重难点突破：专题05 平方根（解析版）

专题05平方根重点算术平方根的概念及表示方法难点平方根的概念及其性质易错混淆平方根和算术平方根一、求平方根和算术平方根若求一个算式的算术平方根，一般是先求出算式的值，再求出它的算术平方根，有时也可通过简单的变形化成一个正数的平方的形式，从而提高运算的速度和准确率．【例1】下列各数中一定有平方根的是（）A．a2﹣5 B．﹣a C．a+1 D．a2+1【答案】D【解析】解：A．当a＝0时，a2﹣5＝﹣5＜0，不符合题意；B．当a＝1时，﹣a＝﹣1＜0，不符合题意；C．当a＝﹣5时，a+1＝﹣4＜0，不符合题意；D．不论a取何值，a2≥0，a2+1＞0，符合题意．故选D．【例2】的算术平方根是（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．6【答案】A【解析】∵＝9，∴的算术平方根是＝3，故选：A.二、算术平方根非负性的应用常用的三类非负性的表示形式：绝对值、偶次幂、算术平方根，当几个非负数的和为0时，则每一个非负数均为0，这一结论在解答许多数学问题中起着关键的作用．【例3】已知，且，化简（

）．A． B．1 C．或 D．3或1或或【答案】C【解析】由题意得：，解得，∵，∴，∴或，∴=-2+1=-1，或=-2-1=-3．故选C．【例4】若，则等于（）A． B．1 C． D．【答案】A【解析】解：，，，，，，故选：A．三、利用平方根的知识解方程先将方程转化为一个式子的平方等于一个非负数的形式，再利用开平方求解．【例5】已知(x+1)216，则x的值是（

）A．3 B．7 C．3或5 D．7或8【答案】C【解析】根据题意得x+1=±4，x=-1±4，得x=3或-5．故选C．【例6】若方程的两根为和，且，则下列结论中正确的是（）A．是19的算术平方根 B．是19的平方根 C．是19的算术平方根 D．是19的平方根【答案】C【解析】根据平方根的意义，可知x-5是19的一个平方根，由a＞b，可知a-5是19的算术平方根，b-5是其负的平方根.故选C四、平方根和算术平方根定义和性质的综合运用若一个数的平方根是它本身，则这个数是0；若一个数的算术平方根是它本身，则这个数是0或1．【例7】已知一个正数的两个平方根分别是2x+3和x﹣6，则这个正数的值为（

）A．5 B．1 C．±5 D．25【答案】D【解析】解：根据题意知2x+3+x-6=0，解得：x=1，∴2x+3=5，∴这个正数为52=25，故选D．【例8】若，则（

）A．x>0 B．x≥0 C．a>0 D．a≥0【答案】D【解析】∵一个数的平方数是非负数，x2=a，∴a≥0，故选D．一、单选题1．的平方根是（

）A． B．3 C． D．【答案】A【解析】解：，9的平方根是．即的平方根是．故选：．2．下列各数没有算术平方根的是（

）A．0 B．16 C．－4 D．2【答案】C3．已知，那么（

）A．2 B．3 C．-2 D．8【答案】A【解析】解：∵|a-5|+=0，∴a-5=0，b-3=0，解得：a=5，b=3，∴a-b=5-3=2，故选：A．4．估算的值是在（

）之间A．5和6 B．6和7 C．7和8 D．8和9【答案】C【解析】∵∴∴故选：C．5．若，则的值是（

）A．0 B． C．1 D．【答案】D【解析】因为，所以x-1=0，2y-1=0，解得x=1，，所以．故选：D．6．正方形的边长为，它的面积与长为96cm，宽为12cm的矩形的面积相等，则a的值为（

）A． B．36 C． D．24【答案】C【解析】解：由题意得a2=96×12，∴a=（负值舍去），故选C．二、填空题7．如果，那么____________【答案】【解析】解：根据平方根的意义，得，故答案为：．8．若x、y为实数，且|x＋3|＋＝0，则（）2021的值为______．【答案】﹣1【解析】解：∵|x＋3|≥0，≥0，∴当|x＋3|＋＝0时，x＋3＝0，y﹣3＝0∴x＝﹣3，y＝3∴＝＝﹣1故答案为：﹣1三、解答题9．已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简代数式：【答案】0【解析】解：∵a＜0，c＜0，b＞0，∴a+c＜0，c﹣b＜0，∴原式＝﹣a﹣[﹣（a+c）]+（b﹣c）﹣b＝﹣a+a+c+b﹣c﹣b＝0．故答案为0．10．先填写表，通过观察后再回答问题：a…0.00010.01110010000……0.01x1y100…(1)表格中x＝，y＝；(2)从表格中探究a与数位规律，并利用这个规律解决下面两个问题：①已知≈3.16，则≈；②已知＝8.973，若＝89.73，用含m的代数式表示b，则b＝；(3)试比较与a的大小．【答案】(1)0.1，10(2)①31.6；②(3)当时，；当时，；当时，；当时，【解析】(1)解：根据题意得：；(2)解：根据题意得：当a扩大100倍时，扩大10倍，①∵≈3.16，∴；②∵＝8.973，＝89.73，∴；(3)当时，，此时；当时，，此时；当时，根据a与数位规律得：；当时，根据a与数位规律得：；综上所述，当时，；当时，；当时，；当时，．一、单选题1．若，，则所有可能的值为（

）A．8 B．8或2 C．8或 D．或【答案】D【解析】解：∵，∴a=±5，∵，∴b=±3，当a=5，b=3时，；当a=5，b=-3时，；当a=-5，b=3时，；当a=-5，b=-3时，；故选：D．2．若方程的解分别为，且，下列说法正确的是（

）A．是5的平方根 B．是5的平方根C．是5的算术平方根 D．是5的算术平方根【答案】C【解析】∵方程的解分别为，∴，，∴a-1，b-1是5的平方根，∵，∴，∴a-1是5的算术平方根，故选C.3．一个数的相反数是最大的负整数，则这个数的平方根是（）A． B．1 C． D．0【答案】C【解析】解：最大的负整数是-1，根据概念，（-1的相反数）+（-1）=0，则-1的相反数是1，则这个数是1，1的平方根是，故选：C．4．数轴上表示下列各数的点，能落在A，B两个点之间的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】解：由数轴得，A点对应的数是1，B点对应的数是3，A.-2＜＜-1，不符合题意；B.2＜＜3，符合题意；C、3＜＜4，不符合题意；D.3＜＜4，不符合题意；故选：B5．如图所示长方形中，，长方形内放置两个边长都为的正方形与正方形，若两个正方形重叠部分面积为，长方形未被两个正方形盖住部分面积之和为（阴影部分的面积之和），已知：，则a的值为（

）A． B． C．3.5 D．4【答案】A【解析】解：∵AB=4cm，BC=6cm，∴四边形ABCD的面积为4×6=24cm2，∵四边形AEFG和四边形CHIJ的面积都为a2，∴S乙=SABCD-SAEFG-SCHIJ+S甲，即S乙=24-a2-a2+S甲∵S甲=S乙，∴S甲=24-a2-a2+S甲，解得：a=（负值已舍去），故选A．6．满足>0.99的最小整数n的值是(

)A．48 B．49 C．50 D．51【答案】C【解析】由题意可知被开方数无限接近1，根据算术平方根的意义，可知，当n=50时，，，因此可知最小整数n为50.故选C.二、填空题7．对于实数a，b，定义运算“*”如下：a*b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+2）*（m﹣3）＝24，则m的值为______．【答案】或4【解析】解：由题意得：，即，，或，解得或，故答案为：或4．8．如图，用正方形制作的“七巧板”拼成了一只小猫，若小猫头部（图中涂色部分）的面积是16，则原正方形的边长为_________cm．【答案】8【解析】如图所示：∵①与②的面积相等，∴小猫头部的面积是正方形面积的，∵小猫头部的面积是16，∴正方形面积为16×4=64cm2，∵64=82，∴正方形的边长为8cm，故答案为：8三、解答题9．已知．（1）求x与y的值；（2）求x+y的算术平方根．【答案】（1），；（2）2【解析】（1）由题可得：，解得：，∴，；（2），∵4的算术平方根为2，∴的算术平方根为2．10．如图将边长为2cm的小正方形与边长为xcm的大正方形放