考点03 实数的运算（原卷版）

考点三实数的运算知识点整合(1)实数的加减法则.注意异号两数相加时,取“绝对值较大”的数的“符号”.(2)实数的乘除法则.注意“异号”得“负”，除法中的除数不等于0.两数的积为0,则两数中至少有一个为0.(3)实数的乘方开方运算中,乘方时,注意底数相同,开平方时,被开方数为非负数.(4)实数的混合运算中,在同一个式子里，先乘方、开方，然后乘、除，最后加、减．有括号时，先算括号里面．(5)实数的运算律:加法交换律、结合律,乘法交换律、结合律、分配律.(6)熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等的运算.注意运算顺序，分清先算什么，再算什么.考向一实数的综合运算典例引领1．计算：．2．计算：3．计算：(1)；(2)．4．已知，，，．(1)请化简这四个数．(2)根据化简结果，列式表示这四个数中“有理数的和”与“无理数的积”的差，然后计算结果．5．计算：(1)；(2)；(3)；(4)．6．计算：(1)；(2)求式中x的值：．7．计算：8．对任意有理数，定义一种运算“”：．(1)计算的结果为______；(2)计算的值；(3)定义的新运算“”对交换律是否成立？请写出你的探究过程．9．符号“f”表示一种运算，它对一组数的运算如下：，，，…(1)利用以上运算的规律写出；（为正整数）(2)计算；(3)计算的值．10．观察下列各式：第1个式子：．第2个式子：．第3个式子：．……根据其规律，解答下列问题：(1)__________．(2)第n个式子为__________．(3)利用以上规律计算：．11．问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：，(1)第5个式子为________，第个式子为________．(2)计算：(3)计算：12．阅读下面的文字，解答问题：我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此不能将的小数部分全部写出来，于是小慧用来表示的小数部分，你明白小慧的表示方法吗？事实上，因为的整数部分是1，将一个数减去它的整数部分，差就是小数部分．例如：，即，的整数部分为2，小数部分为．请解答：(1)的整数部分是，小数部分是；(2)已知是的整数部分，是的小数部分，求的值13．如图，数轴上A点表示的数是，P是数轴上一动点．

(1)在数轴上，把点A向左平移4个单位长度得到点B，求点B表示的数；(2)若点C表示的数是B所表示数的相反数，求点C表示的数；(3)若点P从点A向点B以每秒3个单位长度向B运动，到达点B后又向A运动，到达A后再向B运动，如此往复运动问当点P运动2022秒时，点P与点C的位置有什么关系？请说明理由．14．一个数值转换器，如图所示：

(1)当输入的为时，输出的值是______；(2)若输入有效的值后，始终输不出值，请写出所有满足要求的的值，并说明你的理由；(3)若输出的是，请求出两个满足要求的值．15．下图是一个数值转换机

(1)当输入的x为16时，输出的y值是______．(2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出满足要求的x的值______．(3)若输入的值，且输出的y是，请写出满足要求的x的值______．16．如图是一个数值转换器，其工作原理如图所示．

(1)当输入的x值为时，求输出的y值；(2)若输入有意义的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由；(3)若输出的y值是，直接写出x的负整数值．17．一个数值转换器如图所示：

(1)当输入的值为16时，输出的值是______；(2)若输入有效的值后，始终输不出值，则所有满足要求的的值为______；(3)若输出的值是，请直接写出两个满足要求的的值．18．如图是一个按运算规则进行的数值转换器：(1)若输入的x为16，则输出的y值是；(2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，则x的值是；(3)若输出y的值是，请写出两个满足要求的x值．19．对于任意实数a、b，用“※”定义新运算如下：(1)．如．已知的结果是6，求的值．(2)．如．已知结果为，求的值．20．规定：将n个整数，，按一定顺序排列组成一个n元有序数组，n为正整数，记作，，，称此数组中各个数绝对值之和为“模和”S，即．将所有满足“模和”为S的n元有序数组的个数为记为．例如：若二元数组的“模和”，即，其中满足条件的二元有序数组有，，，，共4个，则．请根据以上规定完成下列各题：(1)填空：，．(2)若，则．(3)用含为正整数）的式子填空：．21．规定表示一对数对，给出如下定义：，，与称为数对的一对“对称数对”．例如：数对的一对“对称数对”为与．(1)数对的一对“对称数对”是______；(2)若数对的一个“对称数对”是，则的值是______；(3)若数对一个“对称数对”是，求的值．22．观察下列各式：第一个式子：；第二个式子：；第三个式子：；…(1)求第四个式子为：；(2)求第n个式子为：（用n表示）；(3)求＋…＋的值．23．若a是不为1的有理数，我们把称为a的伴随数．比如：2的伴随数是．(1)求的伴随数．(2)若，是的伴随数，是的伴随数，…以此类推，则______，______，______．(3)若，是的伴随数，是的伴随数，…以此类推，则______．24．分析探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题．；；

(1)请用含有为正整数的等式______；(2)推算出______．(3)求出的值．25．某班将在期中学生表彰大会上邀请受表彰学生的家长参会，小王设计了图1样式的长方形邀请函：正面绘制了3个A类正方形和4个B类正方形，并对阴影部分进行上色，已知每个A类正方形的面积为2，每个B类正方形的面积是4．

(1)A类正方形的边长是________；(2)求长方形邀请函的周长；(3)小李建议将图1正中间的正方形去掉，以中间的“工”形代表“工作之星”的含意，如图2所示，则修改后的阴影部分的周长是________．变式拓展1．计算：．2．计算.(1)(2)3．计算：4．计算：；5．计算：(1)(2)6．任意给出一个非零实数m，按如图所示的程序进行计算．(1)当m=1时，输出的结果为________．(2)当实数m的一个平方根是﹣时，求输出的结果．7．探究规律，完成相关题目．定义“*”运算：；；；；；．(1)归纳*运算的法则：两数a，b进行*运算时，________．（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，________．(2)计算：________．(3)是否存在有理数m，n，使得，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由；8．阅读理解题．定义：如果一个数的平方等于，记，这个数叫做虚数单位，把形如（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．例如计算：根据以上信息，完成下列问题：(1)填空：；(2)计算：；(3)计算：．9．【阅读】求值解：设①，将等式①的两边同时乘以2得：②由②－①得：即：【运用】仿照此法计算：；【延伸】如图，将边长为1的正方形分成4个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为，选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形，依次操作2023次，依次得到小正方形、、、…、．

完成下列问题：①小正方形的面积_______，________；②求正方形、、、…、的面积和．10．观察下列算式：①；②；③；④；…(1)写出第⑥个等式；(2)猜想第n个等式_；（用含n的式子表示）(3)计算：．11．请你观察：；；；…；；以上方法称为“裂项相消求和法”请类比完成：(1)______；(2)______；(3)计算：的值．12．如图是一个无理数筛选器的工作流程图．(1)当x为9时，y值为；(2)如果输入0和1，（填“能”或“不能”）输出y值；(3)当输出的y值是时，请写出满足题意的x值：．（写出两个即可）13．如图为一个数值转换器．(1)若输入的x值为3，则输出的y值为________；若输入的x值为9，则输出的y值为________；(2)若输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为，求输入的x的值．(3)尚进同学输入非负数x值后，却始终输不出y值．请你分析，他输入的x值是_______．14．如图为一个数值转换器．(1)当输入的x值为4时，输出的y值为；当输入的x值为16时，输出的y值为；(2)输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为，求输入的x值；(3)嘉淇发现输入x值后要取其算术平方根，因此他输入的x为非负数．但是当他输入x值后，却始终输不出y值，请你分析，他输入的x值是多少？15．对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，将点与称为点的一对“相伴点”．例如：点的一对“相伴点”是点与．(1)点的一对“相伴点”的坐标是_________与____________；(2)若点的一对“相伴点”重合，则的值为__________；(3)若点的一个“相伴点”的坐标为，求点的坐标．16．我们规定用表示有序数对，给出如下定义：记，，其中，，将与称为有序数对的一对“对称数对”．例如：的一对“对称数对”为和；(1)有序数对的一对“对称数对”是______；(2)若有序数对的一对“对称数对”相同，则的值为______；(3)若有序数对的一个“对称数对”是，则的值为______；(4)若有序数对的一个“对称数对”是，求的值．17．对于任意实数a、b、c，定义关于“”的一种运算如下：．如．(1)求的值；(2)若，求的值．18．观察下列式子，定义一种新运算：；；．(1