2024年高考数学一模试题与答案 (三)

必「J”,

数学

考生注意：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在

答题卡上的指定位置.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷

上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.已知A,B,C,D是空间中互不相同的四个点，则而—丽—恁=（）

A.ADB.CDC.BCD.DA

2.直线3x+6y+l=0的倾斜角。为（)

A.30°B.60°C.120°D.150°

3.经过点A（l,2）,且以8（-1,1）为圆心的圆的一般方程为（）

A.尤2+J+2x-2y-3=0B.-2x+2y-3=0

C.x?+y?+2x-2y-7=0D.x?+y"-2x+2y-7=0

4.设aeR,则“。=1”是“直线（a+l）x+ay+3=0与直线2ax+y—5=0平行”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知向量日=（2,%—2）,3=（2,4,y）,若|,|=3,且则孙的值为（）

A.0B.4C.0或4D.1或4

22

6.已知椭圆C:5+2=l（a〉6〉0）的两个焦点为耳，耳，且焦距为%点河在C上，若［5卜|“马|的

最大值为25,则C的离心率为（）

V5223

A.—B.-C.-D.-

4534

7.若直线)=冽(%-1)+2与曲线y=有且仅有两个不同的交点，则实数机的取值范围是()

A.(一8,0)u(g,+8

B.U(0,+oo)

c-[-r°Mr2_

8.已知椭圆=+==l(a〉5〉0)的一个焦点和一个顶点在圆(x+2)2+(y-82=4上，则该椭圆的离心

ab

率不可能是()

A1clc拒>6

3232

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.过点P(2,l)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为()

A.x+y-3-0B.x+y+3=0C.x-y-l=0D.x-2y=0

10.下列结论中正确的是()

A.若G=(—1,1,2),B=(2,2,—1)分别为直线/，小的方向向量，贝I]/，加

B.若冗=(一11,2)为直线/的方向向量，〃=(3,1,1)为平面a的法向量，贝i]/〃a或/(za

C.若*=(4,—2,1),后=(—2,1,2)分别为两个不同平面a,，的法向量，则

D.若向量Z=(s/j)是平面ABC的法向量，向量通=(—1,2,0),=(-1,1,1),则，=1

11.已知圆£:(x+1)2+(y—1)2=1与圆。2：炉+y2—2/加+4〃2y+4苏—2m—1=0,则下列说法正确的是

()

A.圆G的圆心恒在直线x+2y=0上

B.若圆Q经过圆G的圆心，则圆。2的半径为g

C.当加=-2时，圆G与圆。2有4条公切线

D.当加=0时，圆G与圆G的公共弦长为百

22

12.法国数学家蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆斗+与=1(。〉01〉0)的任意两条互相垂直的切线的交

点。的轨迹是以坐标原点为圆心，二庐为半径的圆，这个圆称为蒙日圆.若矩形G的四边均与椭圆

22

C:工+乙=1相切，则下列说法正确的是（）

54

A.C的蒙日圆的方程为尤2+V=9

B.若G为正方形，则G的边长为3亚

C.若圆（x—4）2+（y—m）2=4与C的蒙日圆有且仅有一个公共点，则加=±3

D.过直线/:x+2y—3=0上一点P作C的两条切线，切点分别为河，N,当NMPN为直角时，直线。尸

4

（。为坐标原点）的斜率为-一

3

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知平面a的一个法向量为而=（2,—1,1）,点A（3,—2,1）,5cl2）在平面a内，贝疗=.

2_

14.椭圆?+寸=1的右焦点到直线y=A的距离是.

15.已知产（%,%乂/片0）是圆河：（%—2）2+（）;—1）2=9上的动点，。=上吐2,则实数a的取值范围是

16.已知椭圆C:?+y2=i的左、右焦点分别为耳，鸟，M是C上异于顶点的一点，。为坐标原点，E为

线段M耳的中点，的平分线与直线EO交于点尸，当四边形九%P月的面积为2及时，

sin

ZMF2FX=.

四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）

已知圆M:炉+>2-20+人一4=0经过A（0,3）,3（2,1）两点.

（I）求圆M的半径；

（II）判断圆N:d+（>+，"+=1（加6口且加片。）与圆M的位置关系.

18.（12分）

已知直线机：3x+4y+12=0和圆C:x?+y?+2x-4y-4=0.

（I）求与直线加垂直且经过圆心C的直线的方程；

（II）求与直线冽平行且与圆C相切的直线的方程.

19.（12分）

已知空间中三点A（2,—1,1）,B（1,1,O）,C（4,-3,3）.设彳=通，b=AC.

（1）求忤-年

（II）若2%与N+小互相垂直，求实数上的值.

20.（12分）

已知圆C的圆心在坐标原点，面积为9兀.

（I）求圆C的方程；

（II）若直线/,/'都经过点（0,2）,且直线/交圆C于M,N两点，直线/'交圆C于P,Q两点,

求四边形PMQN面积的最大值.

21.（12分）

如图，在直三棱柱ABC—4与。］中，BA=BC,E为棱A3的中点，AC=虚明=2,二面角E—4。一A

的大小为3.

（I）求证：3。］〃平面吗C；

（II）求直线4c与平面E41c所成角的正弦值.

22.（12分）

已知圆C的圆心为C（a/）（。＞0且。＞0）,ab=l,圆C与x轴、y轴分别交于A,8两点（与坐标原点

。不重合），且线段A3为圆C的一条直径.

（1）求证：△408的面积为定值；

（II）若直线x—y=0经过圆C的圆心，求圆C的方程；

（III）在（II）的条件下，设P是直线/:x+2y+2=0上的一个动点，过点P作圆C的切线PG,PH,切

点为G,H,求线段G"长度的最小值.

一、单项选择题

1.答案B

【命题意图】本题考查空间向量的线性运算.

【解析】AB-DB-AC=AB+BD-AC=AD-AC=CD.

2.答案C

【命题意图】本题考查直线的斜率与倾斜角.

【解析】直线3%+君>+1=0的斜率左=—百，其倾斜角。满足0°<9<180°,因为tand=一百，所以

9=120°.

3.答案A

【命题意图】本题考查圆的一般方程.

【解析】由题意得，圆的半径厂=|A31=7(1+1)2+(2-1)2=逐，所以圆的标准方程为(x+1)?+(y—I)?=5,

所以圆的一般方程为炉+y2+2%一2y—3=0.

4.答案A

【命题意图】本题考查两直线平行的定义.

【解析】直线(a+l)x+ay+3=0与直线2ax+y—5=0平行的充要条件是a+1=2«2且一5(。+1)w6a,解

得a=1或。=--.

2

5.答案C

【命题意图】本题考查空间向量的坐标运算.

【解析】由G=(2,x,-2),且|。|=3,得,4+=2+4=3①.由行得展B=4+4x-2y=0②.由①

一[x=1,(x=—1,

②可得1或1则xy的值为0或4.

j=4[y=0,

6.答案B

【命题意图】本题考查椭圆的性质及基本不等式.

【解析】因为的周+M&|=2a,所以惘耳卜惘鸟区="=25(当且仅当|“|=阿闾=5

c2

时，等号成立).由题可知C的半焦距c=2,所以离心率e=2=*.

a5

7.答案D

【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系.

【解析】显然直线y=m(x-1)+2恒过点A(l,2),曲线y=，4一宜为半圆,当直线与半圆相切时，有

|2-mlt=解得根=0或加=4-由如图所示的图象知直线过点（-2,0）时，斜率加二2*,直线过点（2,0）

yjm2+133

_____r\

时，斜率根二一2,所以半圆y=，4一%?与直线>=相（九一1）+2有两个不同的交点时，0〈加或

-2<m<-|,所以实数冽的取值范围为一2,—£ju[o,|.

8.答案C

【命题意图】本题考查椭圆的离心率.

【解析】设椭圆的半焦距为c（c〉0）.圆（%+2）2+（丁-6）2=4与坐标轴的公共点为（—3,0）,（-1,0）,

倒，也），又椭圆的焦点在X轴上，所以，①若椭圆的上顶点为仅,网,左焦点为（-3,0）或（-1,0）,即8=省,

c=3或c=l,则。=2百或。=2,离心率e=孚或g；②若椭圆的左顶点为（—3,0）,左焦点为（—1,0）,

则。=3,c=1,离心率e=工.

3

二、多项选择题

9.答案ACD

【命题意图】本题考查直线的方程.

2l=l,.

【解析】当直线的截距不为。时，设直线的截距式方程为±+[=1,由题可得<2+Li+

ab，所以ab或

ab

1。1=网，a-b

—I—=1ci—3.6/—1.

\ab解得彳或（所以直线方程为x+y—3=0或％—y—1=0,故A正确，B错误，C正

b=3b=-l,

a二一仇ii

确；当直线的截距为。时，设直线方程为y=由题可知左=：,故直线方程为x-2y=0,D正确.

10.答案BD

【命题意图】本题考查空间向量的应用.

【解析】=LL2）,B=（2,2,—l）,.■.展B=（—I）x2+lx2+2x（—1）=—2/0,.•.直线/与〃2不垂直，

——4—21—*—►

故A错误；\•左•〃=-3+1+2=0,，〃/a或/ua,故B正确；；=7々与均不共线，，all[3

c-AB=0,[—5+2=0,

不成立，故C错误；由题可知1____.即1解得f=l,故D正确.

c-BC=0,[s+l+t=0,

11.答案BC

【命题意图】本题考查圆与圆的位置关系.

【解析】圆。2的方程可化为（％-机f+（＞+2机产=（m+1—，圆心为点一2/〃），恒在直线2x+y=0上,

故A错误；由题可知（—1—机）2+（1+2机）2=（m+1）2,解得加=—；,所以圆。2的半径为g，故B正确；

当加=一2时，|。102|=）（冽+1）2+（_2加一1）2=丽＞|加+1|+]=2,两圆相离，所以圆G与圆。2有4条

公切线，故C正确；当加=0时，圆G与圆。2的公共弦所在直线的方程为x-y+l=0,a（-1,1）到公共弦

1—1—1+11F，所以圆G与圆。2的公共弦长为、卜-亨=后，故D错误.

所在直线的距离为

正

12.答案ABC

【命题意图】本题考查数学文化.

【解析】由题可知C的蒙日圆的半径为4r3=3,则蒙日圆的方程为炉+＞2=9,故A正确；设正方形

G的边长为/«〉0）,由题可知/+〃=（2。）2+（2。）2=36,贝廿=3啦，故B正确；易知点（4,根）在圆

%2+,2=9外部，所以若圆（%—4户+（＞-my=4与C的蒙日圆有且仅有一个公共点，则两圆外切，所以

x+2y-3=Q,

收=3+2,解得加=±3,故C正确；设直线/与圆好+产二乡交于A,8两点，联立＜

x2+y2=9,

9

%=一三，

3-3,912

可得12八不妨设A,5（3,0）,当点尸与点A或3重合时，NMPN为直角,且

12y?.~°，5'T

44

koA=q，k0B=Q,所以直线。尸的斜率为―：或0,故D错误•

三、填空题

13.答案6

【命题意图】本题考查平面的法向量的定义.

【解析】因为而=（7—3,3,—3）,且福，而，所以2（"3）—3—3=0,解得/=6.

3

14.答案一

2

【命题意图】本题考查椭圆的性质及点到直线的距离.

【解析】由题可知椭圆的右焦点坐标为（百,0）,所以右焦点到直线y=6x的距离是小”=

15.答案]—oo,——U[0,+00）

【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系.

【解析】设A（0,-2）,由题知圆加的圆心为M（2,l）,半径厂=3,a表示直线PA的斜率，不妨设过点A的

圆的切线方程为丁=6-2,则圆心M到切线的距离d」?片二11=3,解得左=0或-乜，再结合图可

收+15

一co,一葭U[0,+oo).

知，实数a的取值范围为

3

【命题意图】本题考查椭圆的方程与性质.

【解析】由题可知闺闾=26，明周+|“闾=4.因为MP平分/单0工，所以「到.，的距离

相等，设为力，贝=g（阿耳1+1/局）丸=26易知OE是△4A%的中位线，延长耳尸，M鸟交于

点G,则P为£G的中点，过耳作耳于〃，易得14M=2/?=闺&卜m/朋耳片，则

Ss「2瓜in/M一后，从而sm/班『坐.

四、解答题

17.【命题意图】本题考查圆的方程及圆与圆的位置关系.

【解析】（1）由题可得〈解得〈

4+1-2a+b-4=0,[~=1,

所以圆M的一般方程为x2+y2-2y-3=0,标准方程为x2+（y-l）2=4,

故圆M的半径为2.

（II）由（I）可知”（0,1）.又N（0,—冽2—2）,所以|MN|=7"2+3.

因为加2+3〉3=1+2,所以圆河与圆N外离.

18.【命题意图】本题考查求直线的方程.

【解析】（I）设与直线相：3x+4y+12=0垂直的直线的方程为4x—3y+a=0.

圆C可化为(x+1)2+(y—2)2=9,圆心为C(-l,2),

因为直线4x-3y+a=0经过圆心C,所以4x(-l)-3x2+a=0,即a=10,

故所求直线的方程为4x-3y+10=0.

(II)设与直线相：3x+4y+12=0平行的直线的方程为3x+4y+c=0(cw12).

因为直线3x+4y+c=0与圆C相切，

所以圆心C(—1,2)到直线3x+4y+c=0的距离等于半径，即13*(-；)+4><2+。|=3,

V32+42

所以|c+5|=15,c=—20或10,

故所求直线的方程为3x+4y—20=0或3x+4y+10=0.

19.【命题意图】本题考查空间向量的坐标运算.

【解析】(I)••・A(2,—l,l),5(1,1,0),C(4,-3,3),a=AB,b=AC,

.-.a=(-l,2,-l),3=(2,—2,2),

于是21-B=(-2,4,-2)-(2,-2,2)=(-4,6,-4),

\2a-b\=，(-4)2+6z+(-4)2=2后.

(II)2ka-b=(—2左,4左,一2左)一(2,—2,2)=(—2左一2,4左+2,—2左一2),

a+kb=(-1,2-1)+(2k,-2k,2k)=(2k-1,2-2k,2k-1),

又2%B与5+以互相垂直，二(2@+防)=0,

即(一2左-2)(2左-1)+(4k+2)(2-2k)+(—2k-2)(2左-1)=0,

:.k2=-,k=+—.

22

20.【命题意图】本题考查圆的方程及直线与圆的位置关系.

【解析】(I)由题可知圆C的圆心为C(0,0),半径厂=3.

所以圆C的方程为必+V二九

(II)当直线/的斜率存在且不为0时，设直线/的方程为y=H+2,圆心到直线/的距离为d,

则d=/2,\MN\=2^-d2=2.9--^―,

J/+1Vk~+1

4

当且仅当9--口=9-即左2=1时等号成立.

r+ik2+i

当直线/的斜率不存在时，|MN|=6,\PQ\=2席二=2下,

此时SPMQN=；I"N|•|PQ|=gx6x2百=6百.

当直线I的斜率为0时，根据对称性可得SPMQN=6A/5.

综上所述，四边形PMQN面积的最大值为14.

21.【命题意图】本题考查线面平行与线面角.

【解析】（I）如图，连接AC1交4。于点。，连接。后，显然。是AG的中点,

因为E为的中点，所以0E为△ABC1的中位线，OElg,

而BQ,平面E&C，OEu平面吗C,所以3G〃平面E&C.

（II）设4G的中点为“1，连接并延长交AC于点M.

因为R4=BC,所以用4=与。］,于是有31MI_LAG.

因为三棱柱ABC-AB［。］是直三棱柱，所以平面ABJG，平面AACC］,

而平面43cln平面AAcq=4G，所以BM1平面AAcq.

因为侧面AACG是矩形，所以

以舷1为原点，分别以直线aa，MXM,4Ml为了轴、y轴、Z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

设而=BC=/V〉1),则4(—1,0,0)，C(l,V2,0),

于是离=(一2,—0,0),CE=

设平面E\C的法向量为〃=(x,y,z)，

-2x-41y-0,

n-CA=0,

则有〃_J即13J/_]令1%=1,得'〃=

n-CE=0,----XH-----------Z=0,