行列式按行列展开

关于行列式按行列展开4/6/20241性质1

行列式与它的转置行列式相等,即D=DT.行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.性质2

互换行列式的两行（列）,行列式变号.推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.性质3

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数k，等于用数k乘以此行列式.推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．性质4

行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．第2页,共33页，2024年2月25日，星期天性质5

若行列式中的某一行（列）的每个元素都是两数之和，则此行列式可以写成两个行列式之和,这两个行列式除该行（列)以外其余行（列）全与原来行列式对应的行（列）一样，即性质6

把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．第3页,共33页，2024年2月25日，星期天4/6/20244§6

行列式按行(列)展开第4页,共33页，2024年2月25日，星期天一、引言结论三阶行列式可以用二阶行列式表示.思考题任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？第5页,共33页，2024年2月25日，星期天例如把称为元素的代数余子式(AlgebraicComplement)．在n阶行列式中，把元素所在的第行和第列划后，留下来的n－1阶行列式叫做元素的余子式，记作.结论因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以行列式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式.第6页,共33页，2024年2月25日，星期天引理

一个n阶行列式，如果其中第行所有元素除外都为零，那么这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即．例如第7页,共33页，2024年2月25日，星期天即有又从而下面再讨论一般情形.分析当位于第1行第1列时,引理

一个n阶行列式，如果其中第行所有元素除外都为零，那么这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即．第8页,共33页，2024年2月25日，星期天下面再讨论一般情形.为什么要依次？第9页,共33页，2024年2月25日，星期天中的余子式第10页,共33页，2024年2月25日，星期天我们以4阶行列式为例.余子式相同第11页,共33页，2024年2月25日，星期天余子式不同第12页,共33页，2024年2月25日，星期天二、行列式按行（列）展开法则定理3

行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即证第13页,共33页，2024年2月25日，星期天第14页,共33页，2024年2月25日，星期天二、行列式按行（列）展开法则定理3

行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即推论

行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即第15页,共33页，2024年2月25日，星期天比较等式两边，可得第16页,共33页，2024年2月25日，星期天定理3

行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即推论

行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即综上所述，有同理可得第17页,共33页，2024年2月25日，星期天例1（1.15）第18页,共33页，2024年2月25日，星期天

证明用数学归纳法例2

证明范德蒙德(Vandermonde)行列式所以n=2时(1)式成立.第19页,共33页，2024年2月25日，星期天假设(1)对于n－1阶范德蒙行列式成立，从第n行开始，后行减去前行的倍：按照第1列展开，并提出每列的公因子，就有第20页,共33页，2024年2月25日，星期天

n−1阶范德蒙德行列式假设(1)对于n－1阶范德蒙行列式成立，从第n行开始，后行减去前行的倍：按照第1列展开，并提出每列的公因子，就有第21页,共33页，2024年2月25日，星期天例2

证明范德蒙德(Vandermonde)行列式Suchas：第22页,共33页，2024年2月25日，星期天第23页,共33页，2024年2月25日，星期天例计算行列式解第24页,共33页，2024年2月25日，星期天第25页,共33页，2024年2月25日，星期天例3

设,的元的余子式和代数余子式依次记作和，求分析利用及第26页,共33页，2024年2月25日，星期天例3

设,的元的余子式和代数余子式依次记作和，求解及第27页,共33页，2024年2月25日，星期天例3

设,的元的余子式和代数余子式依次记作和，求及第28页,共33页，2024年2月25日，星期天

1.行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.

三、小结第29页,共33页，2024年2月25日，星期天思考题求第一行各元素的代数余子式之和第30页,共33页，2024年2月25日，星期天思考题解答解第一行各元素的代数余子