湖南省湘潭市2022-2023学年高一年级上册期末数学试题

2022年下学期高一期末考试

数学

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知命题°：*^26<6',则命题p的否定为()

A.eN,ex>exB.3XGN,ex>ex

C.VxeN,ex<e'D.VxeN,ex>ex

【答案】D

【解析】

【分析】根据全称命题与特称命题之间关系即可得出结果.

【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题°的否定为VxeN,ex〉e1

故选：D.

2.若集合A={—1,4,7},8={—1,3,7,9},则AB=()

A.{-1,7}B.{-1,3}

C.{-1,3,7}D.{-1,3,4,7,9)

【答案】A

【解析】

【分析】利用集合交集定义求解即可.

【详解】因为集合A={—1,4,7},8={—1,3,7,9},

所以Ac8={-1,7},

故选：A

3.下列函数为增函数的是（）

A./(x)=log3-B.

D/"J

C.7（x）=sinx

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数的单调性逐项判断即可.

【详解】函数/（X）=log3!与小）看］

在定义域内为减函数,不符合题意;

X

函数〃x）=sin尤在不符合题意;

根据塞函数的性质知/（%）=尤3为增函数.

故选:B.

4.若角1是第一象限角，则里是（）

2

A.第一象限角B.第二象限角

C第一或第三象限角D.第二或第四象限角

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意得左480<-<^-180+45°,左eZ,分女为偶数和奇数求解即可.

2

【详解】因为a是第三象限角，所以左・360<a<k-360+90#eZ,

所以左480<-<^-180+45°,左eZ,

2

OL

当人为偶数时，一是第一象限角，

2

OL

当女为奇数时，一是第三象限角.

2

故选：C.

5.函数/(%)=2|：|+1

-1的部分图像大致为()

')X-+1

【答案】A

【解析】

【分析】利用奇偶性和特殊点排除不符合的选项.

7|ri+1/、2|—%|+12|—xl+1/、

【详解】函数〃%)=士——1的定义域为R,/(-%)=/J「1=^^――1=/(%)，因此

X+1(一引+1X+1

/(九)是R上的偶函数，其图象关于y轴对称，选项c,D不满足；

又/(l)=g>0,所以选项B不满足，选项A符合题意.

故选：A

6.设a=3°,2/=0.32,。=logos2,贝I()

A.b>a>cB.a>b>c

C.a>c>bD.b>c>a

【答案】B

【解析】

【分析】根据指数和对数函数的单调性即可求解.

022

【详解】因为a=3->3°=1,O<Z?=0.3<0.3°=l,c=log032<log031=0,所以〃>方>c.

故选：B

22

7.从盛有IL纯酒精的容器中倒出一L,然后用水填满；再倒出一L,又用水填满；…；连续进行〃次,

33

容器中的纯酒精少于0.01L,则"的最小值为（

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

【解析】

【分析】利用指数的运算性质求解即可.

!.已知sin[a-乌]=一，则sin|2a+』-|=（）

I5；4I10；

771

——B.—CD.

16168

【答案】C

【解析】

【分析】利用换元法和二倍角公式求解即可.

7T371

【详解】令1=a—，所以sint——,cc—t-\—,

545

TT7T

所以sin(2a+-)=sin(2?+—)=cosIt=l-2sin21=——.

1028

故选：C.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列等式正确的是（）

A.sinl5°cosl50=-B.2sin222.5°-l=—

42

tan71-tan26.

C.sin26°cos34°+cos26°sin34°=—D.---------------=1

21+tan71°tan26°

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用二倍角公式和两角和差公式求解即可.

【详解】sin15°cos15°=—sin30°=—,A正确;

24

2sin222.5°-1=-cos45°=--.B错误;

2

sin260cos340+cos260sin34°=sin(260+34。)=sin60。=争C正确;

tan71°-tan26°

=tan(71°-26°)=tan45°=1,D正确;

1+tan71°tan26°

故选：ACD

10.下列命题正确的是（）

ab

A.若别>0,则一〉一B.若avbvl,则a3A//3

mm

D.若正数a,b满足a+/?=2,则工+工22

C.若兀>0且xwl,贝！Jin%H----22

Inxab

【答案】AD

【解析】

【分析】由不等式的性质和基本不等式的运用,逐个判断选项.

【详解】由不等式的性质可知，A正确，B错误;

当x£(0,1)时，InxH----<0,C错误;

Inx

正数〃，匕满足〃十人=2,则，+?=12^1+212,

ab2

当且仅当a=Z?=l时，等号成立，D正确.

故选：AD.

a

tan—

11.已知a是第三象限角，且-----二=1,则（）

12a

l-tan-

2

A.tana=lB.sin(z=--

5

sin2a」(吟1

C.D.tana——=——

5I4j3

【答案】BC

【解析】

【分析】利用正切的二倍角公式判断A,利用同角三角函数关系判断B,利用正弦的二倍角公式判断C,利

用正切的两角差公式判断D.

2tan-

【详解】由题意得tana=-----2-=2,A错误;

1-tan一

2

.221

sina+cosa-\厂「

又。是第三象限角，sino<0,所以由<sina解得sina=-2',cosi=——-,B正确;

----=tana=255

、cosa

4

sin2。=2sinacosa=1,C正确;

tan。-11…

tana----------二;,D错误；

I41+tana3

故选：BC

12.高斯是德国天才数学家，享有“数学王子”的美誉，以“高斯”命名的概念、定理、公式很多，如高斯函

数丁=[可，其中不超过实数X的最大整数称为X的整数部分，记作[%].如[2022]=2022,[1.7]=1,

[-1.5]=-2,记函数/(x)=x—印，则()

A./(-2.9)=0.9B./(%)的值域为[0,1)

C./(九)在[0,5]上有5个零点D.VaeR,方程/(x)+x=a有两个实根

【答案】BD

【解析】

【分析】根据高斯函数的定义，结合特殊点的函数值、值域、零点、方程的根、函数图象等知识对选项进行

分析，从而确定正确答案.

【详解】f(-2.9)=-2.9-[-2.9]=-2.9-(-3)=0.1,选项A错误；

当一1W九<0时，[x\--1,/(x)=x-[x]=x+l

当0Wx<l时，国=0,/(%)=%-[%]=%；

当1W%<2时，[尤]=1，/(x)=x-[x]=x-l

以此类推，可得/'(x)=x—[可的图象如下图所示,

由图可知，〃龙）在［0,5］上有6个零点，选项C错误；

VaeR,函数丁=/（力与丁=。一兀的图象有两个交点，如下图所示,

即方程/（x）+x=a有两个根，选项D正确.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13.“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋代朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是

文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号.如图，这是折扇的示意图，已知。为Q4的中点，

3兀

0A=4,ZAOB=—,则此扇面（扇环A3CD）部分的面积是.

4

9兀

【答案r

【解析】

【分析】利用扇形的面积公式可求得扇环的面积.

【详解】S扇环钻8一J扇形A03—J扇形QOC—]*彳X

故答案为：-

2

14.若函数/(X)=COS(X+2Q)的图象关于点g,。1对称，请写出一个9的值：(P=.

【答案】g(答案不唯一，符合四+如，即可)

882

【解析】

【分析】将％+2。看作一个整体，利用余弦函数的图象和性质求解即可.

JT7T

【详解】由题意可知1+20=5+阮，kE7J9

5,口7iku,

斛何(P——I----,左eZ,

82

故答案为：£(答案不唯一，符合工+包，即可)

882

15.已知/(sincif+cos<z)=2sin】cos<z,贝U/[cos：]=.

【答案】—工##-0.5

2

【解析】

【分析】利用同角三角函数的关系，求出函数解析式，再代入求值.

详解】已知/(sina+cosa)=2sinacosa,

因为(sina+coso『=l+2sinacos。，

所以令，=sina+cosa,则/⑺=/_1,

n,/扃J历｝111

I4厂12J22

故答案为：—

2

-ax+〃-2,%<0

16.已知〃〉0,函数/(%)=1.(兀、已知)⑺有且仅有5个零点，则。的取值范围为

sinax+—,0<x<2TI

[I5)

【答案】历19’2卜、?12记29

10

【解析】

【分析】当。之2时，/⑺在(—8,0)上无零点，所以Ax)在［0,2兀］上有且仅有5个零点；当。<2时，/(x)

在(-8,0)上恰有一个零点，所以/⑺在［0,2兀］上有且仅有4个零点，利用正弦函数的图象列式可求出结果.

2

【详解】当xvO时，/(%)二—依+〃—2,令/(%)=0,得元=1——

a

2

若1—->0,即〃22时，了。)在(—8,0)上无零点，所以〃尤)在［0,2兀］上有且仅有5个零点,

a

7兀T7兀T兀71兀］229

当xe［0,27i］时，GX+—G—,2(771+—,所以5兀42。兀+1<6兀，即=〈。<二.

555510

2

若1——<0,即。<2时，/(%)在(—8,0)上恰有一个零点,

a

TT19,12

所以/(%)在［0,2兀］上有且仅有4个零点，所以4兀42。兀+1<5兀,即an—K〃<—,

55

19

又〃<2,所以w4〃<2.

一..............19、1229、

综上所述：”的取值范围为行，2)。了‘记)

10

故答案为：历19，2卜1二12，记29、.

10

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.若角a终边上一点P的坐标为(3m,4m),其中相w0.

(1)求taniz的值;

(2)若a71,求sin[a+g)的值.

2

4

【答案】(1)tana=—

3

（2）4+3-\/3

10

【解析】

【分析】（1）利用三角函数的定义求解即可；

（2）利用三角函数的定义和正弦的两角和公式求解即可.

【小问1详解】

因为角1终边上一点尸的坐标为（3m,4加），且加。0,

4Hz4

所以由三角函数的定义可得tana=——=-.

3m3

【小问2详解】

因为ae

4m43m3

所以机〉0,sina=cosa=/

5Q(3m)2+(4m)25,

.兀.兀4+3A/3

所以sin[a=sinacos—+cosasin—=---------

3310

18.设全集U=R,集合Af={x|f—12x+20<0},N={x|lnx<21n3},P={x|2a<x<a+5}.

(1)求MN,M(eM)；

（2）若P^N,求a的取值范围.

【答案】⑴AfiV={x|0<x<10},M(^A^)={x|9<x<10}

(2)[0,4]o[5,+oo)

【解析】

【分析】（1）由对数函数的单调性、一元二次不等式的解法化简集合再由集合的运算求解即可;

（2）讨论P=0、PW0两种情况，根据包含关系求得a的取值范围.

【小问1详解】

由"={x|X2-12X+20<0},得"={X|2WXW10},

由N={x|Inx<2In3},得N={x|0<x<9},所以AfN={x|0<%<10}.

由N={x|0<x<9}得aN={x[x<Q^x>9],

所以M(^)={x|9<x<10}.

【小问2详解】

当P=0时，2。之。+5,即。25,符合题意，

2a<a+5

当尸W0时，。+5«9,解得0«〃<4,符合题意.

2a>0

综上，a的取值范围为[0,4]u[5,+").

19.己知幕函数/⑺=(m—1广在(0,+8)上单调递增.

(1)求加的值；

(2)若Vx〉0,/里22—乌，求a的取值范围.

x22x

【答案】(1)m=2

(2)[2,+co)

【解析】

【分析】(1)根据幕函数的性质和概念求解即可；

(2)不等式可转化为a2-2/+4%对x>0恒成立，利用一元二次函数的图象和性质求-2必+4%的最大

值即可.

【小问1详解】

因为/('=(加_1『.彳2，”-1是塞函数，且在(0,+“)上单调递增，

所以卜加一1)='解得切=2.

2m—1>0

【小问2详解】

由(1)得/(x)=x3,所以X/x>0,x>2,

2x

即a之一2九2+4%对尤>0恒成立，

4

由一元二次函数的图象和性质可得当尤=-(「1时,—2k+4%有最大值2,

所以a»2,即。的取值范围为[2,+8).

20.已知函数/(x)=log2(x-4)-log2(x-2).

(1)求“力的定义域；

(2)求”力的值域.

【答案】(1)(4+8)

(2)(-oo,0)

【解析】

【分析】(1)根据对数函数的定义域，列出不等式，解出即可.

(2)运用对数运算性质将/(X)化简为log21l-根据⑴中的定义域求得1-三的范围，再根据

y=iog2x的单调性即可求得〃尤)值域.

【小问1详解】

因为/(x)=log2(x-4)-log2(x-2),

x-4>0

所以，解得x>4,

x-2>0

所以/(九)的定义域为(4,+8).

【小问2详解】

因为〃x)=log2(x—4)—log2(x—2)

x-4x-2-2

=。2=咋2

x-2x-2

由⑴知/(X)的定义域为(4,+co),

22

所以1—2>2,0<----<1,0<1------<1,

%—2%—2

因为y=log2X是增函数，所以/(x)<log21=0,

故/(%)的值域为(-°°，0)•

21.已知函数/(x)=21nx+(—1)”必+2.

(1)证明:当〃=1时，F3在(l,e)上有零点.

(2)当九=2时，关于尤的方程/(幻=根在口,2]上没有实数解，求相的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

(2)(-oo,3)lJ(6+2In2,+co)

【解析】

【分析】(1)根据零点存在性定理即可计算端点处的函数值进行求证，

(2)根据函数的单调性求解/(尤)在xe[l,2]上的值域，进而根据加或相>[y(x)]max,即可

求解.

【小问1详解】

当〃=1时，/(x)=21nx-x2+2,

因为/(l)=l>0,/(e)=4—e2<0,所以/(l)/(e)<0,

因此/(x)在(l,e)上有零点.

【小问2详解】

当〃=2时，/(x)=21nx+x2+2,由于y=Inx,y=炉均为xe[l,2]上的单调递增函数，故/⑴在元注1,2]

上单调递增.又/(1)=3,/(2)=6+21n2,故/(x)在xe[1,2]上的值域为[3,6+2In2],

且关于x的方程/(*)=/在口,2]上没有实数解，故机<[7(司]1nm或机>[/(力]蚪，即m<3或

m>6+21n2

所以加的取值范围为(一8,3)"(6+21n2,+s).

22.已知函数〃x)=Asin(0x+°)]A〉O,0〉Ojd<])的部分图像如图所不;.

(1)求函数y=/(x)的解析式；

(2)将y=/(x)的图像上所有点的横坐标缩短到原来的;，纵坐标不变，再向右平移$个单位长度得到

y=g(%)的图像，求函数g(x)的单调递增区间；

7t兀兀兀

(3)在第(2)间的前提下，对于任意看e,是否总存在实数4e,使得

3366

/(X)+g(%)=机成立?若存在，求出实数m的值或取值范围；若不存在，说明理由.

71

【答案】(1)/(x)=sin|2%+一

3

7tkit5兀kit

(2)------1----,-----1----(左eZ)

242242

(3)存在，m=0

【解析】

T7兀兀

【分析】(1)由题知4=1，-=--------，求出T从而得。的值，将特殊点代入函数中求出9,即可解决

4