专题04 二次根式的核心知识点精讲（讲义）（解析版）-备战中考数学一轮复习（全国通用）

专题04二次根式的核心知识点精讲1.了解二次根式的概念及其有意义的条件．2．了解最简二次根式的概念，并会把二次根式化成最简二次根式．3．掌握二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除、乘方运算法则，会用它们进行有管的简单四则运算．【题型1：二次根式有意义的条件】【典例1】（2023•济宁）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≠2 B．x≥0 C．x≥2 D．x≥0且x≠2【答案】D【解答】解：由题意得x≥0且x﹣2≠0，解得x≥0且x≠2，故选：D．1．（2023•金华）要使有意义，则x的值可以是（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．2【答案】D【解答】解：由题意得：x﹣2≥0，解得：x≥2，则x的值可以是2，故选：D．2．（2023•通辽）二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：二次根式在实数范围内有意义，则1﹣x≥0，解得：x≤1，则实数x的取值范围在数轴上表示为：．故选：C．3．（2023•湘西州）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥5．【答案】x≥5．【解答】解：由二次根式在实数范围内有意义可得：2x﹣10≥0，解得：x≥5；故答案为：x≥5．【题型2：二次根式的性质】【典例2】（2023•泰州）计算等于（）A．±2 B．2 C．4 D．【答案】B【解答】解：＝2．故选：B．1．（2021•苏州）计算（）2的结果是（）A． B．3 C．2 D．9【答案】B【解答】解：（）2＝3．故选：B．2.（2023•青岛）下列计算正确的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：与无法合并，则A不符合题意；2﹣＝，则B不符合题意；×＝＝，则C符合题意；÷3＝＝，则D不符合题意；故选：C．3．（2021•娄底）2、5、m是某三角形三边的长，则+等于（）A．2m﹣10 B．10﹣2m C．10 D．4【答案】D【解答】解：∵2、5、m是某三角形三边的长，∴5﹣2＜m＜5+2，故3＜m＜7，∴+＝m﹣3+7﹣m＝4．故选：D．4．（2022•遂宁）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a+1|﹣+＝2．【答案】2．【解答】解：由数轴可得，﹣1＜a＜0，1＜b＜2，∴a+1＞0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，∴|a+1|﹣+＝a+1﹣（b﹣1）+（b﹣a）＝a+1﹣b+1+b﹣a＝2，故答案为：2．【题型3：二次根式的运算】【典例3】（2023•金昌）计算：÷×2﹣6．【答案】6．【解答】解：原式＝3××2﹣6＝12﹣6＝6．1．（2023•聊城）计算：（﹣3）÷＝3．【答案】3．【解答】解：原式＝（4﹣3×）÷＝（4﹣）÷＝3÷＝3．故答案为：3．2．（2023•山西）计算：的结果为﹣1．【答案】﹣1．【解答】解：原式＝（）2﹣（）2＝2﹣3＝﹣1．故答案为：﹣1．3．（2023•兰州）计算：．【答案】．【解答】解：原式＝3﹣2＝．4．（2023•陕西）计算：．【答案】2﹣2．【解答】解：原式＝﹣3++1＝2﹣3+1＝2﹣2．1．（2023秋•福鼎市期中）下列各数不能与合并的是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：A、∵＝＝，∴能与合并，故A不符合题意；B、∵＝2，∴不能与合并，故B符合题意；C、∵＝3，∴能与合并，故C不符合题意；D、∵＝4，∴能与合并，故D不符合题意；故选：B．2．（2023秋•云岩区校级期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A、＝＝，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；B、＝＝4，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；C、＝，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；D、是最简二次根式，符合题意；故选：D．3．（2022秋•泉州期末）若二次根式有意义，则x的取值范围是（）A．x＜3 B．x≠3 C．x≤3 D．x≥3【答案】C【解答】解：∵二次根式有意义，∴3﹣x≥0，解得：x≤3．故选：C．4．（2023秋•龙泉驿区期中）下列运算中，正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A、±＝±3，故A不符合题意；B、与﹣不能合并，故B不符合题意；C、2﹣＝，故C不符合题意；D、÷＝，故D符合题意；故选：D．5．（2023秋•锦江区校级期中）若a＞b＞0，则的结果是（）A．a B．2b﹣a C．a﹣2b D．﹣a【答案】A【解答】解：∵a＞b＞0，∴+＝|b|+|b﹣a|＝b+a﹣b＝a，故选：A．6．（2023春•河东区期中）把x根号外的因数移到根号内，结果是（）A． B． C．﹣ D．﹣【答案】C【解答】解：由x可知x＜0，所以x＝﹣＝﹣，故选：C．7．（2023春•铁岭县期末）计算：的结果是（）A．2 B．0 C．﹣2 D．﹣【答案】B【解答】解：＝﹣＝2﹣2＝0，故选：B．8．（2023春•抚顺月考）二次根式的计算结果是（）A． B． C．± D．【答案】B【解答】解：＝＝×＝3，故选：B．9．（2023春•西丰县期中）已知a＝+2，b＝﹣2，则a﹣b的值是（）A．2 B．4 C．2+4 D．2﹣4【答案】B【解答】解：∵a＝+2，b＝﹣2，∴a﹣b＝+2﹣（﹣2）＝+2﹣+2＝4，故选：B．10．（2023春•工业园区期末）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（）A．与 B．与 C．与 D．与【答案】D【解答】解：A、∵＝2，∴与不是同类二次根式，故A不符合题意；B、∵＝2，∴与不是同类二次根式，故B不符合题意；C、与不是同类二次根式，故C不符合题意；D、∵＝2，∴与是同类二次根式，故D符合题意；故选：D．11．（2023春•武昌区校级期中）若是整数，则满足条件的最小正整数n的值为6．【答案】见试题解答内容【解答】解：＝2，∵是整数，∴满足条件的最小正整数n＝6．故答案为：6．12．（2023春•固镇县月考）计算＝﹣．【答案】﹣．【解答】解：＝2﹣3＝﹣，故答案为：﹣．13．（2023春•高安市期中）化简计算：＝2．【答案】2．【解答】解：＝（）2﹣12＝3﹣1＝2，故答案为：2．14．（2023秋•高新区校级期中）计算：（1）×；（2）．【答案】（1）﹣11；（2）5﹣4．【解答】解：（1）×＝﹣4×3＝﹣12＝﹣11；（2）＝4﹣5+4﹣4+2＝5﹣4．15．（2023秋•秦都区校级期中）计算：﹣×．【答案】4﹣+2．【解答】解：﹣×＝3﹣+2＝﹣+2＝4﹣+2．1．（2022秋•鼓楼区校级期末）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（）A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．无法确定【答案】A【解答】解：∵由图可知：4＜a＜10，∴a﹣4＞0，a﹣11＜0，∴原式＝+＝a﹣4+11﹣a＝7．故选：A．2．（2023春•新郑市校级期末）若＝在实数范围内成立，则x的取值范围是（）A．x≥1 B．x≥4 C．1≤x≤4 D．x＞4【答案】D【解答】解：∵＝在实数范围内成立，∴x﹣1≥0，x﹣4＞0，∴x＞4．故选：D．3．（2023秋•西安校级月考）若x，y都是实数，且，则xy的值是（）A．0 B．4 C．2 D．不能确定【答案】B【解答】解：根据题意得，x﹣1≥0且1﹣x≥0，解得x≥1且x≤1，∴x＝1，∴y＝4，∴xy＝1×4＝4．故选：B．4．（2023•商水县一模）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式．若p＝5，c＝2，则此三角形面积的最大值为（）A． B． C． D．5【答案】C【解答】解：∵p＝，p＝5，c＝2，∴5＝，∴a+b＝8，∴a＝8﹣b，∴S＝＝＝＝＝＝＝当b＝4时，S有最大值为．故选：C．5．（2023秋•闵行区期中）计算：＝．【答案】．【解答】解：，＝＝＝＝＝，故答案为：．6．（2023春•科左中旗校级期末）观察下列等式：第1个等式：a1＝＝﹣1，第2个等式：a2＝＝，第3个等式：a3＝＝2﹣，第4个等式：a4＝＝﹣2，…按上述规律，计算a1+a2+a3+…+an＝﹣1．【答案】见试题解答内容【解答】解：第1个等式：a1＝＝﹣1，第2个等式：a2＝＝，第3个等式：a3＝＝2﹣，第4个等式：a4＝＝﹣2，…a1+a2+a3+…+an＝﹣1+﹣+…+﹣＝﹣1故答案为：﹣1．7．（2023春•中江县月考）已知的值是7．【答案】7．【解答】解：∵m＝+1，n＝＝﹣1，∴m+n＝2，mn＝1，∴m2+mn+n2＝（m+n）2﹣mn＝（2）2﹣1＝7．故答案为：7．8．（2023春•禹州市期中）如图，在数学课上，老师用5个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成了一个大长方形，已知小长方形的长为，宽为，则这个大长方形的周长为22．【答案】22．【解答】解：∵大长方形的宽＝3+2＝5，大长方形的长＝3×2＝6，∴大长方形的周长＝（5+6）×2＝22，故答案为：22．9．（2023春•宿豫区期末）计算的结果为3．【答案】3．【解答】解：原式＝+＝+＝2+＝3．故答案为：3．10．（2023秋•双流区校级期中）已知a＝3+，b＝3﹣，分别求下列代数式的值：（1）a2﹣b2；（2）a2﹣3ab+b2．【答案】（1）12；（2）1．【解答】解：（1）∵a＝3+，b＝3﹣，∴a+b＝3++3﹣＝6，a﹣b＝3+﹣3+＝2，ab＝（3）（3）＝7，则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝6×＝12；（2）由（1）知a﹣b＝2，ab＝（3）（3）＝7，∴a2﹣3ab+b2＝（a﹣b）2﹣ab，＝＝8﹣7＝1．11．（2023春•双柏县期中）阅读下面问题：＝＝﹣1；＝＝﹣；＝＝﹣2．（1）求的值；（2）计算：+++…++．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）原式＝＝﹣；（2）原式＝﹣1+﹣+…+﹣+﹣＝10﹣1＝9．12．（2023秋•二七区校级月考）阅读材料：我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用．问题提出：该如何化简？建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，这样（）2+（）2＝m，•＝．那么便有：（a＞b），问题解决：化简：，解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即，．∴，模型应用1：利用上述解决问题的方法化简下列各式：（1）；（2）．模型应用2：（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4﹣，AC＝，那么BC边的长为多少？（直接写出结果，结果化成最简）．【答案】（1）1+；（2）2﹣；（3）2﹣2．【解答】解：（1）m＝6，n＝5．∵1+5＝6，1×5＝5，∴（）2+（）2＝6，×＝，∴＝＝1+．（2）∵＝．∴m＝13，n＝40，∵5+8＝13，5×8＝40，∴（）2+（）2＝13，×＝，∴＝＝＝2．（3）BC＝＝．∵＝，∴m＝16，n＝48，∵4+12＝16，4×12＝48，∴（）2+（）2＝16，×＝，∴BC＝＝＝＝2﹣2．1．（2022•桂林）化简的结果是（）A．2 B．3 C．2 D．2【答案】A【解答】解：＝2，故选：A．2．（2022•内蒙古）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则+1+|a﹣1|的化简结果是（）A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a【答案】B【解答】解：根据数轴得：0＜a＜1，∴a＞0，a﹣1＜0，∴原式＝|a|+1+1﹣a＝a+1+1﹣a＝2．故选：B．3．（2022•河北）下列正确的是（）A．＝2+3 B．＝2×3 C．＝32 D．＝0.7【答案】B【解答】解：A、原式＝，故该选项不符合题意；B、原式＝×＝2×3，故该选项符合题意；C、原式＝＝92，故该选项不符合题意；D、0.72＝0.49，故该选项不符合题意；故选：B．4．（2022•湖北）下列各式计算正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A、与不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；B、，故B不符合题意；C、，故C不符合题意；D、，故D符合题意；故选：D．5．（2022•青岛）计算（﹣）×的结果是（）A． B．1 C． D．3【答案】B【解答】解：（﹣）×＝﹣＝﹣＝3﹣2＝1，故选：B．6．（2022•安顺）估计（+）×的值应在（）A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间【答案】B【解答】解：原式＝2+，∵3＜＜4，∴5＜2+＜6，故选：B．7．（2023•绵阳）若式子在实数范围内有意义，则x的最小值为．【答案】．【解答】解：由题意可得2x﹣1≥0，解得：x≥，则x的最小值为，故答案为：．8．（2023•丹东）若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是x≥﹣2，且x≠1．【答案】x≥﹣2，且x≠1．【解答】解：由题可知，x+2≥0，即x≥﹣2，又知分母不能等于0，即x﹣1≠0，则x≠1．故答案为：x≥﹣2，且x≠1．9.（2022•武汉）计算的结果是2．【答案】2．【解答】解：法一、＝|﹣2|＝2；法二、＝＝2．故答案为：2．10．（2023•内蒙古）实数m在数轴上对应点的位置如图所示，化简：＝2﹣m．【答案】2﹣m．【解答】解：由数轴可知：1＜m＜2，∴m﹣2＜0，∴＝|m﹣2|＝2﹣m．故答案为：2﹣m．11．（2022