专题06不等式与不等式组（讲义）-2024年中考数学一轮复习

专题06不等式与不等式组1．结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质；2．能运用不等式的基本性质对不等式进行变形；3．能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集；4．会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集；5．能根据具体问题中的数量关系列出一元一次不等式，解决简单的实际问题，建立模型观念。考点1：不等式的概念一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．注：(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．(2)五种不等号的读法及其意义：符号读法意义“≠”读作“不等于”它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小“＜”读作“小于”表示左边的量比右边的量小“＞”读作“大于”表示左边的量比右边的量大“≤”读作“小于或等于”即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量“≥”读作“大于或等于”即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，1＞2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．考点2：不等式的解及解集1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．要点诠释：不等式的解是具体的未知数的值，不是一个范围不等式的解集是一个集合，是一个范围．其含义：①解集中的每一个数值都能使不等式成立②能够使不等式成立的所有数值都在解集中3.不等式的解集的表示方法（1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x2≤6的解集为x≤8．(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示：注：借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．(1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；(2)确定“方向”：对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言，x＜a或x≤a向左画．注意：在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点．考点3：不等式的基本性质不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c．不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．注：不等式的基本性质的掌握注意以下几点：(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．考点4：一元一次不等式的概念只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式．注：(1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为1.(2)一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系：相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式．不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向．考点5：一元一次不等式的解法1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式．2.一元一次不等式的解法：与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：（或）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)化为（或）的形式（其中）；(5)两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集.注：（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用．（2）解不等式应注意：①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；②移项时不要忘记变号；③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变．3.不等式的解集在数轴上表示：在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助．注：在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：（1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈；（2）方向：大向右，小向左．考点6：实际问题与不等式组（1）、常见的一些等量关系1.行程问题：路程＝速度×时间2.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价，4.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率6.数字问题：多位数的表示方法：例如：.（2）、列不等式解决实际问题列一元一次不等式解应用题与列一元一次方程解应用题类似，通常也需要经过以下几个步骤：(1)审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等；(2)设：设出适当的未知数；(3)列：根据题中的不等关系，列出不等式；(4)解：解所列的不等式；(5)答：写出答案，并检验是否符合题意．注：(1)列不等式的关键在于确定不等关系；(2)求得不等关系的解集后，应根据题意，把实际问题的解求出来；(3)构建不等关系解应用题的流程如图所示．（4）用不等式解决应用问题，有一点要特别注意：在设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示不等关系的文字补上．如：若“设还需要B型车x辆”，而在答中应为“至少需要11辆B型车”．这一点应十分注意．（3）、不等式组的概念定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组．如，等都是一元一次不等式组．注：(1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上．(2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数．（4）、解一元一次不等式组1.一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集．注：(1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分．(2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况．2.一元一次不等式组的解法解一元一次不等式组的方法步骤：（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集．（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集．（5）、一元一次不等式组的应用列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答．注：(1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系．(2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取非负整数．【题型1：不等式的定义与性质】【典例1】（2022·江苏南京·统考中考真题）已知实数，，，下列结论中一定正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据不等式的性质逐项分析即可．【详解】解：A、由不一定有，例如，满足，但是，故此选项不符合题意；B、当时，无意义，故此选项不符合同意；C、由不一定有，例如，满足，但是，故此选项不符合题意；D、由可以得到，故此选项符合题意；故选D．【点睛】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．1．（2023·江苏扬州·校考二模）下列命题中是假命题的是（

）A．若，则 B．若，则

C．若，则是一个无理数 D．若，则【答案】D【分析】根据平方根的定义，不等式的性质，无理数的定义，逐项分析判断即可求解．【详解】A.若，则，是真命题，故该选项不符合题意；

B.若，则

，是真命题，故该选项不符合题意；C.若，则，是一个无理数，是真命题，故该选项不符合题意；

D.若，且，则，故原命题是假命题，故该选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了真假命题的判定，熟练掌握平方根的定义，不等式的性质，无理数的定义是解题的关键．2．（2023·江苏南京·统考二模）表示数的点在数轴上的位置如图所示，下列选项中一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据点在数轴上的位置，确定出大小关系，再根据不等式的性质进行判断即可．【详解】解：由图可知：，A、，∴，选项错误，不符合题意；B、，选项错误，不符合题意；C、，选项正确，符合题意；D、，选项错误，不符合题意；故选C．【点睛】本题考查实数与数轴．不等式的性质．根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，是解题的关键．3．（2023·江苏无锡·统考二模）命题“如果，那么”是命题．（填“真”或“假”）【答案】真【分析】根据不等式的性质进行求解即可．【详解】解：若，那么，∴命题“如果，那么”是真命题，故答案为：真．【点睛】本题主要考查了不等式的性质和判断命题真假，熟知不等式的性质是解题的关键．4．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考三模）已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围为．【答案】【分析】根据不等式的基本性质，由不等式的解集为，可得：，据此求出a的取值范围即可．【详解】解：∵不等式的解集为∴∴a的取值范围为：故答案为：．【点睛】此题主要考查了不等式的解集，不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质的应用是解题的关键．【题型2：解一元一次不等式与一元一次不等式组】【典例21】（2023·江苏盐城·统考中考真题）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来.【答案】，数轴见详解【分析】根据解一元一次不等式的步骤解答即可．【详解】去分母得：，去括号得：，移项得：，合并同类项得：，系数化为1：．在数轴上可表示为：．【点睛】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集的应用，能求出不等式的解集是解此题的关键，难度适中．【典例22】（2023·江苏镇江·统考中考真题）（1）解方程：；（2）解不等式组：【答案】（1）；（2）【分析】（1）先去分母，再移项合并同类项，解出x的值，再对所求的根进行检验即可；（2）分别解每一个不等式，再求不等式组的解集即可．【详解】解：（1）方程两边同时乘以，得，解得，检验：当时，，∴是原方程的解；（2），解不等式①，得，解不等式②，得，∴原不等式组的解集是．【点睛】本题考查解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握解分式方程的方法，解一元一次不等式组的方法是解题的关键．1．（2018·江苏镇江·统考二模）关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是．【答案】【分析】先把两式相加求出的值，再代入中得到关于的不等式，求出的取值范围即可．【详解】解：，①②得，，，，，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查的是解二元一次方程组的解以及解一元一次不等式，解答此题的关键是把m当作已知条件表示出2x+y的值，再得到关于m的不等式．2．（2022·江苏镇江·校考三模）平面直角坐标系中的点位于第二象限，则m的取值范围是．【答案】/【分析】根据点在第二象限得出不等式组，求出不等式组的解集即可．【详解】解：点位于第二象限，，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了点的坐标和解一元一次不等式组，能根据点的位置得出不等式组是解此题的关键．3．（2023·江苏盐城·校考二模）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．【答案】，数轴见解析【分析】先求出两个不等式的解集，再求交集，最后在数轴上表示出来即可．【详解】解：，解不等式，得，解不等式，得，因此，该不等式的解集为，在数轴上表示为：【点睛】本题考查解一元一次不等式组，用数轴表示不等式组的解集，解题的关键是注意数轴上空心点与实心点的区别．4．（2023·江苏盐城·校联考二模）解不等式组：【答案】【分析】先求出每个不等式的解集，再写出公共部分即可得到不等式组的解集．【详解】解：解不等式①得，，解不等式②得，，∴不等式组的解集是．【点睛】此题考查了一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组得步骤是解题的关键．【题型3：一元一次不等式与一元一次不等式组的应用】【典例31】（2023·江苏南通·统考中考真题）为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下：信息—工程队每天施工面积（单位：）每天施工费用（单位：元）甲3600乙x2200信息二甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等．(1)求x的值；(2)该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于．该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用?【答案】(1)x的值为600(2)该段时间内体育中心至少需要支付施工费用56800元【分析】（1）根据题意甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等列出分式方程解方程即可；（2）设甲工程队先单独施工天，体育中心共支付施工费用元，根据先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于列出不等式即可得到答案．【详解】（1）解：由题意列方程，得．方程两边乘，得．解得．检验：当时，．所以，原分式方程的解为．答：x的值为600．（2）解：设甲工程队先单独施工天，体育中心共支付施工费用元．则．，．1400>0，随的增大而增大．当时，取得最小值，最小值为56800．答：该段时间内体育中心至少需要支付施工费用56800元．【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，熟练掌握知识点是解题的关键．【典例32】（2023·江苏盐城·统考中考真题）某校举行“二十大知识学习竞赛”活动，老师让班长小华到商店购买笔记本作为奖品．甲、乙两家商店每本硬面笔记本比软面笔记本都贵3元（单价均为整数）．(1)若班长小华在甲商店购买，他发现用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同，求甲商店硬面笔记本的单价．(2)若班长小华在乙商店购买硬面笔记本，乙商店给出了硬面笔记本的优惠条件（软面笔记本单价不变）：一次购买的数量少于30本，按原价售出；不少于30本按软面笔记本的单价售出．班长小华打算购买本硬面笔记本（为正整数），他发现再多购买5本的费用恰好与按原价购买的费用相同，求乙商店硬面笔记本的原价．【答案】(1)甲商店硬面笔记本的单价为16元(2)乙商店硬面笔记本的原价18元【分析】（1）根据“硬面笔记本数量=软面笔记本数量”列出分式方程，求解检验即可；（2）设乙商店硬面笔记本的原价为a元，则软面笔记本的单价为元，由再多购买5本的费用恰好与按原价购买的费用相同可得，再根据且m，均为正整数，即可求解．【详解】（1）解：设硬面笔记本的单价为x元，则软面笔记本的单价为元，根据题意得，解得，经检验，是原方程的根，且符合题意，故甲商店硬面笔记本的单价为16元；（2）设乙商店硬面笔记本的原价为a元，则软面笔记本的单价为元，由题意可得，解得，根据题意得，解得，为正整数，，，，，，分别代入，可得，，，，，由单价均为整数可得，故乙商店硬面笔记本的原价18元．【点睛】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出相应方程．1．（2015·江苏无锡·统考二模）某种商品进价为元，标价元，由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则至多可以打（）折．A． B． C． D．【答案】C【分析】设至多打折，用标价折扣进价得出利润，根据利润率不低于，列不等式求解．【详解】解：设至多打折，由题意得，，解得：．答：至多打折．故选：C．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，求出打折之后的利润，根据利润率不低于，列不等式求解．2．（2023·江苏泰州·校考三模）某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、能力和态度三个方面对甲、乙、丙三名应聘者进行了测试，测试成绩如下表：项目应聘者甲乙丙学历988能力768态度585公司将学历、能力、态度按的比例确定每个人的最终得分，并以此为依据最终丙被录取，则m的取值范围是【答案】【分析】根据题可得，再由，可得，然后根据以此为依据最终丙被录取，可得到关于m的不等式组，即可求解．【详解】解：根据题意得：，∴，∵，∴，解得：，∵以此为依据最终丙被录取，∴，解得：，∴m的取值范围是．故答案为：【点睛】本题主要考查了加权平均数，不等式组的应用，熟练掌握加权平均数的公式是解题的关键．3．（2023·江苏扬州·校考二模）某超市销售、两款酒精消毒液，若购买2瓶款和4瓶款酒精消毒液需要110元；购买3瓶款和2瓶款酒精消毒液需要85元．(1)求、两款酒精消毒液的销售单价；(2)某单位准备用不超过1000元购买这两款酒精消毒液共60瓶，求至少需购买多少瓶款酒精消毒液．【答案】(1)款酒精消毒液的销售单价为元，款酒精消毒液的销售单价为元；(2)40瓶【分析】（1）设款酒精消毒液的销售单价为元，款酒精消毒液的销售单价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；（2）设需购买瓶款酒精消毒液，则购买瓶款酒精消毒液，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解．【详解】（1）解：设款酒精消毒液的销售单价为元，款酒精消毒液的销售单价为元，根据题意得，解得：答：款酒精消毒液的销售单价为元，款酒精消毒液的销售单价为元；（2）解：设需购买瓶款酒精消毒液，则购买瓶款酒精消毒液，根据题意得，解得：，为正整数，则最小正整数为答：至少需购买瓶款酒精消毒液．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，根据题意列出方程组与不等式是解题的关键．4．（2023·江苏盐城·校考二模）A、B两地相距，甲车从A地驶往B地，乙车从B地以的速度匀速驶往A地，乙车比甲车晚出发．设甲车行驶的时间为x（），甲、乙两车离A地的距离分别为，图中线段表示与x的函数关系．(1)若两车同时到达目的地．①a的值为．②在图中画出与x（）的函数图像；(2)若甲、乙两车在距A地至之间的某处相遇，求a的取值范围．【答案】(1)①，②图见解析(2)【分析】（1）①乙车从B地以的速度匀速驶往A地，两车同时到达目的地,求出乙车行驶时间为，则，即可得到乙车比甲车晚出发，即，②根据①中数据即可画出图象；（2）求得，，由得，当时，，则，解不等式即可得答案．【详解】（1）解：①∵乙车从B地以的速度匀速驶往A地，两车同时到达目的地，∴乙车行驶时间为，∵，∴乙车比甲车晚出发，即，故答案为：②图象如下：（2）解：根据题意得：甲的速度为，∴，，由得：，当时，，∵甲、乙两车在距A地至之间的某处相遇，∴，解得，∴a的范围是．【点睛】本题考查一次函数的应用，解一元一次不等式，解题的关键是数形结合．1．若，则下列结论成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了不等式的性质，根据不等式的性质求解即可，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．【详解】解：对于A选项，由，可得，原变形错误，不符合题意；对于B选项，由，可得，原变形错误，不符合题意；对于C选项，由，可得，原变形错误，不符合题意；对于D选项，由，可得，原变形正确，符合题意；故选：D．2．不等式在数轴上表示正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查了用数轴表示不等式的解集，根据，则用数轴表示不等式的解集，即可作答．【详解】解：因为所以不等式在数轴上表示为：故选：A3．不等式的解集为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的方法步骤解答即可．【详解】解：，去分母，得：，去括号，得：，移项，得：，合并同类项，得：，系数化为1，得：，故选：A．4．如图表示某个不等式组的解集，这个不等式组可以是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】观察数轴上表示的解集，判断即可．【详解】解：根据数轴得：，则这个不等式可以是．故选：C．【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．5．一本书共98页，张力读了一周（7天）还没读完，而李永不到一周就已读完．李永平均每天比张力多读3页．若设张力平均每天读x页，则由题意列出不等式组为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由“张力读了一周（7天）还没读完，而李永不到一周就已读完”可建立不等式组．【详解】解：设张力平均每天读x页，则李永平均每天读页由“张力读了一周（7天）还没读完”可得：由“李永不到一周就已读完”可得：故：故选：A．【点睛】本题考查列一元一次不等式组．正确理解题意是解题关键．6．根据数量关系“的2倍小于5”，可列不等式．【答案】/【分析】本题考查的是列一元一次不等式，根据题意正确列式即可．【详解】解：“的2倍小于5”可列不等式，故答案为：．7．不等式的正整数解是．【答案】1【分析】此题主要考查了一元一次不等式的整数解，关键是首先移项合并同类项，算出不等式的解集，再在解集范围内找出符合条件的正整数解．【详解】解：，移项得：，合并同类项得：，把的系数化为1得：，则正整数解为：1．故答案为：1．8．不等式组的解集是．【答案】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【详解】解：解不等式，得：，解不等式，得：，则不等式组的解集为，故答案为：．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．9．如果，那么填“>”、“<”或“=”【答案】【分析】根据不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；由依次运算即可；【详解】解：∵，∴，∴，故答案为：；【点睛】本题考查了不等式的性质，注意两边乘以同一个负数要改变不等号的方向．10．陈老师购了一批笔记本，用于奖励期中考试成绩优异和进步快的同学，同学们想知道笔记本的本数，陈老师让他们猜．陈茜说：“至少13本．”江涵说：“至多11本．”江月说：“至多8本．”陈老师说：“你们三个人都说错了”．则这批笔记本有本．【答案】12【分析】设这批笔记本有x本，根据三个人的说法都不正确，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数，即可确定x的值．【详解】解：设这批笔记本有x本，依题意得：，解得：11＜x＜13．又∵x为正整数，∴x＝12．故答案为：12．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．11．（1）计算：；（2）解不等式组．【答案】（1）；（2）无解【分析】本题考查了实数的混合运算，解一元一次不等式组，解题的关键是：（1）先算乘方，绝对值和开方，再算加减法；（2）分别求出每一个不等式的解集，再确定不等式组的解集．【详解】解：（1）；（2），解不等式得：，解不等式得：，∴不等式组无解．12．解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．【答案】，数轴见解析【分析】本题考查了解一元一次方程组，以及在数轴上表示不等式的解集，分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集．【详解】解：，解不等式①得，，解不等式②得，，∴不等式组的解集为，不等式组的解集在数轴上表示为

．13．解不等式组清按下列步骤完成解答．(1)解不等式①，得：____________；(2)解不等式②，得：____________．(3)在直线上建立数轴，并将不等式①和②的解集表示在数轴上：____________(4)利用数轴，可以直观看出两个不等式解集的公共部分，从而得到原不等式组的解集为：____________．【答案】(1)(2)(3)见解析(4)【分析】分别解这两个不等式，把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，找到解集的公共部分即可得到原不等式组的解集．【详解】（1）解：，移项，得：，合并同类型，得：，系数化为1，得：，解不等式①，得：，故答案为：；（2）解：，去分母，得：，去括号，得：，移项，合并同类项，得：，系数化为1，得：，解不等式②，得：，故答案为：；（3）解：将不等式①和②的解集表示在数轴上：（4）直观看出两个不等式解集的公共部分，从而得到原不等式组的解集为：，故答案为：．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，体现了数形结合的思想，在数轴上找到解集的公共部分是解题的关键．14．某商店老板销售一种商品，该商品进价为200元，标价为360元．活动期间要降价销售，他要以不低于进价的利润才能出售，求商店老板最多可以降价多少元？【答案】120元【分析】设商店老板降价x元，根据题意列出不等式，求解不等式即可．【详解】解：设商店老板降价x元，由题意得，，解得，答：商店老板最多可以降价120元．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，理清题意，找准不等关系，列出不等式是解题的关键．15．在我校“数学项目化学习”中，学生使用甲、乙两种原料配制奶茶．两种原料的蛋白质含量及价格如下表：原料甲乙蛋白质的含量/（单位/kg）600100原料价格/（元/kg）84(1)现配制这种奶茶10kg，要求至少含有4200单位的蛋白质，求出所需甲种原料的质量x（kg）的取值范围．(2)如果仅要求购买甲、乙两种原料的费用不超过72元，求所需甲种原料的质量x（kg）的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）设需要甲种原料，则需要乙种原料，然后根据要求至少含有4200单位的蛋白质列出不等式求解即可；（2）根据购买甲、乙两种原料的费用不超过72元结合（1）所求，建立关于x的不等式组进行求解即可．【详解】（1）解：设需要甲种原料，则需要乙种原料，由题意得，∴，解得；（2）解：由题意得，解得．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意找到不等关系是解题的关键．1．八年级某小组同学去植树，若每人平均植树7棵，则还剩9棵，若每人平均植树9棵，则有1位同学有植树但植树棵数不到3棵．则同学人数为（

）A．8人 B．9人 C．10人 D．11人【答案】A【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，设同学人数为x人，植树的棵数为棵，有植树但植树棵数不到3棵意思是植树棵数在1棵和3棵之间，包括1棵，不包括3棵，关系式为：植树的总棵数，植树的总棵数，把相关数值代入列出不等式组，解不等式组即可得解，得到植树总棵数和预计植树棵数之间的关系式是解决本题的关键．【详解】设同学人数为x人，植树的棵数为棵，∵有1位同学有植树但植树的棵数不到3棵，植树的总棵数为棵，∴可列不等式组为解不等式组得：，∵人数要取非负整数，∴故选：A．2．已知点关于x轴的对称点在第二象限，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查坐标于轴对称，以及象限内点的符号特征．根据关于x轴对称的点的特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，求得对应点的坐标，再根据第二象限的点的符号特征，列出不等式组，求解即可．【详解】解：点关于x轴的对称点为，∵在第二象限，∴，解得：；故选C．3．若不等式组无解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得；由，得，原不等式组无解，，解得．故选D．【易错点分析】学生在解决有解无解题目时，弄不清是否取等号导致出错，最好的做法是将取等的值代入化简后的方程组，看是否成立．4．在方程组中，若未知数x、y满足，则m的取值范围是（）．A． B． C． D．【答案】C【分析】将方程组中的两个方程相加可得：进而得到，然后再结合即可解答；掌握整体思想是解题的关键．【详解】解：将方程组中的两个方程相加可得：，则，∵，∴，解得：，故选：C．5．已知点，点，均在抛物线上，若，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查二次函数的增减性，根据，求出对称轴为，进而求出顶点的纵坐标为，根据，得到抛物线的开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，列出不等式进行求解即可．【详解】解：∵，∴对称轴为，∴当时的函数值为，∵，∴抛物线的开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，∴，∴或解得：；故选：B．6．现有150吨泥沙需要搬运，搬运的货车每辆的承载量为4吨，则至少需要辆货车才能把这些泥沙一次性搬运完毕．【答案】38【分析】假设至少需要辆货车才能把这些泥沙一次性搬运完毕，可列不等式，由于是正整数，所以可求得答案．本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，将实际问题转化为数学问题是解题的关键．【详解】解：设至少需要辆货车才能把这些泥沙一次性搬运完毕．则由题意得．解得．由于应为正整数．所以．故答案为38．7．关于的二次函数，当时，在时取得最大值，则实数的取值范围是．【答案】【分析】本题考查了二次函数的对称轴，列不等式，解不等式，掌握二次函数图像特点是解答本题的关键．根据二次函数图像的特点，当时，对称轴在和的中点时，在和的地方都取得最大值；当对称轴在和的中点的右侧时，在时取得最大值；当对称轴在和的中点的左侧时，在时取得最大值，因此，即．【详解】解：根据题意分析，当时，在时取得最大值，当对称轴在范围内时，，解得：，时，函数在和的地方都取得最大值．当对称轴不在范围内时，此时对称轴一定在的左面，∴，解得：，综上：实数a的取值范围是故答案为：．8．若数a使关于x的不等式组无解，且使关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是．【答案】22【分析】本题考查了解一元一次不等式组与解分式方程；先求出不等式组的解集，再根据不等式组无解确定a的取值范围，然后再解分式方程，根据分式方程有非负数解，得到a的取值范围，进而得到满足条件的整数a的值之和即可．根据题目的条件确定常数的取值范围是解决本题的关键．【详解】解：解不等式组可得，∵不等式组无解，∴，解得：，解分式方程：，可得，又∵分式方程有非负整数解，∴，且，解得且，∴且，∴满足条件的整数a的值为1，5，7，9，∴满足条件的整数a的值之和是22．故答案为：22．9．如图，，现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线、上．从点开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中为第一根小棒，且，若只能摆放5根小棒，的取值范围为．【答案】【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的外角定理，解题的关键是掌握等腰三角形“等边对等角”，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．根据等腰三角形的性质，三角形的外角定理推出，，，，，根据只能摆放5根小棒，列出不等式组求解即可．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，同理可得：，，∵只能摆放5根小棒，∴，解得：，故答案为：．10．对于点和点，给出如下定义：若，则称点B为点A的纵变点．例如：点的纵变点是．若点满足，P的纵变点为，且，则a的取值范围是．【答案】【分析】本题主要考查了新定义下的运算和解不等式组，解答本题的关键是熟练掌握新定义“纵变点”，解不等式时注意不等号两边乘以同一个负数时不等号方向要改变．根据纵变点的定义分两种情况讨论分别得出不等式组求解即可．【详解】，①当时，，，解得：；②当时，，，无解，综上所述，的取值范围是．故答案为：．11．解不等式（组）(1)(2)，并把解集在数轴上表示出来．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．利用不等式的性质和求不等式组解集的口诀解题即可．【详解】（1）化简可得，即．在数轴上表示不等式的解集如图所示：．（2）解不等式①可得：解不等式②可得：不等式解集为，在数轴上表示不等式组的解集如图所示：

．12．对于任意实数a，b，定义关于@的一种运算如下：，例如：，．(1)若，求x的取值范围；(2)已知关于x的方程的解满足，求a的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了新定义下的实数运算，解一元一次不等式，解一元一次方程．根据新定义列出关于x的不等式，正确的解一元一次不等式、一元一次方程是解题的关键．（1）根据新定义列出关于x的不等式，求解即可；（2）先解关于x的方程得出，再将代入由列出的关于a的不等式中，计算求解即可．【详解】（1）解：∵，∴，解得，；（2）解：，去括号得，，移项合并得，，系数化为1得，，∵，关于x的方程的解满足，∴，解得，．13．某玩具商店为了儿童节提前储备货物，用3000元购进一批儿童玩具，接着又用5400元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了10元．(1)求第一批玩具每套的进价是多少元？(2)儿童节期间，为了促销全店商品打7折销售，该玩具全部售完并且总利润不低于25%，那么每套玩具打折前的标价至少是多少元？【答案】(1)第一批玩具每套的进价是50元；(2)每套玩具打折前的标价至少是100元．【分析】本题主要考查分式方程与一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意；（1）设第一批玩具每套的进价是x元，则第二批玩具每套的进价是元，由题意易得，然后求解即可；（2）设每套玩具打折前的标价是y元，由题意易得，进而求解即可．【详解】（1）解：设第一批玩具每套的进价是x元，则第二批玩具每套的进价是元，由题意得：，解得：，经检验，是分式方程的解，符合题意，答：第一批玩具每套的进价是50元；（2）解：设每套玩具打折前的标价是y元，（套），（套）．，解得：，答：每套玩具打折前的标价至少是100元．14．习近平总书记说：“人民群众多读书，我们的民族精神就会厚重起来、深邃起来．”某书店计划在4月23日世界读书日之前，同时购进A，B两类图书，已知购进3本A类图书和4本B类图书共需288元；购进6本A类图书和2本B类图书共需306元．(1)A，B两类图书每本的进价各是多少元？(2)该书店计划用4500元全部购进两类图书，设购进A类x本，B类y本．①直接写出y关于x的关系式；②进货时，A类图书的购进数量不少于60本，已知A类图书每本的售价为38元，B类图书每本的售价为50元，若书店全部售完可获利W元，求W关于x的关系式，并说明应该如何进货才能使书店所获利润最大，最大利润为多少元？【答案】(1)A类图书36元/本，B类图书45元/本．(2)①；②，当购进A类图书60本，B类图书52本可获得最大利润380元．【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，理解题意，列出方程和不等式组，建立函数关系式是求解本题的关键．（1）设A类图书每本a元，B类图书每本b元，根据题意建立二元一次方程组求解．（2）①根据用4500元全部购进两类图书可求出函数关系式．②先求w与x的函数关系式，再根据函数性质求最值．【详解】（1）设A类图书每本a元，B类图书每本b元，由题意得：，∴．答：A类图书36元/本，B类图书45元/本．（2）①∵用4500元全部购进两类图书，∴，∴，②由题意得：．∵，，∴．∵，∴y随x的增大而减小，∴当时，y最大（元）．（本）．∴当购进A类图书60本，B类图书52本可获得最大利润380元．15．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”．(1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是____________；（填序号）(2)关于x的方程是不等式组的“关联方程”，求k的取值范围；(3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有3个整数解，试求m的取值范围．【答案】(1)②③(2)(3)【分析】此题考查了一元一次方程的解法和一元一次不等式组的的解法，读懂题意，正确解一元一次方程和一元一次不等式组是解题的关键．（1）解方程和不等式组后，根据定义进行判断即可；（2）解方程和不等式组后，再解关于k的不等式组即可；（3）解方程和不等式组后，再解关于m的不等式组，由不等式组有3个整数解得到新的不等式组，解新不等式组后，取两个不等式组解集的公共部分即可．【详解】（1）解：①去括号得，，移项合并同类项得，；②去分母得，，移项合并同类项得，，系数化为1得，；③移项得，，系数化为1得，；解不等式①得，解不等式②得，∴不等式组的解集为，和在的范围内，所以方程②和③是不等式组的“关联方程”．故答案为：②③．（2）解得，解不等式①得，，解不等式②得，，∴不等式组的解集为，∴，解得；（3）去分母得，移项合并同类项得，；解不等式①得，，解不等式②得，，∴不等式组的解集为∴，解得，∵不等式组有3个整数解，∴，解得，∴1．（2020·江苏宿迁·统考中考真题）若a＞b，则下列等式一定成立的是（）A．a＞b+2 B．a+1＞b+1 C．﹣a＞﹣b D．|a|＞|b|【答案】B【分析】利用不等式的基本性质判断即可．【详解】A、由a＞b不一定能得出a＞b+2，故本选项不合题意；B、若a＞b，则a+1＞b+1，故本选项符合题意；C、若a＞b，则﹣a＜﹣b，故本选项不合题意；D、由a＞b不一定能得出|a|＞|b|，故本选项不合题意．故选：B．【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．2．（2020·江苏常州·中考真题）如果，那么下列不等式正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据不等式的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A、由x＜y可得：，故选项成立；B、由x＜y可得：，故选项不成立；C、由x＜y可得：，故选项不成立；D、由x＜y可得：，故选项不成立；故选A.【点睛】本题考查了不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．3．（2022·江苏镇江·统考中考真题）如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依据点在数轴上的位置，不等式的性质，绝对值的意义，有理数大小的比较法则对每个选项进行逐一判断即可得出结论．【详解】解：由题意得：a＜0＜b，且＜，∴，∴A选项的结论不成立；，∴B选项的结论不成立；，∴C选项的结论不成立；，∴D选项的结论成立．故选：D．【点睛】本题主要考查了不等式的性质，有理数大小的比较法则，利用点在数轴上的位置确定出a，b的取值范围是解题的关键．4．（2020·江苏苏州·统考中考真题）不等式的解集在数轴上表示正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．【详解】解：移项得，2x≤3+1，合并同类项得，2x≤4，系数化为1得，x≤2，在数轴上表示为：故选：C．【点睛】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右，在表示解集时≥，≤要用实心圆点表示；＜，＞要用空心圆点表示”是解答此题的关键．5．（2021·江苏南通·统考中考真题）若关于x的不等式组恰有3个整数解，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀不等式组的整数解个数即可得出答案．【详解】解：解不等式，得：，解不等式，得：，∵不等式组只有3个整数解，即5，6，7，∴，故选：C．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式，并根据不等式组整数解的个数得出关于的不等式组．6．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）不等式的最大整数解是．【答案】3【分析】根据一元一次不等式的解法即可得．【详解】解：不等式的解集是，则不等式的最大整数解是3，故答案为：3．【点睛】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题关键．7．（2020·江苏宿迁·统考中考真题）不等式组的解集是．【答案】x＞1【分析】解不等式x+2＞0得x＞﹣2，结合x＞1，利用口诀“同大取大”可得答案．【详解】解：解不等式x+2＞0，得：x＞﹣2，又x＞1，∴不等式组的解集为x＞1，故答案为：x＞1．【点睛】此题主要考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．8．（2022·江苏常州·统考中考真题）如图，数轴上的点、分别表示实数、，则．（填“>”、“=”或“<”）【答案】【分析】由图可得：，再根据不等式的性质即可判断．【详解】解：由图可得：，由不等式的性质得：，故答案为：．【点睛】本题考查了数轴，不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质．9．（2021·江苏扬州·统考中考真题）在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则整数m的值为．【答案】2【分析】根据第二象限的点的横坐标小于0，纵坐标大于0列出不等式组，然后求解即可．【详解】解：由题意得：，解得：，∴整数m的值为2，故答案为：2．【点睛】本题考查了点的坐标及解一元一次不等式组，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键．10．（2023·江苏南通·统考中考真题）已知一次函数，若对于范围内任意自变量的值，其对应的函数值都小于，则的取值范围是．【答案】【分析】根据题意和一次函数的性质可得到，然后求解即可．【详解】解：一次函数，随的增大而增大，对于范围内任意自变量的值，其对应的函数值都小于，，解得．故答案为：．【点睛】本题主要考查一次函数的性质，明确题意，列出正确的不等式是解题的关键．11．（2023·江苏苏州·统考中考真题）解不等式组：【答案】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【详解】解：解不等式①得：解不等式②得：∴不等式组的解集为：【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．12．（2023·江苏徐州·统考中考真题）（1）解方程组（2）解不等式组【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用代入法解二元一次方程组即可；（2）求出每个不等式的解集，取每个不等式解集的公共部分即可．【详解】解：（1）把①代入②得，，解得，把代入①得，，∴；（2）解不等式①得，，解不等式②得，，∴不等式组的解集是．【点睛】此题考查了二元一次方程组的解法和一元一次不等式