都是女生，有仁=1种情况，

所以所求的概率为*

【点睛】计数原理是高考考查的重点内容，考查的形式有两种，一是独立考查，二是与古典概型结

合考查，由于古典概型概率的计算比较明确，所以，计算正确基本事件总数是解题的重要一环.在

处理问题的过程中，应注意审清题意，明确“分类”“分步”，根据顺序有无，明确“排列”“组合”.

21.已知乙4c8=90。，P为平面/8C外一点，PC=2,点尸至此/C8两边ZC,8c的距离均为G，

那么P到平面ABC的距离为.

【答案】V2.

【分析】本题考查学生空间想象能力，合理画图成为关键，准确找到P在底面上的射影，使用线面

垂直定理，得到垂直关系，勾股定理解决.

【详解】作9，依分别垂直于/C,8C,尸。工平面Z8C,连CO,

知CDLPD,CDLPO,PDCOD=P,

\CDA平面PDO,OOu平面POO,

:.CD±OD

0PD=PE=6,PC=2.sinZPCE=sinZPCD=—,

2

NPCB=ZPCA=60°.

PO1CO,CO为//C8平分线，

ZOCD=45°OD=CD=1,OC=41,又PC=2,

:.P0=V4^2=5/2.

【点睛】画图视角选择不当，线面垂直定理使用不够灵活，难以发现垂直关系，问题即很难解决,

将几何体摆放成正常视角，是立体几何问题解决的有效手段，几何关系利于观察，解题事半功倍.

22.若函数〃x)=।恰有两个零点，则实数。的范围是

[4(X-4)(X-2Q),x>1

【答案】g,l)U[2,+8)

【分析】分别设力(x)=2、-4,g(x)=4(x-a)(x-2a),分两种情况讨论，即可求出。的范围.

【详解】解：设〃(x)=2*-a,g(x)=4(x-a)(x-2a),

若在x<l时，以x)=2'-a与x轴有一个交点，

所以。>0,并且当x=l时，〃(1)=2-。>0,所以0<。<2,

而函数g(x)=4(x-a)(x—2a)有一个交点，所以数21,且a<1,

所以;4〃<l，

若函数〃(x)=2*-a在x<l时，与x轴没有交点，

则函数g(x)=4(x-a)(x-2a)有两个交点，

当“W0时，〃(x)与x轴无交点，g(x)无交点，所以不满足题意(舍去)，

当〃⑴=2-。40时，即心2时，g(x)的两个交点满足玉=。,占=2°,都是满足题意的，

综上所述。的取值范围是:或。22.

故答案为：g,l)U[2,+O.

【点睛】本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能力以

及分类能力，属于中档题.

三、解答题

23.已知函数f(x)=sin2x+2>/isinxcosx-gcos2x,xeR

(1)求函数〃x)的单调减区间;

(2)求当xe0,y时函数〃x)的最大值和最小值.

【答案】⑴设+§4,丘+5不冗/口(2)/(x)xg1j(x)3s

【分析】⑴将/(x)化为〃x)=2sin(2xq)+；,然后解出不等式2版•+?2》-表2叔'+

即可；

TVIT7T)7T

(2)当工£0,-时，2X--G,然后可求出答案.

_2J666_

【详解】⑴

/(x)=sin2x+2A/3sinxcosx---cos2x=--+V3sin2x--cos2x=V3sin2x-cos2x+—

v72222

=2sin(2x-7)+；

2kTV+—<2x-—<2k7r4--,可得人乃+工+红，&GZ

26236

冗5冗

所以函数/(X)的单调减区间为k7t+-^+—,keZ

3o

,、一「八万"I1)乃「157].(A]「1i

(2)—1xG0,一时，2x£,—,sin2,x---—,1

L2j6L66JI6jL2J

所以〃X)G-1,|

即/(%)=-；J(x)m»=|"

24.如图，已知四边形/8CO是菱形，NBAD=60。,zX/B。绕着8。顺时针旋转120。得到△P8。

,E是PC的中点.

(2)求直线AP与平面PBC所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析:

⑵迤

13

【分析】（1）连接ZC交8。于尸，连接EF,利用中位线可得到£尸//4，再利用直线与平面平行

的判定即可证明；

（2）先根据（1）得到直线/P与平面尸8c所成的角为直线E尸与平面P8C所成的角，然后过尸

作FQ1BE,利用面面垂直的性质定理得到产。，平面P8C,进而得到NQEF为直线E尸与平面

P8C所成的角，最后求NQE尸的正弦值即可.

【详解】（1）连接4c交8。于F,连接叱，因为四边形N8CZ）是菱形，

所以尸为NC的中点，又因为£是PC的中点，所以EF//P4,

£Fu平面P4U平面BDE,所以PZ//平面8。氏

（2）过尸作尸018E,垂足为。，连接尸P,

由（1）知：EFHPA,

则直线AP与平面PBC所成的角为直线EF与平面PBC所成的角，

易知BP=BC,又E是PC的中点，所以8E_LPC,同理£>E_LPC,

又BEcDE=E,面8OE,所以PCI面8DE,又PCu面P8C,

所以面PBC_1_面8。£,而PBC0面8O£=8E,FQu面BDE,FQ1BE,

所以尸。，面尸8C,所以NQEF为直线EF与平面PBC所成的角，

由^ABD绕着BD顺时针旋转120。得到△PBD,可得到NAFP=120°,

22

假设AB=2a,贝ijAF=®,FP=>JPB-BF=币1a，

在口ZFP中，由余弦定理可得：AP2=AF2+FP2-2AF-FPcosUO0=9a2,

所以"=3a,

因为口POCmPCB,所以DE=BE,又尸为8。的中点，所以EFLBD,

则在RtZXEFB中，EF=g”=；a,FB=a,BE=旧4+a。=^a,

所以sinNF£8=f^=3叵，