【数学】菱形的判定（同步课件）-2023-2024学年八年级数学下册（人教版）

第18章

平行四边形

八年级数学下册同步精品课堂（人教版）人教版

数学八年级

下册18.2.2.2菱形的判定复习引入菱形的定义是什么？性质有哪些？一组邻边相等有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形平行四边形菱形菱形的性质两组对边平行四条边相等两组对角分别相等邻角互补两条对角线互相垂直平分每一条对角线平分一组对角边角对角线思考：菱形的判定1新知探究AB=AD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形.数学语言有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.ABCD新知探究思考：用4支长度相等的铅笔能摆成菱形吗？把上述问题抽象出来就是：四条边都相等的四边形是菱形吗？你能写出该命题的“已知”和“求证”吗？尝试证明之.新知探究已知：四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD.求证：四边形ABCD是菱形.证明：在四边形ABCD中，

AB=BC=CD=DA.∵AD=BC，AB=DC，∴四边形ABCD是平行四边形.又AB=AD，∴四边形ABCD是菱形.菱形的判定2新知探究四条边都相等的四边形是菱形AB=BC=CD=AD几何语言：∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，∴四边形

ABCD是菱形.ABCD菱形ABCD四边形ABCDABCD典例精析例1已知：如图，在四边形ABCD中，线段BD垂直平分AC，且相交于点O，∠1=∠2.求证：四边形ABCD是菱形.证明∵线段BD垂直平分AC

，∴BA=BC，DA=DC，OA=OC.在△AOB

和△COD

中，∵∠1=∠2，∠AOB=∠COD，OA=OC.∴△OAB≌△OCD.∴AB=CD.∴BA=BC=CD=DA.∴四边形ABCD是菱形(四条边都相等的四边形是菱形).新知探究思考：菱形的两条对角线互相垂直且平分.从菱形的这一性质受到启发，你能画出一个菱形吗？由画法可知，四边形ABCD的两条对角线AC

与BD

互相平分，因此它是平行四边形.又已知其对角线互相垂直，上述问题抽象出来就是：对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？新知探究思考：菱形的两条对角线互相垂直且平分.从菱形的这一性质受到启发，你能画出一个菱形吗？证明：∵在□

ABCD中，AC⊥BD，OA=OC，∴BD

所在的直线是AC

的垂直平分线.∴DA=DC.∴□ABCD是菱形.菱形的判定3新知探究对角线互相垂直的平行四边形是菱形AC⊥BD几何语言：∵在□ABCD中，AC⊥BD,∴□ABCD是菱形.ABCD菱形ABCDABCD□ABCD典例精析例2证明：在Rt△BON和Rt△DOM

中，∵

BO=DO，∠DBN=∠BDM，∴Rt△BON≌Rt△DOM.∴OM=ON.∵BD，NM

是四边形BNDM的两条对角线且互相平分，∴四边形BNDM

是平行四边形.又MN⊥BD，

∴四边形BNDM是菱形.如图，在平行四边形ABCD

中，对角线AC，BD相交于点O，过点O

作MN⊥BD，分别交AD，BC于点M，N.求证：四边形BNDM是菱形.典例精析例3已知：如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝，OA＝2，OB＝1.求证：ABCD是菱形．

证明：在△AOB中，∵AB＝，OA＝2，OB＝1，∴AB2＝AO2＋OB2.∴△AOB是直角三角形，∠AOB是直角．∴AC⊥BD.∴

ABCD是菱形(对角线垂直的平行四边形是菱形)．典例精析例4在学平行四边形的时候我们知道把两张等宽的纸条交叉重叠在一起得到的四边形是平行四边形，你能进一步判断重叠部分ABCD的形状吗？ACDB分析：易知四边形ABCD是平行四边形，只需证一组邻边相等或对角线互相垂直即可进一步判断.由题意可知BC边上的高和CD边上的高相等，然后通过证△ABE≌△ADF，即得AB=AD.EF归纳总结典例精析1.菱形的判定方法：(1)(定义法)：一组邻边相等的平行四边形是菱形；(2)(对角线)：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；(3)(边)：四边相等的四边形是菱形．

平行四边形四边形2.判定菱形的常见思路：

四条边都相等判定条件对角线互相垂直一组邻边相等菱形典例精析例5（1）证明：由尺规作∠BAF的平分线的过程可得AB=AF，∠BAE=∠FAE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠FAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，∴BE=FA，∴四边形ABEF为平行四边形，∵AB=AF，∴四边形ABEF为菱形.如图,在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E，连接EF．（1）求证：四边形ABEF为菱形；（2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长．典例精析例5（2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长．解：∵四边形ABEF为菱形，∴AE⊥BF，BO=FB=3，AE=2AO，在Rt△AOB中，由勾股定理得AO=4，∴AE=2AO=8．归纳总结有一组邻边相等的平行四边形是菱形.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.四边相等的四边形是菱形.运用定理进行计算和证明菱形的判定定义法判定定理归纳总结1.下列命题中正确的是（）A.一组邻边相等的四边形是菱形B.三条边相等的四边形是菱形C.四条边相等的四边形是菱形D.四个角相等的四边形是菱形C2.能判定一个四边形是菱形的条件是（）A．对角线相等且互相垂直B．对角线相等且互相平分C．对角线互相垂直D．对角线互相垂直平分D当堂检测3.如图,在□ABCD

中,对角线AC,BD相交于点O,添加下列条件不能判定□ABCD是菱形的是（）A.

AC⊥BDB.

AB＝BCC.

AC＝BDD.∠1＝∠2C4.如图，在ABCD中，AC,BD交于点O，AB=13，AC=24，DB=10，则四边形ABCD是(

)A．一般的平行四边形B．长方形

C．菱形D．不能确定C当堂检测解：四边形ABCD是菱形.理由如下：∵△ABC

为等腰三角形，∴AB=BC.∵△CDA为等腰三角形，∴CD=AD.而△CDA是△ABC的像，∴AB=BC=CD=DA.∴四边形ABCD

是菱形.5.如图，把等腰三角形ABC

绕它的底边AC

上的中点O

旋转180°，得到三角形CDA，试问：四边形ABCD

是菱形吗？为什么？当堂检测6.如图,矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F,求证：四边形AFCE是菱形．ABCDEFO12证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AE∥FC，∴∠1=∠2.∵EF垂直平分AC，∴AO=OC.又∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF，∴EO=FO.∴四边形AFCE是平行四边形.又∵EF⊥AC ∴四边形AFCE是菱形.当堂检测证明：∵∠1=∠2,又∵AE=AC,AD=AD,∴△ACD≌△AED(SAS).

同理△ACF≌△AEF(SA