2024小升初数学思维专项模块训练10 牛吃草问题

第10讲牛吃草问题A一．选择题（共3小题）1．王奶奶家现有40个鸡蛋，还养了一只每天都要下一个蛋的母鸡，如果王奶奶每天吃3个鸡蛋，那么她可以这样连吃几天？（）A．13 B．17 C．19 D．20【考点】N9：牛吃草问题．版权所有【分析】共有40个鸡蛋，每天都会有一只鸡下一个蛋，每天吃3个，这样每天鸡蛋的数量在40的基础上每天减少2个．【解答】解：每天数量减少2个，40÷（3﹣1）=20（天）故选：D．【点评】本题的关键就是找到每一天鸡蛋减少的数量．鸡蛋总共的个数÷每天减少的数量=天数．问题解决．2．展览会上午9点开门，但早就有人排队等着入场，并且从第一个观众来到之后每分钟来到的人数是一定的，如果开3入场口，9点9分就不再有人排队了；如果开5个入场口，9点5分就没人排队了，问第一个观众来到的时间是（）A．8：15 B．8：30 C．8：45 D．8：50【考点】N9：牛吃草问题．版权所有【分析】以9点为分界线．把“入场口”看成“牛”，“来的人”看成“草”，9点前来的人为原有的草，之后来的人为生长的草．然后再用“牛吃草的公式”来解此题就可以了．【解答】解：①每分钟来的人数是（3×9﹣5×5）÷（9﹣5）=2÷4=0.5（份）②9点前来的人数是5×5﹣5×0.5=22.5（份）③22.5÷0.5=45（分钟）9点=8点60分8点60分﹣45分=8点15分=8：15故选：A．【点评】此题只要能正确区分“何为牛，何为草”就能顺利解答．3．一艘船发生漏水事故，立即安装两台抽水机向外抽水，此时已漏进水800桶．一台抽水机每分钟抽水18桶，另一台每分钟抽水14桶，50分钟把水抽完，每分钟漏进水（）桶．A．14 B．16 C．18 D．20【考点】N9：牛吃草问题．版权所有【分析】结合题意并运用“工作总量=工作效率×工作时间”公式，先求得50分钟两台抽水机共抽总水量1600桶，这说明50分钟漏进的水量是1600﹣800=800桶，然后即可求得答案．【解答】解：（18+14）×50=1600（桶）（1600﹣800）÷50=16（桶）故选：B．【点评】此题较简单，只要灵活运用“工作总量=工作效率×工作时间”公式即可轻松作答．二．填空题（共18小题）4．有一个温泉游泳池，池底有泉水不断涌出，要想抽干满池的水，10台抽水机需工作8小时，9台抽水机需工作9小时，为了保证游泳池水位不变（池水既不减少，也不增多），则向外抽水的抽水机需1台．【考点】N9：牛吃草问题．版权所有【分析】根据题意，只需求出每小时新增水即可，设1台抽水机1小时抽1份水，则每小时新增水：（9×9﹣10×8）=1，即只需要1台抽水机将新增水抽调就能保证游泳池水位不变．【解答】解：设1台抽水机1小时抽1份水，每小时新增水：9×9﹣10×8=1；答：向外抽水的抽水机需1台．【点评】此题属于典型的牛吃草问题，应仔细分析，找到解决问题的巧妙办法，迎刃而解．5．一艘轮船发生漏水事故，船长立即安排用两部抽水机同时向外抽水，当时已经漏进了600桶水，一部抽水机每分钟抽水18桶，另一部抽水机每分钟抽水22桶，经过24分钟把水抽完，这艘轮船每分钟漏进15桶水．【考点】N9：牛吃草问题．版权所有【分析】2部抽水机1分钟可以抽出18+22=40桶水，那么24分钟就抽出去960桶水，船体本来有600桶水，那么24分钟内，漏进船体的水为960﹣600=360桶水，所以每分钟漏进：600÷24=15（桶）．【解答】解：[（18+22）×24﹣600]÷24=[40×24﹣600]÷24=[960﹣600]÷24=600÷24=15（桶）答：这艘轮船每分钟漏进15桶水．故答案为：15．【点评】此题属于“牛吃草”问题，求出24分钟内漏进船体的水量，是解答此题的关键．6．自动扶梯以均匀的速度由下往上行驶，两个小孩嫌电梯太慢，急着从扶梯上楼，甲小孩每分钟走26级，乙小孩每分钟走14级，结果甲小孩用4分钟到达楼上，乙小孩用6分钟到达楼上，该扶梯共有144级．【考点】N9：牛吃草问题．版权所有【分析】由题意可知：乙小孩比甲小孩多上了20级，这正是扶梯在6﹣4=2分钟行驶的级数，即扶梯每分钟行驶20÷2=10级；刚该扶梯的级数就是孩子自己上的级数与扶梯自动上的级数之和，这样我们可据任意一孩的上楼情况求得该扶梯的级数．【解答】解：26×4﹣14×6=20（级）20÷2=10（级）26×4+10×4=144（级）答：该扶梯共有144级．【点评】此题并不难，只要明白题意和灵活运用“牛吃草问题”公式即可解答．7．王大妈家里原来有24个鸡蛋，而且还养了一只一天能下一个蛋的母鸡．王大妈一天要吃3个鸡蛋，家里的鸡蛋可以连续吃12天．【考点】N9：牛吃草问题．版权所有【分析】生蛋量为1只鸡一天下1只蛋，她家一天吃3个鸡蛋，吃的蛋比下的蛋每天多2个，不足的要从原有量里来补，所以，王大妈的鸡蛋能连续吃：24÷（4﹣2）=12（天）；据此解答即可．【解答】解：24÷（4﹣2）=24÷2=12（天）答：家里的鸡蛋可以连续吃12天．故答案为：12．【点评】本题为简单的牛吃草问题，根据原有量、生成量及每天的消耗量的关系进行解答即可．8．一牧场，17头牛30天可将草吃完，I9头牛24天可将草吃完，现有牛40头．吃6天后卖了4头．余下的牛再吃多少天便将草吃完？【考点】N9：牛吃草问题．版权所有【分析】假设每头牛每天吃1份草，17头牛30天吃17×30=510份，19头牛24天吃19×24=456份，多吃了510﹣456=54份，恰好是30﹣24=6天长的；每天就长54÷6=9份，原来牧场有（17﹣9）×30=240份，40头吃6天还剩240+6×9﹣40×6=54份，卖了4头还剩36头，余下的牛再吃54÷（36﹣9）天便将草吃完．【解答】解：假设每头牛每天吃1份草，17头牛30天比19头牛24天多吃：17×30﹣19×24=510﹣456=54（份），即每天长：54÷（30﹣24）=54÷6=9（份），所以原来牧场有：（17﹣9）×30=8×30=240（份），40头吃6天还剩240+6×9﹣40×6=240+54﹣240=54（份），卖了4头还剩40﹣4=36（头），余下的牛再吃54÷（36﹣9）=54÷27=2（天），答：余下的牛再吃2天便将草吃完．【点评】牛吃草问题的基本公式有：基本公式：生长量=（较长时间×长时间牛头数﹣较短时间×短时间牛头数）÷（长时间﹣短时间）；总草量=较长时间×长时间牛头数﹣较长时间×生长量．9．有3片牧场，场上的草长得一样密，而且长得一样快，它的面积为4亩、8亩和10亩．24头牛6星期吃完第一片牧场上的草；36头牛12星期吃完第二片牧场上的草，40头牛9星期才能吃完第二片牧牧场上的草．【考点】N9：牛吃草问题．版权所有【分析】由于两次的亩数不同，所以统一亩数：24头牛6星期吃4亩，看作24×2头牛6星期吃4×2亩，即48头牛6星期吃8亩；假设每头牛每星期吃1份草，48头牛6星期吃48×6=288份，36头牛12星期吃36×12=432份，多吃了432﹣288=144份，恰好是12﹣6=6星期长的；那么8亩每星期就长144÷6=24份，则每亩每星期就长24÷8=3份，原来牧场每亩的草量有48×6÷8﹣3×6=18份；那么8亩9星期后的草量为：18×8+3×9×8=360份，所以牛的数量是：360÷9=40头，据此解答即可．【解答】解：假设每头牛每周吃1份草；24头牛6星期吃4亩，也就是48头牛6星期吃8亩；8亩每星期长草的份数：（36×12﹣48×6）÷（12﹣6）=144÷6=24（份）；每亩每星期就长24÷8=3（份）；原来牧场每亩的草量有：48×6÷8﹣3×6=36﹣18=18（份）；8亩9星期后的草量为：18×8+3×9×8=144+216=360（份）；所以牛的数量是：360÷9=40（头）．答：40头牛9星期才能吃完第二片牧牧场上的草．故答案为：40．【点评】“牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题”，这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素；解这类题的关键是求出草每星期的生长量．数量关系是：草的总量=原有草量+草每星期生长量×星期数．10．26头牛吃了3亩草地的草，3天可以吃完，17头牛吃28亩同样草地的草，84天可以吃完，问：同样的牧草40亩可供35头牛食用24天．（每亩草地原有草量相等，草生长速度相等）（用算数法解）【考点】N9：牛吃草问题．版权所有【分析】设每头牛每天吃草量为1份，根据：（牛的头数×吃草较多的天数﹣牛头数×吃草较少的天数）÷（吃的较多的天数﹣吃的较少的天数）=草地每天新长草的量，所以草的生长速度为：（17×84﹣26×28）÷（26×84﹣17×84）=；一头牛一天的吃草量为：（3+3×）÷（3×26）=；24天吃40亩地的牛数为：（40+24×）÷（24×）=35（头）．【解答】解：草的生长速度为：（17×84﹣26×28）÷（26×84﹣17×84）=（1428﹣728）÷（2184﹣1428）=700÷756=一头牛一天的吃草量为：（3+3×）÷（3×26）=（3+）÷78=÷78=24天吃40亩地的牛数为：（40+24×）÷（24×）=（40+）÷=×=35（头）答：同样的牧草40亩可供35头牛食用24天．故答案为：35．【点评】本题与一般的牛吃草的问题有所不同，关键的是求出青草的每天生长的速度（份数）和草地原有的草的份数；知识点：（牛的头数×吃草较多的天数﹣牛头数×吃草较少的天数）÷（吃的较多的天数﹣吃的较少的天数）=草地每天新长草的量；牛的头数×吃草天数﹣每天新长量×吃草天数=草地原有的草量．11．一片草地，每天都匀速长出青草，可供24头牛吃6天，也可供20头牛吃10天，这片草地可供19头牛吃12天．【考点】N9：牛吃草问题．版权所有【分析】设每头牛每天吃草一份，根据“可供24头牛吃6天，也可供20头牛吃10天，”可以求出草每天生长量，列式为：（20×10﹣24×6）÷（10﹣6）=14（份）；还可求出草地原有草的份数，列式为：20×10﹣10×14=60（份）；由于每头牛每天吃草一份，草每天生长14份，那么可供（60+14×12）÷12=19头牛吃12天．【解答】解：设每头牛每天吃草一份，草的生长速度：（20×10﹣24×6）÷（10﹣6）=56÷4=14（份）草地原有草的份数：20×10﹣14×10=200﹣140=60（份）（60+14×12）÷12=228÷12=19（头）答：可供19头牛吃12天．故答案为：19．【点评】牛吃草问题关键是求出草的生长速度和草地原有草的份数．12．林子里有猴子喜欢吃的野果，23只猴子可在9周内吃光，21只猴子可在12周内吃光，问如果要4周吃光野果，则需有33只猴子一起吃（假定野果生长的速度不变）【考点】N9：牛吃草问题．版权所有【分析】把每只猴吃的野果数量视为1份，23只猴9周吃掉23×9=207份，21只猴12周吃掉21×12=252份，那么12周与9周时间相差的252﹣207=45份就是12﹣9=5周新长的，则每周新长（252﹣207）÷（12﹣9）=15份，原有野果207﹣15×9=72份，4周吃完，那么有猴子72÷4=18只，每周新长的15份可共15只猴子吃，所以一共有猴子18+15=33只，据此解答即可．【解答】解：把每只猴吃一周的野果数量视为1份，23只猴9周吃掉：23×9=207（份）21只猴12周吃掉：21×12=252（份）则每周新长：（252﹣207）÷（12﹣9）=15（份）原来一开始吃之前已经有：207﹣15×9=72（份）72÷4=18（只）18+15=33（只）答：则需有33只猴子一起吃．故答案为：33．【点评】这是典型的牛吃草问题，利用题中的两种假设求出野果每天长的份数和原来野果的份数为本题解答的突破口．13．一块草地，每天长草的数量相同，10头牛能吃22天，16头牛能吃10天，问27头牛能吃5天．【考点】N9：牛吃草问题．版权所有【分析】假设每头牛每天吃青草1份，先求出青草的生长速度：（10×22﹣16×10）÷（22﹣10）=5（份）；然后求出草地原有的草的份数16×10﹣5×10=110（份）；再让27头牛中的5头吃生长的草，剩下的27﹣5=22头牛吃草地原有的110份草，可吃：110÷22=5天．【解答】解：假设每头牛每天吃青草1份，青草的生长速度：（10×22﹣16×10）÷（22﹣10）=60÷12=5（份）草地原有的草的份数：16×10﹣5×10=160﹣50=110（份）每天生长的5份草可供5头牛去吃，那么剩下的27﹣5=22头牛吃110份草：110÷（27﹣5）=110÷22=5（天）答：这片草地可供27头牛吃5天．故答案为：5．【点评】牛吃草的问题关键的是求出青草的生长速度和草地原有的草的份数．14．王妈妈家原有30个鸡蛋，还养了一只一天能下一个蛋的母鸡，王妈妈家一天要吃2个鸡，这些鸡蛋够王妈妈家连续吃30天．【考点】N9：牛吃草问题．版权所有【分析】每天增加1个，减少2个，那么每天需从30个鸡蛋中吃掉1个，这样看来一共需要吃30天，据此解答即可．【解答】解：30÷（2﹣1）=30÷1=30（天）；答：这些鸡蛋够王妈妈家连续吃30天．故答案为：30．【点评】本题为简单的牛吃草问题根据原有量、生成量及每天的消耗量的关系进行解答即可．15．有一片草场，10头牛8天可以吃完草场上的草；15头牛，如果从第二天开始每天少一头，可以5天吃完．那么草场上每天长出来的草够5头牛吃一天．【考点】N9：牛吃草问题．版权所有【分析】转换思想，将15头牛，如果从第二天开始每天少一头，可以5天吃完转换成13头牛吃5天即可解决问题．【解答】解：依题意可知：10×8﹣（15+14+13+12+11）=15（份）．15头牛，如果从第二天开始每天少一头，可以5天吃完可以转换成13头牛吃5天．15÷（8﹣5）=5（份）故答案为：5【点评】本题考查对牛吃草问题的理解和运用，关键问题是找到转换过程，问题解决．16．一块均匀生长的草地按照1：2：3的面积比分成三块，一群牛先用12天时间吃完了第一块草地的草，接着又用48天吃完了第二块草地的草．此时，这群牛需要288天才能够吃完第三块草地的草．（当牛在某块草地吃草时，其他草地上的草正常生长）【考点】N9：牛吃草问题．版权所有【分析】假设第一块地一天的生长量为1份，那么第二块到第12天的时候，草量可以供这群牛吃12×2=24（天），因此后48﹣24=24天吃的量是这块地48天的生长量．48天的生长量是48×2=96份，因此每天这群牛吃96÷24=4份．第三块地到第12天的时候，含草量可以供这群牛吃12×3=36天，接着48天的生长量是48×3=144份，在此之后这块地每天生长3份，前12天的含草量是12×3×4=144（份），所以第三块地够牛吃（144+144）÷（4﹣3）=288天【解答】解：12×3=36（天）48×2÷（48﹣12×2）=412×3×4=144（份）48×3=144（份）（144+144）÷（4﹣3）=288（天）故填288【点评】这题的关键是求出这群牛每天的吃草量和草地原有的含草量．17．有一块草场，可供14头牛吃8天，或可供8头牛吃20天，如果一群牛16天将这块草场的草吃完，那么这群牛有9头．【考点】N9：牛吃草问题．版权所有【分析】先根据“14头牛吃8天或8头生吃20天”求出草的生长量与原有草的量，再由公式“草总量=原有草量十生长量×相应的天数=牛的头数×相应的天数”便可求得答案．【解答】解：①草每天生长量是（8×20﹣14×8）÷（20﹣8）=48÷12=4②草原有量是14×8﹣4×8=80③（80+16×4）÷16=9（头）故：这群牛有9头．【点评】此题只要灵活掌握与应用“牛吃草的公式”就可以了．18．某公交公司的停车场内有15辆车，6时整第一辆车开车，以后每隔6分钟再开车一辆．第一辆车开出30分钟后，有一辆车进场，以后每隔8分钟有一辆车进场，如此进出．则到10点12分时，停车场第一次出现无车辆的情况．【考点】N9：牛吃草问题．版权所有【分析】根据题意，我们知道停车场是从第7辆车开出后车场出现出进变化的，第7辆车开出时的时间是6：36；假设从6时36分起x分钟时停车场内第一次出现无车辆，此时总共出车S辆，进场车y辆．根据从6时36分开始发车（这时6：36看做是第一辆车开出），以后每隔6分钟再开出一辆，列出关系式x=6（S﹣1）．根据第一辆车开出8﹣6=2分钟后有一辆车进场，以后每隔8分钟有一辆车进场，进场的车在15﹣6+1=10辆车后依次再出车，且停车场内第一次出现无车辆，列出关系式S=y+10与8y＞x﹣2，解三个关系式，即为所求．【解答】解：（1）到6：30时，已开出车辆为30÷6+1=6，此时开出第6辆车，同时也进了1辆车，所以停车场的车辆数是15﹣6+1=10辆．（2）设从6：36起x分钟时停车场内第一次出现无车辆，此时总共出车S辆，进场车y辆，则x=6×（S﹣1）…①S=y+10…②8y＞x﹣（8﹣6）…③把①②代入③得8×（S﹣10）＞6×（S﹣1）﹣2解得S＞36所以S最小整数为37即S=37，也就是说到第37辆车开出后，停车场内第一次出现无车辆．此时x=6×（37﹣1）=216（分）=3时36分6：36+3：36=10：12答：10点12分时，停车场第一次出现无车辆的情况．【点评】解此题的关键是把停车场车辆的变化分成两块，一块是车辆只减不加，另一块是也减也加（这块的开始时间为6时36分）进行解答．19．在植物之国，律子小姐找到了一波小春香，律子小姐要抓小春香们回去，但是小春香们和当地的植物结成了好朋友，而植物们正遭到邻国﹣﹣僵尸之国的侵略，于是小春香们决定帮助植物朋友们打退僵尸之国的侵略再回事务所．已知，僵尸之国正源源不断地派遣僵尸进攻植物之国，如果有30只小春香帮忙，那么9小时可以打退僵尸之国的侵略军；如果有40只小春香帮忙，那么6小时可以打退僵尸之国的侵略军．现在在场的小春香一共有50只，她们决定全部都去帮忙，那么4.5小时就可以打退僵尸之国的侵略军．【考点】N9：牛吃草问题．版权所有【分析】因为僵尸之国源源不断地派遣僵尸进攻植物之国，因此应先求出僵尸之国每小时派遣僵尸的数量，根据两次的数量差与时间差，可得（30×9﹣40×6）÷（9﹣6）=10（只）；然后求出原有僵尸的数量，进一步解决问题．【解答】解：僵尸之国每小时派遣僵尸：（30×9﹣40×6）÷（9﹣6）=（270﹣240）÷3=30÷3=10（只）原有僵尸：40×6﹣10×6=240﹣60=180（只）50只小春香打退僵尸之国的侵略军的时间：180÷（50﹣10）=180÷40=4.5（小时）答：4.5小时就可以打退僵尸之国的侵略军．故答案为：4.5．【点评】解决此类问题的难点在于睡着时间的增长，僵尸的数量也在不断的匀速增长，所以僵尸的数量不定．只有理解“牛吃草”的问题的本质和解题思路，才能轻松解决此类问题．20．火车站的检票处票前已有一些人等待检票进站，假如每分钟前来检票处排队检票的人数一定，那么当开一个检票口时，27分钟后就无人排队；当开两个检票口时，12分钟就无人排队，如果要在6分钟后就无人排队，那么至少需要开4个检票口．【考点】N9：牛吃草问题．版权所有【分析】这个是牛吃草的变形题，牛吃草问题的关键求原草量和草速，在做题过程中出现小数也没关系，先计算最后化为整数．【解答】解：依题意可知：每分钟人数差：（1×27﹣2×12）÷15=0.2；开始等待检票的人数为：（1﹣0.2）×27=21.6；在6分钟后无人排队：21.6÷6+0.2=3.8（个）；检票口为整数是4个．故答案为：4【点评】本题考查牛吃草的理解和运用，关键求出人数差和原来的人数，0.2的意思是5分钟来1个人，所以不用取整，问题解决．21．小宝家有10个鸡蛋，他们家还有一只每天下一个蛋的母鸡．若小宝家每天吃两个鸡蛋，那么他家在不买鸡蛋的情况下，可以连续10天按计划吃蛋．【考点】N9：牛吃草问题．版权所有【分析】根据“小宝家有10个鸡蛋，若小宝家每天吃两个鸡蛋，”又因为“他们家还有一只每天下一个蛋的母鸡”，生蛋量为一只鸡一天下一只蛋，她家一天吃2个鸡蛋，吃的蛋比下的蛋每天多一个，不足的要从原有量里来拿．【解答】解：因为：2﹣1=1（个）吃的蛋比下的蛋每天多一个，10÷1=10（天）；所以10个鸡蛋可以吃10天；答：可以连续10天按计划吃蛋．故答案为：10【点评】解决此题的关键是，理解关键条件，即“吃的蛋比下的蛋每天多一个．”充分把握题中的数量关系，列式解答即可．三．计算题（共1小题）22．有一片牧草每天匀速生长，可供10头牛吃12天，可供8头牛吃20天，那么最多可以养多少头牛，使得这片草永远吃不完？【考点】N9：牛吃草问题．版权所有【分析】设每头牛每天吃1份草．10头牛吃12天，说明12天长的草+原来的草共：12×10=120份；8头牛吃20天，说明20天长的草+原来的草共20×8=160份；所以（20﹣12=8）天长的草为160﹣120=40份，即每天长5份，这样原来草为120﹣5×12=60份，那么草地每天长的草够5头牛吃一天．若要牧草永远吃不完，牛只能吃新长的草，所以最多只能放5头牛．【解答】解：设每头牛每天吃1份草；草的生长速度即每天长的份数为：（20×8﹣12×10）÷（20﹣12），=（160﹣120）÷8=40÷8=5（份）；那么草地每天长的草够5头牛吃一天，若要牧草永远吃不完，牛只能吃新长的草，所以最多只能放5头牛；答：最多放5头牛吃这片牧草，才能使这片草永远吃不完．【点评】这是典型的牛吃草问题，利用题中的两种假设求出草每天长的份数和原来草的份数为本题解答的突破口．四．解答题（共28小题）23．一片草地，每天都匀速长出青草，如果可供24头牛吃6天，20头牛吃10天，那么可供19头牛吃几天？【考点】N9：牛吃草问题．版权所有【分析】假设每头牛每天吃青草1份，先求出青草的生长速度：（20×10﹣24×6）÷（10﹣6）=14（份）；然后求出草地原有的草的份数24×6﹣14×6=60（份）；再让19头牛中的14头吃生长的草，剩下的5头牛吃草地原有的60份草，可吃：60÷5=12天．【解答】解：假设每头牛每天吃青草1份，青草的生长速度：（20×10﹣24×6）÷（10﹣6）=56÷4=14（份）；草地原有的草的份数：24×6﹣14×6=144﹣84=60（份）；每天生长的14份草可供14头牛去吃，那么剩下的19﹣14=5头牛吃60份草：60÷（19﹣14）=60÷5=12（天）；答：这片草地可供19头牛吃12天．【点评】牛吃草的问题关键的是求出青草的生长速度和草地原有的草的份数．24．牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长．这片牧草可供18头牛吃10天，或者可供24头牛吃7天．（1）可供32头牛吃几天？（2）多少头牛恰好14天把草吃完？【考点】N9：牛吃草问题．版权所有【分析】本题考察牛吃草问题．【解答】解：（1）（18×10﹣24×7）÷（10﹣7）=4（份）（18﹣4）×10=140（份）140÷（32﹣4）=5（天）（2）140÷14+4=14（头）答：（1）可供32头牛吃5天；（2）14头牛恰好14天把草吃完．【点评】本题关键在于先计算出每天牧草的增量，从而计算出原有草量，即可求解．25．一片草地，每天都匀速长出青草，这些青草可供8头牛吃30天或供15头牛吃15天，那么这片草地可供16头牛吃几天？【考点】N9：牛吃草问题．版权所有【分析】因为总草量可以分成两部分：原有的草与新长出来的草．新长出来的草虽然在变，但应注意到是匀速生长的．因而这片草地每天新张的草的数量也是不变的．假设1头牛一天吃的草的数量为1份，那么8头牛30天需要吃30×8=240份草，此时新草与原有的草也均被吃完；15头牛15天需吃15×15=225份草，此时新草与原有的草也都被吃完．而240份草是原有的草的数量与30天新长出的草的数量的总和．225份是原来的草的数量与15天新长出的草的数量的总和，因此每天新长出来的草的份数为：（240﹣225）÷（30﹣15）=1（份）．原有草的数量为：240﹣30×1=210（份）．这片草地可供16头牛吃：210÷（16﹣1）=14（天）．【解答】解：设每1头牛1天吃的草为1份，那么牧场每天长新草：（30×8﹣15×15）÷（30﹣15）=15÷15=1（份）原来的牧场有草：240﹣30×1=210（份）吃旧草的牛有：16﹣1=15（头）吃完草的时间：210÷15=14（天）答：这片草地可供16头牛吃14天．【点评】这片草地上草的数量每天都在变化，解题的关键应找到不变的量（即原来的草的数量）．26．一片草地，每天都匀速长出青草，这些青草可供21头牛吃5周或供18头牛吃8周，那么这片草地可供15头牛吃几周？【考点】N9：牛吃草问题．版权所有【分析】假设每头牛每周吃青草1份，21头牛5周吃21×5份，18头牛8周吃18×8份，先求出青草的生长速度：（18×8﹣21×5）÷（8﹣5）=13（份）；然后求出草地原有的草的份数（21﹣13）×5=40（份）；再让15头牛中的13头吃生长的草，剩下的2头牛吃草地原有的40份草，可吃：40÷2=20（周）．【解答】解：假设每头牛每周吃青草1份，青草的生长速度：（18×8﹣21×5）÷（8﹣5）=39÷3=13（份）草地原有的草的份数：（21﹣13）×5=8×5=40（份）15头牛吃：40÷（15﹣13）=40÷2=20（周）答：这片草地可供15头牛吃20周．【点评】牛吃草的问题关键的是求出青草的生长速度和草地原有的草的份数．27．某新建储油罐装油后发现底部匀速向外漏油，为了安全并减少损失，需要将油抽干后进行维修，现在有同样功率的小型抽油泵若干台，若5台一起抽需10小时抽干，7台一起抽需8小时抽干．要在3小时内将油抽干．至少需要多少台抽油泵一起抽？【考点】N9：牛吃草问题．版权所有【分析】把每台油泵每小时的抽油量看作是“1”，用5台油泵10小时可将油抽干，可以看作1台油泵5×10=50小时将油抽干，用7台抽油泵8小时也可将油抽干，可以看作1台抽油泵7×8=56小时将油抽干，因为漏油是不变的，所以先求出每小时的漏油量（7×8﹣5×10）÷（10﹣8）=3，再求出油罐装油的油量即为：5×10+3×10=80，最后用油罐装油的油量扣除3小时漏油的量再除以3小即可解答．【解答】解：（7×8﹣5×10）÷（10﹣8）=6÷2=35×10+3×10=50+30=80（80﹣3×3）÷3=71÷9≈8（台）答：至少需要8台抽油泵一起抽．【点评】解答本题的关键是求出油罐装油量，以及每小时的漏油量．28．一牧场上青草每天匀速生长，这片青草可供27头牛吃8周，也可供22头牛吃13周．那么可供18头牛吃几周？【考点】N9：牛吃草问题．版权所有【分析】假设每头牛每周吃青草1份，先求出青草的生长速度：（22×13﹣27×8）÷（13﹣8）=14（份）；然后求出草地原有的草的份数27×8﹣14×8=104（份）；再让18头牛中的14头吃生长的草，剩下的4头牛吃草地原有的104份草，可吃：104÷4=26（周）；据此解答即可．【解答】解：假设每头牛每周吃青草1份，青草的生长速度：（22×13﹣27×8）÷（13﹣8）=70÷5=14（份）；草地原有的草的份数：27×8﹣14×8=216﹣112=104（份）；每周生长的14份草可供14头牛去吃，那么剩下的18﹣14=4头牛吃104份草：104÷（18﹣14）=104÷4=26（周）；答：可供18头牛吃26周．【点评】牛吃草的问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素．关键的是求出青草的每周减少的速度（份数）和草地原有的草的份数．29．由于天气干旱，村委会决定用抽水机抽取水库中剩余的水浇灌农田，假如每天水库的水以均匀的速度蒸发掉，经计算，若用20台抽水机全力抽水，水库中水可以用5周，若用16台抽水机抽水，书库中的水可用6周，若用11台抽水机，水库中的水可用几周？【考点】N9：牛吃草问题．版权所有【分析】把一台抽水机一周抽水量看作1单位，20台抽水机全力抽水，水库中水可以用5周，第一种情况总水量为20×5=100单位；16台抽水机抽水，书库中的水可用6周，第二种情况总水量为16×6=96单位；第二种情况比第一种情况少的水量，即水的蒸发量，即100﹣96=4单位；第二种情况比第一种情况多的天数为6﹣5=1周，那么一周蒸发的水量是4÷1=4单位；水库原有水量为100+4×5=120单位；用11台抽水机，每周的抽水量为11+4=15单位；用水库总数量除以15就是抽的时间，即120÷15=8周．【解答】解：设一台抽水机一周抽水量看作1单位；（20×5﹣16×6）÷（6﹣5）=（100﹣96）÷1=4÷1=4（单位）；20×5+4×5=100+20=120（单位）；120÷（11+4）=120÷15=8（周）．答：若用11台抽水机，水库中的水可用8周．【点评】此题属于“牛吃草问题”，解答此题的关键是求出水每周蒸发量及水库原有存水量是多少．30．牧场上长满牧草，可供10头牛吃3天，可供5头牛吃8天，如果牧草每天匀速生长，那么可供多少头牛吃2天？【考点】N9：牛吃草问题．版权所有【分析】设每头牛每天吃草一份，根据“可供10头牛吃3天，可供5头牛吃8天，”可以求出草每天生长量，列式为：（5×8﹣3×10）÷（8﹣3）=2份；还可求出草地原有草的份数，列式为：3×10﹣2×3=24份；由于每头牛每天吃草一份，草每天生长2份，这每天生长的2份刚好够2头牛，不停地吃下去，则草地原有的草24份，吃2天需要24÷2=12头牛，然后再加2即可．【解答】解：设每头牛每天吃草一份，草的生长速度：（5×8﹣3×10）÷（8﹣3）=10÷5=2份草地原有草的份数：3×10﹣2×3=30﹣6=24份24÷2+2÷1=12+2=14（头）答：可供14头牛吃2天．【点评】牛吃草问题关键是求出草的生长速度和草地原有草的份数．31．中国第一艘航空母舰“辽宁舰”上停着5架战斗机，第1架起飞后，每隔4分钟便有一架接着起飞，在第1架起飞2分钟后，有一架战机飞回到舰上降落，此后每隔6分钟，有一架战机降落；降落的战机依次每隔4分钟在原有5架战机之后起飞，从第一架战机起飞，经过多少分钟航空母舰上就没有战斗机？【考点】N9：牛吃草问题．版权所有【分析】因为当最后航空母舰剩下1架飞机的时候，如果再起飞，就不再考虑降落的飞机，所以假设x分钟后航空母舰上剩下一架飞机，那么根据植树问题可以求得航空母舰上起飞的飞机的数量，列式为：x÷4+1架，在这段时间内降落的飞机的数量为：（x﹣2）÷6+1架，原来航空母舰停着的5架飞机除掉最后剩的一架起飞了：5﹣1=4架，因此原来的5架加降落的（x﹣2）÷6+1架，共起飞：（x﹣2）÷6+1+5架，进而列方程：x÷4+1=（x﹣2）÷6+1+5；解得x=56分钟；然后加上最后剩下1架飞机起飞的时间4分钟，56+4=60分钟，据此解答．【解答】解：根据分析可得，假设x分钟后机场上剩下一架飞机，x÷4+1=（x﹣2）÷6+1+5x÷4+1=（x﹣2）÷6+63x+12=2x﹣4+723x﹣2x=72﹣4﹣12x=5656+4=60（分钟）；答：从第一架战机起飞，经过60分钟航空母舰上就没有战斗机．【点评】这个题目类似于“青蛙跳井”问题，我们不能直接求最终结果，否则我们会忽略在临界点（56分钟）状态的一些变化，即最后一架起飞的时候我们就无需考虑下降的飞机了，因为这时航空母舰已经没有飞机起飞了．32．地球现在的资源可供60亿人生活300年，也可供80亿人生活200年，求120亿人可以生活多久？【考点】N9：牛吃草问题．版权所有【分析】设地球每亿人每年消耗资源量为一份，根据“可供60亿人生活300年”可得总份数：60×300=18000份，根据“可供80亿人生活200年．”可得总份数：80×200=16000份，那么在（300﹣200）年内新生成的资源相当于（18000﹣16000）份，则每年新生成的资源为：（18000﹣16000）÷（300﹣200）=20（份）；原有的资源有18000﹣20×300=12000（份），每年新生成的资源能为20亿人使用，所以120亿人可以生活12000÷（120﹣20）=120（年）；据此解答即可．【解答】解：设地球每亿人每年消耗资源量为1份，60×300=18000（份），80×200=16000（份），（18000﹣16000）÷（300﹣200）=2000÷100=20（份），18000﹣20×300=18000﹣6000=12000（份），12000÷（120﹣20）=12000÷100=120（年）；答：120亿人可以生活120年．【点评】本题关键是求出地球上新生成的资源的增长速度，理解要使人类能够不断繁衍，人类只能消耗地球上新生成的资源，从中让学生明白保护地球资源的重要性．33．有一片草地，32头牛可以吃12天，或24头牛吃18天，问16头牛可以吃几天？【考点】N9：牛吃草问题．版权所有【分析】设每头牛每天吃草1份，根据“32头牛可以吃12天，或24头牛吃18天．”可以求出草每天生长的份数：（24×18﹣32×12）÷（18﹣12）=8（份）；再根据“24头牛吃18天，”可以求出草地原有的草的份数：（24﹣8）×18=288（份）；由于草每天生长8份，可供16头牛中的8头吃，剩下的8头吃草地原有的288份，可吃288÷8=36（天）；问题得解．【解答】解：设每头牛每天吃草1份，则草每天生长：（24×18﹣32×12）÷（18﹣12）=（432﹣384）÷6=48÷6=8（份）；原有的草量：（24﹣8）×18=288（份）；16头牛吃：288÷（16﹣8）=288÷8=36（天）；答：16头牛可以吃36天．【点评】此题属于典型的牛吃草的最基本类型的题目，只要设出每头牛每天吃“1”份草，求出牧场每天的长草量和牧场原有的草量，问题即可解决．34．一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内，如果3人淘水40分钟可以淘完；6人淘水16分钟可以把水淘完，那么，5人淘水几分钟可以把水淘完？【考点】N9：牛吃草问题．版权所有【分析】这是典型的牛吃草问题，要先求出变化的量（船每分钟涌进的水量）和不变的量（船里原有的水量）；由于每人的工作效率是一定的，所以可以用3人淘水和6人淘水的工作总量之差÷时间差（40﹣16）即为船每分钟涌进的水量，然后用三人40分钟的工作总量﹣40分钟涌进的水量就是船里原有的水量，进而可以求出5人，多少时间可以把水淘完．【解答】解：设每人每分钟的淘水量为1份，船每分钟涌进的水量为：（3×40﹣6×16）÷（40﹣16）=24÷24=1（份）船里原有水量为：3×40﹣40×1=80（份）或6×16﹣16×1=80（份）；船每分钟涌进的水即1份，要用1人去淘，剩下5﹣1=4人就要去淘原有的水：80÷（5﹣1）=80÷4=20（分钟）答：5人淘水20分钟可以把水淘完．【点评】本题关键是先求出：船每分钟涌进的水量和船里原有的水量，这是牛吃草问题应用题解答的突破口．35．展览会8点半开门，但早就有人排队等着入场，并且从第一个观众来到之后每分钟来到的人数是一定的，如果开4个入场口，8点42分就不再有人排队了，如果开5个入场口，8点39分就没人排队了．问第一个观众几点来的？【考点】N9：牛吃草问题．版权所有【分析】8点半开门，开4个入场口，8点42分就不再有人排队了，如果开5个入场口，8点39分就没人排队了，那么来人的速度是：[（42﹣30）×4﹣（39﹣30）×5]÷[（42﹣30）﹣（39﹣30）]=1；用开4个入场口进入的总人数减去这段时间来的人数就是开门之前来人，即（42﹣30）×4﹣（42﹣30）×1=36人；第一个观众来的时间距开门时间：36÷1=36分；再用8点半时减去36分即可求出答案．【解答】解：[（42﹣30）×4﹣（39﹣30）×5]÷[（42﹣30）﹣（39﹣30）]=[12×4﹣9×5]÷[12﹣9]=[48﹣45]÷3=3÷3=1；（42﹣30）×4﹣（42﹣30）×1=12×4﹣12×1=48﹣12=36；36÷1=36（分）；8点半﹣36分=7点54分．答：第一个观众是7点54分来的．【点评】这是“牛吃草”问题，关键利用前两次开口不同，通过人的差除以时间差得到来人的速度，然后利用速度解决问题．36．有一个酒桶坏了，每天匀速地往外面流失酒，所以酒桶里面的酒可供7人喝6天，或者供5人喝8天，若1人独饮，可以喝多少天？【考点】N9：牛吃草问题．版权所有【分析】设每人每天喝1份，根据“酒桶里面的酒可供7人喝6天，或者供5人喝8天．”可以求出酒每天匀速流失的份数：（7×6﹣5×8）÷（8﹣6）=1（份）；再根据“7人喝6天，”可以求出酒桶原有的酒的份数：（7﹣1）×6=36（份）；由于酒每天匀速流失1份，所以36÷（1+1）=18天问题得解．【解答】解：设每人每天喝1份，酒每天匀速流失：（7×6﹣5×8）÷（8﹣6）=（42﹣40）÷2=2÷2=1（份），酒桶原有的酒的份数：（7﹣1）×6=6×6=36（份），若1人独饮，36÷（1+1）=36÷2=18（天），答：若1人独饮，可以喝18天．【点评】本题是典型的牛吃草问题，这种问题关键是求出酒每天匀速流失的份数和酒桶原有的酒的份数．37．22头牛54天可吃完3.3公顷牧场上的青草，17头牛84天可以吃完2.8公顷牧场上的全部青草，多少头牛24天可以吃完4公顷牧场上的全部青草？【考点】N9：牛吃草问题．版权所有【分析】设每头牛每天吃草量为1份，每公顷原有草量为x份，每天每公顷新长草量为y份，根据“22头牛54天可吃完3.3公顷”可列方程为：54×（22﹣3.3y）=3.3x，①；再根据“17头牛84天可以吃完2.8公顷”可列方程为：84×（17﹣2.8y）=2.8x，②，然后解①②两个方程得y=5，x=90；那么可以求出第三个牧场4公顷可供吃24天的头数：（4×90+5×4×24）÷24=35（头）；据此解答．【解答】解：每头牛每天吃草量为1份，每公顷原有草量为x份，每天每公顷新长草量为y份，54×（22﹣3.3y）=3.3x，①84×（17﹣2.8y）=2.8x，②把方程①②联立，解得：y=5，x=90那么：（4×90+5×4×24）÷24=360÷24+20=35（头）；答：35头牛24天可以吃完4公顷牧场上的全部青草．【点评】本题与一般的牛吃草的问题有所不同，关键的是求出青草的每天生长的速度（份数）和草地原有的草的份数；知识点：（牛的头数×吃草较多的天数﹣牛头数×吃草较少的天数）÷（吃的较多的天数﹣吃的较少的天数）=草地每天新长草的量；牛的头数×吃草天数﹣每天新长量×吃草天数=草地原有的草量．38．有一块牧场，草每天生长的速度相同，这块牧场可供5头牛吃30天，16头牛吃8天，则它可供21头牛吃多少天？【考点】N9：牛吃草问题．版权所有【分析】设每头牛每天吃草1份，根据“这片草地可供5头牛吃30天，或供16头牛吃8天．”可以求出草每天生长的份数：（5×30﹣16×8）÷（30﹣8）=1（份）；再根据“5头牛吃30天，”可以求出草地原有的草的份数：（5﹣1）×30=120（份）；由于草每天生长1份，可供21头牛中的1头吃，剩下的20头吃草地原有的120份，可吃120÷20=6（天）；问题得解．【解答】解：设每头牛每天吃草1份，则草每天生长：（5×30﹣16×8）÷（30﹣8）=（150﹣128）÷22=22÷22=1（份）；原有的草量：（5﹣1）×30=4×30=120（份）；21头牛吃：120÷（21﹣1）=120÷20=6（天）；答：它可供21头牛吃6天．【点评】本题是典型的牛吃草问题，这种问题关键是求出草每天生长的份数和草地原有的草的份数；可以利用两种假设条件“5头牛吃30天，或供16头牛吃8天”求出．39．春运高峰，售票假设窗口早早地排好了队，陆续还有人均匀的来购票．假如开设5个售票窗口，30分钟可缓解排队现象．如果开设6个售票窗口，那么20分钟才能缓解排队现象．现在要求10分钟缓解排队现象．问：应该开设几个售票窗口？【考点】N9：牛吃草问题．版权所有【分析】设每道门每分钟来参观的人数为一份；先根据“打开4道门让人们进馆参观，30分钟就不再有排队的现象．打开5道门时，20分钟就不再有排队的现象．”利用：份数差÷时间差求出每道门每分钟增加的人数；然后再求出每道门原有参观的人数，列式为30×4﹣2×30=60（份）；进而根据（每道门原有参观的人数+6分钟增加的人数）÷时间，可以求出现在需要同时打开的门数：（60+2×6）÷6，解答即可．【解答】解：设每道门每分钟来参观的人数为一份；每道门每分钟增加的人数为：（30×4﹣20×5）÷（30﹣20）=20÷10=2（份）每道门原有参观的人数：30×4﹣2×30=120﹣60=60（份）现在需要同时打开的门数：（60+2×6）÷6=72÷6=12（道）答：如果要在6分钟不再有排队的现象，则需要同时打开12道门．故答案为：12．【点评】本题关键是利用：两种情况的份数差÷时间差=每分钟增加的份数，求出每道门每分钟增加的人数和每道门原有参观的人数．40．牧场上的草每天以均匀的速度生长，如果牧场上的草可供17头牛吃30天，或可供19头牛吃24天．现有36头牛吃2天后，又增加了几头牛，再用6天吃光所有的草，问增加了几头牛？【考点】N9：牛吃草问题．版权所有【分析】设每头牛每天吃草1份，根据“17头牛吃30天，或供19头牛吃24天”可以求出草每天生长的份数列式为：（17×30﹣19×24）÷（30﹣24）=9（份）；再根据：“17头牛吃30天，”可以求出草地原有的草量：（17﹣9）×30=240（份）；然后减去“36头牛吃了2天”中原有的份数即（36﹣9）×2=54（份），剩下的份数是：240﹣54=186（份）；再用6天吃光所有的草，过6天后草的份数应是186+9×6=240（份），则36头牛6天要吃36×6=216（份），还剩下的240﹣216=24份，再除以每头牛每天吃的草，就是需要增加的头数，据此解答．【解答】解：设每头牛每天吃早1份则草每天生长：（17×30﹣19×24）÷（30﹣24）=（510﹣456）÷6=54÷6=9（份）原有的草量：（17﹣9）×30=8×30=240（份）2天后原有的草量余：240﹣（36﹣9）×2=240﹣27×2=240﹣54=186（份）再过6天吃完需要牛的头数：（186+9×6﹣36×6）÷1=（186+54﹣216）÷1=24÷1=24（头）答：要增加24头牛．【点评】本题是典型的牛吃草问题，这种问题关键是求出草每天生长的份数和草地原有的草的份数；牛吃草问题的基本公式有：生长量=（较长时间×长时间牛头数﹣较短时间×短时间牛头数）÷（长时间﹣短时间）；总草量=较长时间×长时间牛头数﹣较长时间×生长量．41．“整片牧场上的草长的一样地密，一样地快．已知70头牛在24天里面把草吃完，而30头牛就得60天．如果要在96天内把牧场的草吃完，问牛数该是多少？”【考点】N9：牛吃草问题．版权所有【分析】根据1头牛一天的吃的草的量得到相应的等量关系，求得草每天长的量，进而让（96天长的草的量+原来草的量）÷一头牛一天需要的量可得牛的数量，把相关数值代入求解即可．【解答】解：设牧场上原来的草的量是1，每天长出来的草是x，则24天共有草1+24x，60天共有草1+60x，=去分母得：30（1+24x）=28（1+60x）30+720x=28+1680x1680x﹣720=30﹣28960x=2x=则每头牛每天吃：=96天吃完，牛应当是：（1+96×）÷（96×）=（1+）÷==20（头）．答：如果要吃96天，牛数该是20头．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，根据1头牛一天的吃的草的量相等得到相应的等量关系是解决本题的关键；注意必须的量没有时可设其为1．42．小明的妈妈给小明买了一部智能手机，已知这部手机插上充电器从没有电到充满电需要2个小时；在非充电状态持续玩游戏，该充满电的手机可以工作6个小时，有一天小明打开手机准备玩游戏，发现手机提示仅剩10%的电量了，于是小明插上充电器开始一边玩一边充电，玩了1小时后，小明关上手机去学习了，问继续充电多少分钟才能将手机充满电？（待机耗电量忽略不计）【考点】N9：牛吃草问题．版权所有【分析】把这部智能手机的总电量看做单位“1”，这部手机插上充电器从没有电到充满电需要2个小时，则每小时充电占总电量的，在非充电状态持续玩游戏，该充满电的手机可以工作6个小时，则每小时消耗总电量的，小明插上充电器开始一边玩一边充电，玩了1小时，实际充电，再加上开始的电量，求出充满尚缺的电量，再除以正常充电1小时的充电量即可求出充满需要的时间，据此列式计算即可解答．【解答】解：[1﹣10%﹣（﹣）]÷×60=[90%﹣]÷×60=÷×60=×60=68（分钟）答：继续充电68分钟才能将手机充满电．【点评】本题主要考查工程问题，求出手机1小时充电、耗电各占总电量的几分之几是解答本题的关键．43．有一水池，池底有泉水不断涌出，用10部抽水机12小时可以抽完，用15部抽水机6小时抽完，要2小时把水抽完，需多少部抽水机？【考点】N9：牛吃草问题．版权所有【分析】设1部抽水机1小时可抽水1份，先求出“10部抽水机12小时”和“15部抽水机6小时”分别可抽水的份数，然后根据这两个结果可以求出水池每小时涌出水的份数是：（10×12﹣15×6）÷（12﹣6）=5份，再求出水池里的水的总份数：10×12+12×5=180份，进而可以求出用多少部抽水机2小时可将满池水抽光？即（180﹣5×2）÷2=85（部）．【解答】解：设1部抽水机1小时可抽水1份；，10部抽水机12小时可抽水的份数是：10×12=120（份），15部抽水机6小时可抽水的份数是：15×6=90（份），水池每小时涌出水的份数是：（120﹣90）÷（12﹣6）=30÷6=5（份），水池里水的总份数是：10×12+5×12=120+60=180（份），2小时将满池水抽光用抽水机的部数是：（180﹣5×2）÷2=170÷2=85（部）；答：要2小时把水抽完，需82部抽水机．【点评】本题是最典型的牛吃草问题，本题的难点是：要在抽水机的部数和时间的变化中，找到相关的数量，求出不变的量即水池每小时涌出水的份数．44．有一片牧草，每天生长的速度相同．现有这片牧草可供16头大牛吃20天，或者供80头小牛吃10天，如果1头大牛的吃草量等于3头小牛的吃草量，那么12头大牛与60头小牛一起吃草可以吃多少天？【考点】N9：牛吃草问题．版权所有【分析】根据“1头大牛的吃草量等于3头小牛的吃草量”那么16头大牛的吃草量就等于16×3=48头小牛的吃草量；12头大牛吃草量就等于12×3=36头小牛的吃草量；设每头牛每天吃草1份，根据“16头大牛（48头小牛）吃20天，或者供80头小牛吃10天，”可以求出草每天生长的份数：（48×20﹣80×10）÷（20﹣10）=16（份）；再根据“80头小牛吃10天，”可以求出草地原有的草的份数：（80﹣16）×10=640（份）；由于草每天生长16份，可供12头大牛与60头小牛（相当于36+60=96头小牛）中的16头小牛吃，剩下的96﹣16=80头小牛吃草地原有的640份草，可以吃640÷80=8（天）；问题得解．【解答】解：设每头小牛每天吃草1份，把大牛的头数转化为小牛的头数为：16×3=48（头），12×3=36（头）草每天生长的份数：（48×20﹣80×10）÷（20﹣10）=（960﹣800）÷10=160÷10=16（份）草地原有的草的份数：（80﹣16）×10=640（份）12头大牛与60头小牛就相当于36+60=96头小牛，所吃天数为：640÷（96﹣16）=640÷80=8（天）答：12头大牛与60头小牛一起吃草可以吃8天．【点评】本题是典型的牛吃草问题，这种问题关键是求出草每天生长的份数和草地原有的草的份数；可以利用两种假设条件“16头大牛吃20天，或者供80头小牛吃10天”求出；本题需要注意把大牛的头数转化为小牛的头数便于解答．45．一艘轮船发生漏水事故，船长立即安排两部抽水机同时向外抽水．当时已经漏了500桶水，一部抽水机每分钟抽水18桶，另一部每分钟抽水12桶，经过25分钟把水抽完．问每分钟漏进水多少桶？【考点】N9：牛吃草问题．版权所有【分析】2部抽水机1分钟可以抽出18+12=30桶水，那么25分钟就抽出去750桶水，船体本来有500桶水，那么25分钟内，漏进船体的水为750﹣500=250桶水，所以每分钟漏进：250÷25=10（桶）．【解答】解：[（18+12）×25﹣500]÷25=[30×25﹣500]÷25=[750﹣500]÷25=250÷25=10（桶）答：每分钟漏进水10桶．【点评】此题属于“牛吃草”问题，求出25分钟内漏进船体的水量，是解答此题的关键．46．一片草地，每天都匀速长出青草，这片草地可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天．问可供20头牛吃几天？【考点】N9：牛吃草问题．版权所有【分析】假设每头牛每天吃青草1份，先求出青草的增加的速度：（20×10﹣15×10）÷（20﹣10）=5（份）；然后求出草场原有的草的份数：20×10﹣5×20=100（份）；那么25头牛每天吃青草25份，青草每天增加5份，可以看作每天有（25﹣5）20头牛在吃草，草场原有的100份的草，可吃：100÷20=5（天）．【解答】解：假设每头牛每天吃青草1份，青草增加的速度：（20×10﹣15×10）÷（20﹣10）=50÷5=5（份）原有的草的份数：20×10﹣5×20=200﹣100=100（份）可供20头牛吃：100÷（20﹣5）=100÷15=6（天）答：这个草场的草可供20头牛吃6天．【点评】本题考查了牛吃草的问题，关键的是求出青草的每天增加的速度（份数）和草场原有的草的份数．47．李村组织农民搞旱，从一个有地下泉的池塘担水浇地，如果50人担水，20小时可把池水担完，如果70人担水，10小时可把池水担完，现有130人担水，几小时可把池水担完？【考点】N9：牛吃草问题．版权所有【分析】设每人每小时担水1份，根据“如果50人担水，20小时可把池水担完，如果70人担水，”可以求出每分钟涌出的水量，列式为：（50×20﹣70×10）÷（20﹣10）=30份；原有水量为：20×50﹣30×20=400份；现在有130人担水，要求几小时可把池水担完，需要的时间为：400÷（130﹣30）=4小时．【解答】解：求出每分钟涌出的水量，（50×20﹣70×10）÷（20﹣10）=3000÷10=30（份）；原有水量为：20×50﹣30×20=1000﹣600=400（份）；需要的时间为：400÷（130﹣30）=400÷100=4（小时）．答：4小时可把池水担完．【点评】本题需要按竞赛专题之一牛吃草问题解答，关键是求出每分钟涌出的水量（相当于草的生长速度）和井中原有的水量（相当于草地原有的草的份数）．48．有一个水井，水不断由泉涌出，井满则溢出，若用4台抽水机，15小时可把井水同干，若用8台抽水机，7小时可把井水抽干，现在要用几台抽水机，能5小时把井水抽干？【考点】N9：牛吃草问题．版权所有【分析】设每台抽水机每小时抽水1份，根据“如果用4台抽水机，15小时可把井水同干；如果8台抽水机，7小时可把井水抽干．”可以求出每小时涌出的水量，列式为：（15×4﹣8×7）÷（15﹣7）=0.5份；原有水量为：7×8﹣0.5×7=52.5份；现在要求5小时内抽完井水，需要抽水机的台数为：（52.5+5×0.5）÷5=11（台）．【解答】解：每小时涌出的水量：（15×4﹣8×7）÷（15﹣7）=4÷8=0.5（份）；原有水量为：7×8﹣0.5×7=56﹣3.5=52.5（份）；需要抽水机的台数为：（52.5+5×0.5）÷5=55÷5=11（台）答：现在要用11台抽水机，能5小时把井水抽干．【点评】本题需要按竞赛专题之一牛吃草问题解答，关键是求出每分钟涌出的水量（相当于草的生长速度）和井中原有的水量（相当于草地原有的草的份数）．49．现有一艘轮船由于触礁船里漏进一部分水，如果派12人来将海水往船外运水，3小时可将水全部运出，若派出5人，则需要10小时，问如果要在2小时内完成需要多少人？（将水往船外运的时候船也在进水，每个人运水的速度相同．）【考点】N9：牛吃草问题．版权所有【分析】此题是典型的牛吃草问题，假设1人1小时排水量是1份，则已有的积水量+3×每小时渗入量=12×3，已有的积水量+10×每小时渗入量=5×10，两式相减求出每小时渗入量（5×10﹣12×3）÷（10﹣3）=2，然后在带入其中一式，求出已有的积水量12×3﹣3×2=30；如果要在2小时内排干积水，共需要的人数=（已有积水量30+2×每小时渗入量2）÷2小时，即可得解．【解答】解：假设1人1小时排水量是1份，则：已有的积水量+3×每小时渗入量=12×3…①已有的积水量+10×每小时渗入量=5×10…②所以②﹣①，得；每小时渗入量=（5×10﹣12×3）÷（10﹣3）=2代入①，得：已有的积水量=12×3﹣3×2=30如果要在2小时内排干积水，共需要的人数=（30+2×2）÷2=17（人）答：共需要17人．【点评】牛吃草的问题关键的是求出每小时渗入量和已有的积水量．50．牧羊人在一片均匀枯萎的草地上放羊，他每天放牧结束后都会宰杀一只羊，如果开始有50只羊，那么恰好9天后吃完这片草，如果开始有45只羊，那么恰好10天吃完这片草，现在要求这片草地要能供应至少20天，牧羊人开始最多能放养多少只羊？【考点】N9：牛吃草问题．版权所有【分析】设一只羊每天吃1份草，则50只羊吃9天，第一天吃50份，第9天吃50﹣1×8=42份草，一共要吃：50+（50﹣1×1）+（50﹣1×2）+（50﹣1×3）+…+（50﹣1×8）=414（份）则45只羊吃10天，第一天吃45份，第10天吃45﹣1×9=36（份），一共要吃：45+（45﹣1×1）+（45﹣1×2）+（45﹣1×3）+…+（45﹣1×9）=405（份）草的减少速度：414﹣405=9（份）草原量：405+9×10=495（份）要供应至少9×20=180（份）需要羊吃的草有495﹣180=315（份）平均每天要吃15份多一点，因此，第一天吃的量应在25份左右，经尝试25可以．所以，最多能放羊25只．【解答】解：设一只羊每天吃1份草，则50只羊吃9天，第一天吃50份，第9天吃50﹣1×8=42份草，一共要吃：50+（50﹣1×1）+（50﹣1×2）+（50﹣1×3）+…+（50﹣1×8）=50+49+48+…+42=（50+42）×9÷2=414（份）则45只羊吃10天，第一天吃45份，第10天吃45﹣1×9=36（份），一共要吃：45+（45﹣1×1）+（45﹣1×2）+（45﹣1×3）+…+（45﹣1×9）=45+44+43+42+…+36=（45+36）×10÷2=405（份）草的减少速度：414﹣405=9（份）草原量：405+9×10=495（份）要供应至少9×20=180（份）需要羊吃的草有495﹣180=315（份）平均每天要吃15份多一点，因此，第一天吃的量应在25份左右，经尝试25可以．所以，最多能放羊25只．答：牧羊人开始最多能放羊25只．【点评】本题是一道复杂的牛吃草问题，关键是求出草的生长速度和原有草的份数．B一．填空题（共22小题）1．一水库原存有一定量的水，且水库源头有河水均匀入库，用5台抽水机连续20天可以把水库抽干，用6台同样的抽水机连续15天也可以把水库的水抽干．因工程需要，要求6天抽干水库的水，需要同样的抽水机12台．【分析】此题属于牛吃草问题，可按下列解题思路进行解答：①先求出水库原有的水与20天流入的水抽1天需要抽水机的台数；②然后求水库原有的水与15天流入的水抽1天需要抽水机的台数；③再求每天流入的水抽1天需要抽水机的台数；④再求原有的水抽1天需要抽水机的台数；⑤最后求出若6天抽完，共需抽水机的台数．【解答】解：设出1台抽水机1天抽水量为1，水库原有的水与20天流入的水抽1天需要抽水机：20×5=100（台）水库原有的水与15天流入的水抽1天需要抽水机：6×15=90（台）每天流入的水抽1天需要抽水机：（100﹣90）÷（20﹣15）=10÷5=2（台）原有的水抽1天需要抽水机：100﹣20×2=100﹣40=60（台）若6天抽完，共需抽水机：60÷6+2=10+2=12（台）答：6天抽干，需要12台同样的抽水机．故答案为：12．【点评】解答此题的关键是设出1台抽水机1天抽水量为1，只要求出河水每天均匀入库量及水库原有存水量，问题即可解决．2．世纪公园里有一片很大的草地，每天总会长出很多杂草（假设每分钟长出的杂草数量固定）．每天早上8点，一些工人会去除杂草（每个人的除杂草速度相同），一旦除完杂草（杂草的数量为0，好的草不会被除掉），工人们就收工了，之后长出的杂草留到明天再除．第一天，一些工人去除草，除到9点收工；第二天，10个工人去除草，除到8点30分收工；第三天，8个工人去除草，除到8点39分收工（最后分钟的值四舍五入，填一个整数即可）．【分析】不妨设草1分钟长1份，第一天9点时，整块草地上的杂草被除干净了，即草量为0，所以到第二天8点30分时，草长了23小时30分钟，即1410分钟，共长了1410份草．这些草被10位工人用30分钟除干净了，所以1个工人1分钟可除草1410÷10÷30=4.7份．第三天8点时，草长了23小时30分钟，即1410分钟，共长了1410份草，8个工人每分钟除草8×4.7=37.6份，需要用1410÷（37.6﹣1）≈39分钟把草除干净，即第三天8点39分收工．【解答】解：从第一天9点时到第二天8点30分，草长了23小时30分钟，从第二天8点30分到第三天8点，草也长了23小时30分钟，即，23×60+30=1410（分钟）9时﹣8时30分=30分钟所以，1个工人1分钟可除草：1410÷10÷30=4.7（份）8×4.7=37.6（份）1410÷（37.6﹣1）≈39（分钟）第三天用了39分钟把草除干净，即第三天8点39分收工．答：第三天，8个工人去除草，除到8点39分收工．故答案为：8，39．【点评】本题属于比较复杂的牛吃草问题，关键是理解每天割完草后到第二天开始割草这段时间内草生长的份数．3．牧场上有一片青草，每年都生长的一样快，这片青草可供10头牛吃20天，或供15头牛吃10天，如果现在要供给25头牛吃，可吃5天．【分析】假设每头牛每天吃青草1份，先求出青草的增加的速度：（20×10﹣15×10）÷（20﹣10）=5（份）；然后求出草场原有的草的份数：20×10﹣5×20=100（份）；那么25头牛每天吃青草25份，青草每天增加5份，可以看作每天有（25﹣5）20头牛在吃草，草场原有的100份的草，可吃：100÷20=5（天）．【解答】解：假设每头牛每天吃青草1份，青草增加的速度：（20×10﹣15×10）÷（20﹣10），=50÷5，=5（份）；原有的草的份数：20×10﹣5×20，=200﹣100，=100（份）；可供25头牛吃：100÷（25﹣5），=100÷20，=5（天）；答：这个草场的草可供25头牛吃5天．故答案为：5．【点评】本题考查了牛吃草的问题，关键的是求出青草的每天增加的速度（份数）和草场原有的草的份数．4．魔地上有一块魔石，不断向上均匀生长，为避免它把天捅破，仙界长老决定派出植物战士吸食魔石，抑制它的生长，每名植物战士每天吸食的量相同，如果派出14名植物战士，16天后魔石就会把天捅破；如果派出15名植物战士，24天后魔石就会把天捅破，至少派出17名植物战士，才能保证天不会被捅破．【分析】假设一名战士一天的吸食量为“1”，则14名植物战士16天就要吃掉14×16=224，15名植物战士24天要吃掉15×24=360（因为魔石每天都要长，所以天数不同，份数也不同）．360﹣224=136（这是24天比16天多长的魔石），则每天魔石长136÷（24﹣16）=17，因此这块魔石最多可以派出17÷1=17（名）植物战士，才能保证天不会被捅破．【解答】解：设一名战士一天的吸食量为“1”14×16=22415×24=360（360﹣224）÷（24﹣16）=136÷8=1717÷1=17（名）答：至少派出17名植物战士，才能保证天不会被捅破．故答案为：17．【点评】这是一道典型的牛吃草问题，关键在于设一名战士一天的吸食量为“1”，求出每天魔石生长的份数，进而解决问题．5．画展8点开门，但早有人来排队等候入场．从第一个观众到达时起，每分钟来的观众人数一样多．如果开3个入场口，8点9分就不再有人排队了；如果开5个入场口，8点5分就没人排队了．那么第一个观众到达的时间是7点15分．【分析】8时开门，开3个入场口，8：09就不再有人排队，开5个入场口，8：05就没有人排队，来人的速度为（9×3﹣5×5）÷（9﹣5）=，开门之前来人为3×9﹣×9=22，第一个观众来的时间距开门时间：22÷=45分，再用8时减去45分即可求出答案．【解答】解：（9×3﹣5×5）÷（9﹣5）=（27﹣25）÷4=2÷4=；3×9﹣×9=27﹣4=22，22÷=45（分），8时﹣45分=7时15分．答：第一个观众到达的时间是7时15分．故答案为：7，15．【点评】这是“牛吃草”问题，关键利用前两次开口不同过人的差除以时间得到来人的速度，然后利用速度解决问题．6．甲乙两只蜗牛往井底爬，白天速度分别为20dm/天，15dm/天，晚上向下滑的速度相同，甲5天爬下去，乙6天爬下去，井深15．【分析】因为夜里速度相同，所以一个白天两只蜗牛相差20﹣15=5（分米）．那么一昼夜也是相差5分米，则5个昼夜就相差5×5=25（分米）．此时甲蜗牛已到达井底，乙蜗牛就还差25分米没到达井底．而这25分米乙蜗牛用了正好一昼夜的时间．所以乙蜗牛一昼夜走的距离是25分米，那6个昼夜就是25×6=150（分米），即井深．因此列式为（20﹣15）×5×6=150（分米）=15（米）．【解答】解：（20﹣15）×5×6=5×5×6=150（分米）=15（米）答：井深15米．故答案为：15．【点评】此题类似牛吃草问题，先求出一个白天两只蜗牛相差的路程，是解答此题的关键．7．11头牛10天可吃完5公顷草地上的草，12头牛14天可吃完6公顷草地上的草．假设每公顷草地上的草量相等，每天新生长的草量相等，每头牛每天的吃草量也相等，那么8公顷草地可供19头牛吃8天．【分析】首先分析牛数量不同，天数不同，原草量不同那么关键需要找到单位量，每公顷的原草量和草速．再求出8公顷的草量和草速即可求解．【解答】解：依题意可知：每公顷的草地10天的原草量和生长草量：11×10÷5=22（份）；每公顷的草地14天的原草量和生长草量：14×12÷6=28（份）；每公顷每天生长草量：（28﹣22）÷（14﹣10）=1.5（份）；每公顷的原草量：22﹣10×1.5=7（份）；8公顷每天生长的草量：8×1.5=12（份）8公顷草量19头牛吃的天数：7×8÷（19﹣12）=8（天）故答案为：8【点评】本题考查牛吃草问题的理解和运用，关键是在牛数量和天数不同情况下求出单位草量和草速，对应8公顷的草量草速可求，问题解决．8．林子里有猴子喜欢吃的野果，23只猴子可在9周内吃光，21只猴子可在12周内吃光，那么如果有33只猴子一起吃，则需要4周可将野果吃光．（假定野果生长的速度不变）【分析】首先设每只猴子每周吃野果量是x，野果每周增长量是y，33只猴子z周吃完野果，再设林子原有野果是a．根据原野果量+每周生长的野果量×吃的周数=每只猴子每周吃果量×只数×周数列出方程组a+9y=23×9x，a+12y=21×12x，a+yz=33xz，可解得z的值即为所求．【解答】解：设每只猴子每周吃野果量是x，野果每周增长量是y，33只猴子z周吃完野果，再设林子原有野果是a．根据题意，得：②﹣①，得y=15x④③﹣②，得（z﹣12）y=3x（11z﹣84）．⑤由④、⑤，得z=4．答：如果有33只猴子一起吃，则需要4周可将野果吃光．【点评】本题考查三元一次方程组的应用．有些应