第十四讲二次函数的实际应用讲义

第三章第三章函数第十四讲二次函数的实际应用满分讲义典例解析呈现命题点命题点1应用二次函数解决抛物线实际问题类型一隧道和拱桥问题（2024上·山西临汾·九年级统考期末）中条山隧道位于山西省运城市盐湖区，这一隧道的建设开创了全省普通公路特长隧道工程建设的先河，也是全国单洞里程最长的隧道工程．如图1是中条山隧道，其截面近似为抛物线型，如图2为截面示意图，线段表示水平的路面，以O为坐标原点所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．经测量，抛物线的顶点P到的距离为，则抛物线的函数表达式为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意得出，，设抛物线的表达式为，把代入得，再把代入求出a的值，即可得出抛物线表达式．本题主要考查了求抛物线的表达式，解题的关键是掌握用待定系数法求函数表达式的方法和步骤，以及二次函数的顶点式．【详解】解：∵，抛物线的顶点P到的距离为，∴，，设抛物线的表达式为，把代入得：，把代入得：，解得：，∴抛物线表达式为，故选：D．（2022·四川广安·统考中考真题）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降米，水面宽8米．【答案】/【分析】根据已知得出直角坐标系，通过代入A点坐标（3，0），求出二次函数解析式，再根据把x=4代入抛物线解析式得出下降高度，即可得出答案．【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，由题意可得：AO=OB=3米，C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，把点A点坐标（3，0）代入得，∴，∴，∴抛物线解析式为：；当水面下降，水面宽为8米时，有把代入解析式，得；∴水面下降米；故答案为：；【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．（2023·陕西·统考中考真题）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：方案一，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点N在x轴上，，．方案二，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点在x轴上，，．要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．方案一中，矩形框架的面积记为，点A、D在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上．现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：(1)求方案一中抛物线的函数表达式；(2)在方案一中，当时，求矩形框架的面积并比较，的大小．【答案】(1)(2)，【分析】（1）利用待定系数法则，求出抛物线的解析式即可；（2）在中，令得：，求出或，得出，求出，然后比较大小即可．【详解】（1）解：由题意知，方案一中抛物线的顶点，设抛物线的函数表达式为，把代入得：，解得：，∴；∴方案一中抛物线的函数表达式为；（2）解：在中，令得：，解得或，∴，∴；∵，∴．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法则，求出函数解析式．（2023上·安徽滁州·九年级校考阶段练习）如图1，某高速路有一段隧道，隧道的横截面如图2，横截面的上边缘是一段抛物线，以抛物线的对称轴作为轴，以水平地面作为轴建立平面直角坐标系．已知该抛物线的顶点坐标为，抛物线与轴的交点分别为点和点，抛物线的表达式为．（长度单位：）(1)求的长；(2)若每个隧道都是双向车道，中间是实线（车辆不能压实线，实线的宽度忽略不计），现有一辆高，宽的货车次通过此隧道，请你判断该货车能否通过该隧道，并说明理由．【答案】(1)(2)高，宽的货车能通过该隧道，理由见解析【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数解析式，抛物线与x轴的交点坐标．熟练掌握二次函数的应用，二次函数解析式是解题的关键．（1）把点代入，计算求解，进而可得抛物线的表达式．将代入表达式，可求得，根据，计算求解即可；（2）当时，，根据，判断作答即可．【详解】（1）解：把点代入，得，∴抛物线的表达式为．当时，，解得，，∴，∴的长为．（2）解：该货车能通过该隧道，理由如下：当时，，∵，∴高，宽的货车能通过该隧道．类型二运动轨迹问题（2023·山西朔州·校联考模拟预测）如图①，是可移动的灌溉装置，以水平地面方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，如图②所示．其水柱的高度y（单位：m）与水柱距喷水头的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系式．在图②中，若水柱在某一个高度时总对应两个不同的水平位置，则x的取值范围是．【答案】且【分析】根据题意可先求出点的坐标，然后求出当时对应的值，即可得出水柱的水平距离的取值范围，然后求出顶点坐标和对称轴，再求出点关于对称轴对称的点，根据当水柱在某一个高度时，总对应两个不同的水平位置，即可得出的取值范围．【详解】解：由题意可得：当时，，，当时，即，解得：，，水柱的水平距离的取值范围为：，，顶点坐标为，对称轴，点关于对称轴对称的点为，当水柱在某一个高度时，总对应两个不同的水平位置，的取值范围为：且；故答案为：且．【点睛】本题考查的主要是二次函数的应用，解题关键是求出点关于对称轴对称的点以及顶点坐标．（2023·四川攀枝花·统考二模）掷实心球是江西省初中学业水平测试体育考试的选考项目．如图1是一名女生投掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（）与水平距离x（）之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为，当水平距离为3时，实心球行进至最高点3处．(1)求y关于x的函数表达式：(2)根据江西省初中学业水平测试体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于7.80，此项考试得分为满分17.5分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．【答案】(1)(2)该女生在此项考试中没有得满分，理由见解析【分析】本题考查了二次函数解析式，二次函数的应用．（1）设y关于x的函数表达式为，将代入，求出的值，然后作答即可；（2）令，则，解得，或（舍去），则实心球从起点到落地点的水平距离为，由，判断作答即可．【详解】（1）解：设y关于x的函数表达式为，将代入得，，解得，，∴；（2）解：该女生在此项考试中没有得满分，理由如下：令，则，解得，或（舍去），∴实心球从起点到落地点的水平距离为，∵，∴该女生在此项考试中没有得满分．（2022·安徽合肥·合肥市庐阳中学校考模拟预测）2022年2月，在北京冬奥会跳台滑雪中，中国选手谷爱凌、苏翊鸣夺金，激起了人们对跳台滑雪运动的极大热情．某跳台滑雪训练场的横截面如图所示，以某一位置的水平线为轴，过跳台终点作水平线的垂线为轴建立平面直角坐标系．图中的抛物线：近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点正上方米处的点滑出，滑出后沿抛物线：运动．当运动员从点滑出运动到离处的水平距离为米时，距离水平线的高度恰好为米．(1)求抛物线的解析式（不要求写自变量x的取值范围）：(2)运动员从点滑出后，当运动员距离点的水平距离为多少米时）运动员达到最大高度，此时，距离水平线的高度是多少米？(3)运动员从点滑出后，当运动员距离点的水平距离为少米时，运动员与小山坡的竖直距离达到最大值，最大值是多少米？【答案】(1)；(2)当运动员距离的水平距离为米时，运动员达到最大高度，高度为米；(3)当运动员距离的水平距离为米时，运动员与小山坡的竖直距离达到最大值，最大值为米．【分析】（1）将点，代入的解析式中，求出，的值即可；（2）将抛物线的解析式化为顶点式，由此可得顶点坐标，由此求解；（3）由题可知，运动员与小山坡的竖直距离为，则是关于的二次函数，只需分析该函数的最大值即可．【详解】（1）解：抛物线经过点，，，解得．抛物线的解析式为：．（2）解：，当运动员距离的水平距离为米时，运动员达到最大高度，最大高度为米．（3）解：设运动员与小山坡的竖直距离为，则，当时，取得最大值，最大值为．当运动员距离的水平距离为米时，运动员与小山坡的竖直距离达到最大值，最大值为米．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的顶点坐标是解题的关键．命题点2利润最大问题类型一顶点处取最值（2024·福建南平·统考一模）某商家将每件进价为15元的纪念品，按每件19元出售，每日可售出28件．经市场调查发现，这种纪念品每件涨价1元，日销售量会减少2件．(1)当每件纪念品涨价多少元时，单日的利润为154元？(2)商家为了单日获得的利润最大，每件纪念品应涨价多少元？最大利润是多少元？【答案】(1)当涨价3元或7元时，单日利润为154元(2)当涨价5元时获得最大利润，为162元【分析】（1）设当每件纪念品涨价x元时，单日的利润为154元，根据利润列出方程，解方程即可得到答案；（2）设当涨价a元时，单日利润为W元，根据题意得到W关于a的二次函数表达式，根据二次函数的性质进行解答即可．此题考查了一元二次方程和二次函数的应用，读懂题意，正确列出函数和方程是解题的关键．【详解】（1）解：设当每件纪念品涨价x元时，单日的利润为154元，则，解得：，，答：当涨价3元或7元时，单日利润为154元.（2）设当涨价a元时，单日利润为W元，∵，抛物线开口向下，所以当时，，

答:当涨价5元时获得最大利润，为162元.（2023·浙江湖州·统考中考真题）某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）存在一次函数关系，部分数据如下表所示：销售价格x（元/千克）5040日销售量y（千克）100200(1)试求出y关于x的函数表达式．(2)设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？【答案】(1)(2)销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为，由表中数据即可得出结论；（2）根据每日总利润=每千克利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可．【详解】（1）解：设y关于x的函数表达式为．将和分别代入，得：，解得：，∴y关于x的函数表达式是：；（2）解：，∵，∴当时，在的范围内，W取到最大值，最大值是2250．答：销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元．【点睛】本题考查一次函数、二次函数的应用，关键是根据等量关系写出函数解析式．类型二不在顶点处取最值（2023·江苏南通·统考二模）某商品每件进价20元，在试销阶段该商品的日销售量y(件)与每件商品的日销售价x(元)之间的关系如图中的折线ABC所示(物价局规定，该商品每件的销售价不得低于进价且不得高于45元)．(1)直接写出y与x的函数关系式；(2)若日销售单价x(元)为整数，则当日销售单价x(元)为多少时，该商品每天的销售利润最大？最大利润是多少？(3)若该商品每天的销售利润不低于1200元，求销售单价x的取值范围．【答案】(1)(2)当销售单价x为37或38元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润为1224元(3)结合函数图象可得【分析】本题考查一次函数，二次函数的应用；（1）设分两种情况用待定系数法可得答案；（2）设销售利润为元，根据总利润等于每件利润乘以销售量，分两种情况列函数关系式，求出的最大值，即可得到答案；（3）结合（2）可得，即可解得x的范围．【详解】（1）解：设当时，把，代入得：解得，；当时，把，代入得：，解得，；综上所述，；（2）设销售利润为元，当时，，当时，最大为元；当时，，为整数，或时，取最大值(元)；综上所述，当日销售单价为元或元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润是元；（3）由（2）知，当时，该商品每天的销售利润最大为元；只有在时，每天的销售利润才可能不低于元；∵，解得：根据二次函数的性质可得的解集为：，销售单价的取值范围是．（2023下·河南安阳·九年级统考期末）某超市采购了两批同样的记念品挂件，第一批花了3300元，第二批花了4000元，已知第一批每个挂件的进价是第二批的倍、且第二批比第一批多购送25个．(1)求第二批每个挂件的进价；(2)两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周最多能卖90个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？【答案】(1)40元(2)55元；1350元【分析】本题主要考查了分式方程的应用、二次函数的应用，读懂题意，找准等量关系，正确列出分式方程，列出函数关系，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．（1）设第二批挂件的进价为x元，则第一批挂件的进价为元，列出方程计算即可．（2）设每个挂件售价定为m元，每周可获得利润w元，则可列出w关于m的关系式，根据“每周最多能卖90个”，求出m的取值范围，最后根据二次函数的性质即可得到答案．【详解】（1）设第二批挂件的进价为x元，则第一批挂件的进价为元，根据题意，得，解得，经检验，是原方程的根，答：第二批挂件的进价为40元．（2）解：设每个挂件售价定为m元，每周可获得利润w元，∵每周最多能卖90个，∴,解得，根据题意，得，根据题意，得抛物线的对称轴为，故当时，w随m的增大而减小，故当时，w有最大值，，此时．当每个挂件售价定为55元时，每周可获得最大利润，最大利润是1350元．类型三在自变量不同取值范围内求最值（2023年四川省南充市中考数学真题）某工厂计划从A，B两种产品中选择一种生产并销售，每日产销x件．已知A产品成本价m元/件（m为常数，且，售价8元/件，每日最多产销500件，同时每日共支付专利费30元；B产品成本价12元/件，售价20元/件，每日最多产销300件，同时每日支付专利费y元，y（元）与每日产销x（件）满足关系式(1)若产销A，B两种产品的日利润分别为元，元，请分别写出，与x的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)分别求出产销A，B两种产品的最大日利润．（A产品的最大日利润用含m的代数式表示）(3)为获得最大日利润，该工厂应该选择产销哪种产品？并说明理由．【利润（售价成本）产销数量专利费】【答案】(1)，(2)元，(3)当时，该工厂应该选择产销A产品能获得最大日利润；当时，该工厂应该选择产销任一产品都能获得最大日利润；当时，该工厂应该选择产销B产品能获得最大日利润，理由见解析【分析】（1）根据题木所给的利润计算公式求解即可；（2）根据（1）所求利用一次函数和二次函数的性质求解即可；（3）比较（2）中所求A、B两种产品的最大利润即可得到答案．【详解】（1）解：由题意得，，（2）解：∵，∴，∴随x增大而增大，∴当时，最大，最大为元；，∵，∴当时，随x增大而增大，∴当时，最大，最大为元；（3）解：当，即时，该工厂应该选择产销A产品能获得最大日利润；当，即时，该工厂应该选择产销任一产品都能获得最大日利润；当，即时，该工厂应该选择产销B产品能获得最大日利润；综上所述，当时，该工厂应该选择产销A产品能获得最大日利润；当时，该工厂应该选择产销任一产品都能获得最大日利润；当时，该工厂应该选择产销B产品能获得最大日利润．【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出对应的函数关系式是解题的关键．命题点3几何图形面积问题（2023上·浙江温州·九年级瑞安市安阳实验中学校联考期末）某农场要建矩形的饲养室，如图所示，一面靠着现有足够长的墙，其他三面用材料建设围墙，在中间再建一道墙隔开，并在两处各留宽的门，已知计划中的材料可建墙体总长为（不包括门），则能建成的饲养室最大总占地面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了二次函数的实际应用：设矩形的面积为垂直于墙的矩形的饲养室的边长为，平行于墙的矩形的饲养室的边长则