2024年武汉市高二数学3月份联考试卷附答案解析

2024年武汉市高二数学3月份联考试卷试卷满分150分．考试时间120分钟．2024.03一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．函数的图象在点处的切线方程是（

）A． B． C． D．2．已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（

）A． B． C．e D．3．若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是（

）A．B．C． D．4．已知上的可导函数的图象如图所示，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．5．已知函数（是的导函数），则（）A． B．1 C．2 D．6．已知函数在上存在极值，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．7．已知函数，若对任意两个不等的正实数，，都有，则实数的取值范围是（

）A．B．C． D．8．已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（

）A．B．C． D．二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分2分，有选错的得0分.9．下列函数在定义域上为增函数的是（

）A． B．C． D．10．已知函数，下列说法正确的是（）A．的单调递减区间是B．在点处的切线方程是C．若方程只有一个解，则D．设，若对，使得成立，则11．已知，.若存在，，使得成立，则下列结论中正确的是（

）A．当时， B．当时，C．不存在，使得成立 D．恒成立，则三､填空题：本题共3小题每小题5分，共15分12．若函数的极大值为11，则的极小值为．13．与曲线和都相切的直线方程为.14．已知函数，不等式对任意的恒成立，则的最大值为．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15．已知函数．(1)若，求曲线在处的切线方程；(2)若恒成立，求实数的取值范围．16．已知函数．(1)当，求的单调区间；(2)若有三个零点，求的取值范围．17．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，求在区间上的最大值．18．已知函数.(1)当时，求的图像在点处的切线方程；(2)若不等式恒成立，求的取值集合.19．已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)当时，方程有三个不相等的实数根，分别记为.①求的取值范围；②证明.1．B【分析】利用导数的几何意义求切线方程.【详解】因为，所以，所以切点为，又，由导数的几何意义知函数的图象在点处的切线斜率，故得函数的图象在点处的切线方程是，即为．故选：B2．A【分析】在上恒成立，即，构造函数，，求导得到其单调性，得到，得到，求出答案.【详解】由题意得在上恒成立，，故，即，令，，则在上恒成立，故在上单调递减，故，故，故a的最小值为.故选：A3．D【分析】由题意得有两个不相等的零点，列出不等式组求解即可.【详解】依题意知，有两个不相等的零点，故，解得且.故选：D.4．D【分析】由函数图象得出和的解，然后用分类讨论思想求得结论．【详解】由图象知的解集为，的解集为，或，所以或，解集即为．故选：D．5．A【分析】先对函数求导，代入，求出的值，进而求解的值即可.【详解】因为所以定义域为.所以当时，，，则故选：A6．B【分析】先求导函数，根据存在极值得出在给定区间有变号零点,设再根据导数求出最值即可求解.【详解】,函数在上存在极值，在该区间有变号零点.即,,单调递减,设，单调递增;单调递减;,,.故选:B.7．D【分析】构造函数，则转化得到在上单调递增，将题目转化为在上恒成立，再利用分离参数法即可得到答案.【详解】由题意,不妨设,因为对任意两个不等的正实数,都有,所以,即,构造函数,则,所以在上单调递增，所以在上恒成立,即在上恒成立,设,则，所以当时,单调递增，时,单调递减，所以，所以.故选：D.8．D【分析】分别讨论，，时的零点个数，求出恰有两个零点时实数的取值范围即可.【详解】，①当时，令，解得，若在内有零点，则，解得，即当时，在内有一个零点；②当时，令，解得，若在内有零点，则，解得，即当时，在内有一个零点；③当时，令，即，令，则，令，得，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，，当时，方程有一个实数根，即函数在内有一个零点，当时，方程有两个实数根，即函数在内有两个零点，综上所述，当时，函数无零点；当时，函数在内有一个零点；当时，函数在和内分别有一个零点，即有两个零点；当时，函数在内有一个零点；当时，函数在和内分别有一个零点，即有两个零点；当时，函数在内有一个零点，在内有两个零点，即有三个零点.函数恰有两个零点，实数的取值范围是.故选：D.9．BC【分析】结合选项中的函数，求得相应的导数，结合导函数的符号，即可判定函数的单调，得到答案．【详解】对于A中，函数，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以A不符合题意,对于B,函数（），可得，当时，，单调递增；故B符合，对于C中，,则，故单调递增；故C符合，对于D，函数，可得，当或时，，单调递增；当时，，单调递减，所以D不符合题意；故选：BC．10．BD【分析】对函数求导，分析其单调性得到其图象，可判断ABC，对应选项D，设函数的值域为，的值域为G，由求解判断.【详解】函数，，，令，得或；令，得；可得函数在和上单调递减，在单调递增，其大致图象如图：

对于，由上述分析可得A错误；，由，，得，所以切线为，故B正确；对于C，由方程只有一解，由图象可知，或，故C错误；对于D，设函数的值域为，函数的值域为，对于，，，对于，，，若，，使得成立，则，故D正确，故选：BD.11．AB【分析】A选项，转化同构形式，根据函数在上单调，可得，即；B选项，转化为研究函数的最小值问题即可；C选项，特值验证，找到满足条件即可；D选项，不等式变形、分离参数，转化为恒成立问题，构造函数研究最值即可.【详解】选项A，，则，且，由，得，当时，，则在上递增，所以当时，有唯一解，故，，故A正确；选项B，由A正确，得，设，则，令，解得易知在上单调递增，在上单调递减，，，，故B正确；选项C，由，，得，又验证知，故存在，使得，C错误；选项D，由，恒成立，即恒成立，令，则，由在上递增，又，，存在，使，在上递减，在上递增（其中满足，即）.，要使恒成立，，存在满足题意，故D错误.故选：AB.【点睛】方法点睛：在应用导数研究函数的综合题型中，在题干条件中同时出现指数函数和对数函数，通常可以考虑借助幂函数作为桥梁，通过变形转化为相同结构的式子，再构造函数研究问题，即指对同构思想的应用.12．－21【分析】首先利用导数判断函数的单调性和极大值，并求，再求解函数的极小值.【详解】函数的定义域为，，令，解得或，列表：00+单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以当时，函数有极大值，由题意得，解得，当时，函数有极小值.故答案为：13．【分析】分别设出直线与两曲线相切的切点，然后表示出直线的方程，再根据切线是同一条直线建立方程求解.【详解】设直线与曲线相切于点，因为，所以该直线的方程为，即，设直线与曲线相切于点，因为，所以该直线的方程为，即，所以，解得，所以该直线的方程为，故答案为：.14．【分析】先根据奇函数的定义推出为上的奇函数，再利用导数推出在上单调递增，再利用奇偶性和单调性将不等式化为对任意的恒成立，再参变分离得对任意的恒成立，然后构造函数，再利用导数求出其最小值可得结果．【详解】因为，所以为上的奇函数．又，所以在上单调递增，不等式对任意的恒成立，即对任意的恒成立，所以对任意的恒成立，即对任意的恒成立，令，所以，所以当时，，在上为增函数；当时，，在上为减函数，所以，设，显然为上的增函数，因为，，所以存在，使得，所以，此时，所以，即的最大值为．故答案为：．【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，，（1）若，总有成立，故；（2）若，总有成立，故；（3）若，使得成立，故；（4）若，使得，故．15．(1)(2)【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；（2）恒成立，即，利用导数求出函数的最小值即可.【详解】（1）若，则，，故，所以曲线在处的切线方程为，即；（2）恒成立，即，又，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，所以.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．16．(1)单调递减区间为，单调递增区间为(2)【分析】（1）利用导数研究函数的单调性即可得到答案；（2）由，把函数的零点个数问题等价转化为，两个函数的交点个数问题，令，利用导数法研究函数的单调性和极值，进而结合函数图象得到实数的取值范围．【详解】（1）将代入可得，其定义域为R，则.和都在上增函数，所以在上单调递增且，因此，当时，，函数为单调递减；当时，，函数为单调递增；综上所述，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．（2）（2）由得，，令，则，时，单调递减；时，单调递增；时，单调递减；由单调性可知，当时，；当时，；当时，取得极小值，即；当时，取得极大值，即.所以和的大致图象如下：综上所述，若有三个零点，则的取值范围为．17．（1）答案见解析；（2）．【分析】（1）求导后，分别在和的情况下，根据的正负得到函数单调性；（2）分别在、和三种情况下，得到在上的单调性，由单调性可确定最大值点，代入可得最大值.【详解】（1）由题意得：定义域为，，①当时，，在上单调递增；②当时，令得：，列表如下：＋－递增极大值递减在上单调递增，在上单调递减；综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）当时，由（1）知：①当，即时，在上单调递减，则；②当，即时，在上单调递增，在上单调递减，；③当，即时，在上单调递增，则；综上所述：.18．(1)y=2x(2){1}【分析】（1）先求出切点，再利用导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出结果；（2）通过构造函数，将问题转化成求的最小值，通过对进行分类讨论，利用导数与函数单调性间的关系，求出单调区间，进而求出结果.【详解】（1）当时，，所以，又，所以，故的图像在点处的切线方程为，即.（2）解法一：因为恒成立，恒成立，令函数，则

①当时，在区间恒成立，此时g(x)在区间单调递增，又，易知，所以，故不合题意，②当时，由可得

即令，则在区间上恒成立所以在区间上单调递增，又因为，所以存在，使得，两边同时取对数可得，则当时，，即，当时，，即，所以当时，，故要使恒成立，只需，令，则，由，得到，由，得到，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，，即，所以只有唯一解，即.综上，a的取值集合为.解法二：由题意可得恒成立，令，则在区间上恒成立，所以在区间上单调递增，又因为，所以，所以恒成立，即在区间上恒成立，令，又因为，要使恒成立，则是的极小值点，又因为，所以，解得.当时，令，，所以时，，时，，所以，满足题意.综上，a的取值集合为.【点睛】方法点睛：本题考查导数的几何意义，考查不等式恒成立问题，解题方法是把不等式变形为，然后由导数求得的最小值，解不等式即可得参数范围．19．(1)答案见解析(2)①；②证明见解析【分析】（1）应用导数讨论函数的单调性，分与讨论即可；（2）①结合函数的极值点即可求解；②构造函数与讨论即可.【详解】（1）函数的定义域为.又，令，得.当，即时，在恒成立，.当，即时，方程有两根，可求得：，因为所以，当和时，，为增函数，当时，，为减函数.综上：当时，在上单调递增，当时，在和上单调递增，在上单调递减.（2）当时，.①方程有三个不相等的实数根，即方程在上有三个不相等的实数根.令，则，令，求得：或