八年级数学平行四边形30道经典题(含答案和解析)

八年级数学平行四边形30道经典题（含答案和解析）如图，平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝5，AE平分∠BAD交BC于点E，则CE的长为（）．A.1B.2C.3D.4答案：B.解析：∵平行四边形ABCD，AE平分∠BAD交BC于点E.∴∠BAE＝∠EAD,∠EAD＝∠AEB.∴∠BAE＝∠AEB.∴AB＝BE＝3.∴EC＝2.所以答案为B．考点：三角形——全等三角形——角平分线的性质定理.四边形——平行四边形——平行四边形的性质.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，若BF＝12，AB＝10，则AB的长为（）．A.13B.14C.15D.16答案：D解析：∵平行四边形ABCD，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F.∴四边形ABEF为平行四边形.∴∠FAB＋∠ABE＝180°，∠FAE＝∠EAB，∠ABF＝∠FBE.∴∠BAE＋∠ABF＝90°，AE⊥BF.∴四边形ABEF为菱形.设AE，BF交点为点O，则点O平分线段AE，BF.在△ABO中，AO2＋BO2＝AB2，12∵BF＝12，AB＝10.解得AE＝16.所以答案为D．考点：三角形——直角三角形——勾股定理.四边形——平行四边形——平行四边形的性质.四边形——菱形——菱形的判定.如图，已知平行四边形纸片ABCD的周长为20，将纸片沿某条直线折叠，使点D与点B重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连接BE，则△ABE的周长为．答案：10.解析：依题可知，翻折轴对称BE＝DE,△ABE的周长＝AB＋AE＋BE＝AB＋AD＝10．考点：四边形——平行四边形.几何变换——图形的对称——翻折变换（折叠问题）.下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（）．A.AB∥CD，AD∥BCB.AB＝CD，AD∥BCC.AB∥CD，AB＝CDD.∠A＝∠C，∠B＝∠D答案：B.解析：如图：A选项，∵AB∥CD，AD∥BC.∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误.B选项，根据AB＝CD和AD∥BC可以是等腰梯形，错误，故本选项正确.C选项，∵AB∥CD，AB＝CD.∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误.D选项，∵∠A＝∠C，∠B＝∠D.∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误.故选B．考点：四边形——平行四边形——平行四边形的判定.阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：过直线外一点作已知直线的平行线．已知：直线l及其外一点A．求作：l的平行线，使它经过点A．小云的作法如下：在直线l上任取一点B，以点B为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于点C.（2）分别以A，C为圆心，以BC，AB的长为半径作弧，两弧相交于点D.（3）作直线AD．所以直线AD即为所求．老师说：“小云的作法正确．”请回答：小云的作图依据是．答案：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形对边平行；两点确定一条直线.解析：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形对边平行；两点确定一条直线．考点：四边形——平行四边形——平行四边形的判定.尺规作图——过一点作已知直线的平行线.如图所示，平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，点E，F分别在CD和BC的延长线上,AE∥BD,EF⊥BC，CF＝3．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形．（2）求AB的长．答案：（1）证明见解析． （2）AB＝3.解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形.∴AB∥DC，AB＝CD．∵AE∥BD.∴四边形ABDE是平行四边形． （2）由（1）知，AB＝DE＝CD．即D为CE中点．∵EF⊥BC.∴∠EFC＝90°．∵AB∥CD.∴∠DCF＝∠ABC＝60°．∴∠CEF＝30°．∴CE＝2CF＝23.∴AB＝CD＝3．考点：三角形——直角三角形——含30°角的直角三角形.四边形——平行四边形——平行四边形的性质——平行四边形的判定.如图，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，沿直线AE翻折△ABE，使B点落在点F处，连结CF并延长交AD于G点． （1）依题意补全图形． （2）连接BF交AE于点O，判断四边形AECG的形状并证明． （3）若BC＝10，AB＝203，求CF答案：（1）画图见解析． （2）四边形AECG是平行四边形，证明见解析． （3）CF＝6．解析：（1）依题意补全图形，如图： （2）依翻折的性质可知，点O是BF中点.∵E是BC边的中点.∴EO∥CG.∵AG∥CE.∴四边形AECG是平行四边形． （3）在Rt△ABE中.∵BE＝12BC＝5，AB＝20∴AE＝253∵S△BAE＝12AB×BE＝12∴BO＝4.∴BF＝2BO＝8.∵BF⊥AE，AE∥CG.∴∠BFC＝90°.∴CF＝6．考点：三角形——直角三角形——勾股定理.四边形——平行四边形——平行四边形的判定.几何变换——图形的对称——作图：轴对称变换.如图，平行四边形ABCD的周长为40，△BOC的周长比△AOB的周长多10，则AB为（）．A.20B.15C.10D.5答案：D.解析：∵平行四边形的周长为40.∴AB＋BC＝20.又∵△BOC的周长比△AOB的周长多10.∴BC－AB＝10.解得：AB＝5，BC＝15．故答案为：D．考点：四边形——平行四边形——平行四边形的性质.如图，将矩形ABCD沿对角线BD所在直线折叠，点C落在同一平面内，落点记为C'和BC'与AD交于点E，若AB＝3，BC＝4，则DE的长为答案：258解析：由折叠得，∠CBD＝∠EBD.由AD∥BC得，∠CBD＝∠EDB.∴∠EDB＝∠EBD.∴DE＝BE.设DE＝BE＝x，则AE＝4－x.在Rt△ABE中.AE2(4-解得x＝258∴DE的长为258考点：三角形——直角三角形——勾股定理.四边形——矩形——矩形的性质.几何变换——图形的对称——翻折变换（折叠问题）.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，DE∥AC交BA的延长线于点E，点F在BC上，BF＝BO，且AE＝6，AD＝8． （1）求BF的长．（2）求四边形OFCD的面积．答案:（1）BF＝5． （2）S四边形OFCD＝332解析：（1）∵四边形ABCD是矩形.∴∠BAD＝90°.∴∠EAD＝180°－∠BAD＝90°.∵在Rt△EAD中，AE＝6，AD＝8.∴DE＝AE2∵DE∥AC，AB∥CD.∴四边形ACDE是平行四边形．∴AC＝DE＝6．在Rt△ABC中,∠ABC＝90°.∵OA＝OC.∴BO＝12AC＝5∵BF＝BO.∴BF＝5．（2）取BC中点为O.∴BG＝CG.∵四边形ABCD是矩形.∴OB＝OD，∠BCD＝90°，CD⊥BC．∴OG是△BCD的中位线．∴OG∥CD．由（1）知，四边形ACDE是平行四边形，AE＝6.∴CD＝AE＝6．∴OG＝12CD＝3∵AD＝8.∴BC＝AD＝8．∴S△BCD＝12BC×CD＝24，S△BOF＝12BF×OG＝∴S四边形OFCD＝S△BCD－S△BOF＝332考点：三角形——三角形基础——三角形中位线定理.直角三角形——勾股定理.四边形——平行四边形——平行四边形的性质——平行四边形的判定.矩形——矩形的性质.四边形基础——四边形面积.如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝1，延长AD到点E，使DE＝AD，延长CD到点F，使DF＝CD，连接AC、CE、EF、AF．（1）求证：四边形ACEF是矩形．（2）求四边形ACEF的周长．答案：（1）证明见解析． （2）四边形ACEF的周长为：2＋23．解析：（1）∵DE＝AD，DF＝CD.∴四边形ACEF是平行四边形.∵四边形ABCD为菱形.∴AD＝CD.∴AE＝CF.∴四边形ACEF是矩形．（2）∵△ACD是等边三角形.∴AC＝1.∴EF＝AC＝1.过点D作DG⊥AF于点G，则AG＝FG＝AD×cos30∴AF＝CE＝2AG＝3.∴四边形ACEF的周长为：AC＋CE＋EF＋AF＝1＋3＋1＋3＝2＋23．考点：三角形——等腰三角形——等边三角形的判定.锐角三角函数——解直角三角形.四边形——平行四边形——平行四边形的判定.矩形——矩形的判定.菱形——菱形的性质.四边形基础——四边形周长.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F，M，N分别是OA，OB，OC,OD的中点，连接EF，FM，MN，NE． （1）依题意，补全图形． （2）求证：四边形EFMN是矩形． （3）连接DM，若DM⊥AC于点M，ON＝3，求矩形ABCD的面积．答案：（1）答案见解析． （2）证明见解析． （3）363．解析：（1） （2）∵点E，F分别为OA，OB的中点.∴EF∥AB，EF＝12AB同理，NM∥DC，NM＝12DC∵四边形ABCD是矩形.∴AB∥DC，AB＝DC，AC＝BD.∴EF∥NM，EF＝NM.∴四边形EFMN是平行四边形．∵点E，F，M，N分别OA，OB，OC，OD的中点.∴OE＝12OA，OM＝12在矩形ABCD中.OA＝OC＝12AC，OB＝OD＝12∴EM＝OE＋OM＝12AC同理可证FN＝12BD∴EM＝FN．∴四边形EFMN是矩形．（3）∵DM⊥AC于点M.由（2）可知，OM＝12OC.∴OD＝CD．在矩形ABCD中.OA＝OC＝12AC，OB＝OD＝12BD，AC∴OA＝OB＝OC＝OD.∴△COD是等边三角形.∴∠ODC＝60°.∵NM∥DC.∴∠FNM＝∠ODC＝60°.在矩形EFMN中，∠FMN＝90°.∴∠NFM＝90°－∠FNM＝30°.∵ON＝3.∴FN＝2ON＝6，FM＝33，MN＝3.∵点F，M分别OB，OC的中点.∴BC＝2FM＝63.∴矩形ABCD的面积为BC×CD＝363.考点：直线、射线、线段——直线、射线、线段的基本概念——线段中点、等分点.三角形——三角形基础——三角形中位线定理.直角三角形——含30°角的直角三角形——勾股定理.四边形——矩形——矩形的性质——矩形的判定.如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(-3，0)，(2，0)，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是．答案：（5,4）.解析：由题意及菱形性质，得：AO＝3，AD＝AB＝DC＝5.根据勾股定理，得DO＝AD2∴点C的坐标是（5,4）.考点：三角形——直角三角形——勾股定理的应用.四边形——菱形——菱形的性质.如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E，F分别在AD，BC上，连接BE，DF，EF，BD．若四边形BFDE是菱形，且EF＝AE＋FC，则边BC的长为（）．A.23B.33C.63D.9答案：B.解析：∵四边形ABCD是矩形.∴∠A＝90°，AD＝BC，AB＝DC＝3．∵四边形BEDF是菱形.∴EF⊥BD，∠EBO＝∠DBF，ED＝BE＝BF.∴AD－DE＝BC－BF，即AE＝CF．∵EF＝AE＋FC，EO＝FO.∴AE＝EO＝CF＝FO.∴△ABE≌△OBE.∴AB＝BO＝3，∠ABE＝∠EBO.∴∠ABE＝∠EBD＝∠DBC＝30°.∴在Rt△BCD中，BD＝2DC＝6.∴BC＝BD2考点：三角形——直角三角形——勾股定理.四边形——矩形——矩形的性质.菱形——菱形的性质.如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．小米的作法是：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形．则小米的依据是．答案：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．解析：根据平行四边形定义可知，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；根据菱形的定义可知对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以答案为一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．考点：四边形——平行四边形——平行四边形的判定.菱形——菱形的判定.在数学课上，老师提出如下问题：如图1：将锐角三角形纸片ABC(BC＞AC)经过两次折叠，得到边AB，BC，CA上的点D，E，F．使得四边形DECF恰好为菱形．小明的折叠方法如下：如图2:（1）AC边向BC边折叠，使AC边落在BC边上，得到折痕交AB于D．（2）c点向AB边折叠，使C点与D点重合，得到折痕交BC边于E，交AC边于F．老师说：“小明的作法正确．”请回答：小明这样折叠得到菱形的依据是．答案：CD和EF是四边形DECF对角线，而CD和EF互相垂直且平分（答案不唯一）.解析：如图，连接DF、DE.根据折叠的性质知，CD⊥EF，且OD＝OC，OE＝OF.则四边形DECF恰为菱形．考点：四边形——菱形——菱形的判定.几何变换——图形的对称——翻折变换（折叠问题）.如图，在平行四边形ABCD中，点E，M分别在边AB，CD上，且AE＝CM．点F，N分别在边BC，AD上，且DN＝BF． （1）求证：△AEN≌△CMF． （2）连接EM，FN，若EM⊥FN，求证：四边形EFMN是菱形．答案：（1）证明见解析． （2）证明见解析．解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形.∴AD＝BC，∠A＝∠C.∵ND＝BF.∴AD－ND＝BC－BF.即AN＝CF.在△AEN和△CMF中.∴△AEN≌△CMF．（2）由（1）△AEN≌△CMF．∴EN＝FM.同理可证：△EBF≌△MDB．∴EF＝MN.∵EN＝FM，EF＝MN.∴四边形EFMN是平行四边形.∵EM⊥FN.∴四边形EFMN是菱形．考点：三角形——全等三角形——全等三角形的判定.四边形——平行四边形——平行四边形的性质.菱形——菱形的判定.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，分别过点A，C作AE∥DC和CE∥AB，两线交于点E．（1）求证：四边形AECD是菱形．（2）若∠B＝60°，BC＝2，求四边形AECD的面积．答案：（1）证明见解析． （2）S菱形AECD＝23．解析：（1）∵AE∥DC，CE∥AB.∴四边形AECD是平行四边形.∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线.∴CD＝AD．∴四边形AECD是菱形．（2）连结DE．∵∠ACB＝90°，∠B＝60°.∴∠BAC＝30°.∴AB＝4，AC＝23．∵四边形AECD是菱形.∴EC＝AD＝DB.又∵CE∥DB.∴四边形ECBD是平行四边形.∴ED＝CB＝2.∴S菱形AECD＝AC×ED2=考点：四边形——平行四边形——平行四边形的性质——平行四边形的判定.菱形——菱形的性质——菱形的判定.四边形基础——四边形面积.如图，正方形ABCD的面积是2，E，F，P分别是AB，BC，AC上的动点，PE＋PF的最小值等于．答案：2.解析：∵线段AC是正方形ABCD的对角线.∴F对线段AC的对称点永远落在线段DC上.如图所示，做F对线段AC的对称点于F’，连接EF’，EF’的长就是PE＋PF的值.根据两平行线的距离定义，从一条平行线上的任意一点到另外一条直线做垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．∴PE＋PF的最小值等于垂线段EH的长度.根据平行线间的距离处处相等，可知EH＝AD.∵正方形ABCD的面积是2.∴AD＝EH＝2.所以答案为2.考点：几何变换——图形的对称——轴对称与几何最值.如图，正方形ABCD的边长为2，点E在AB边上，四边形EFGB也为正方形，设△AFC的面积为S，则（）．A.S＝2B.S＝2.4C.S＝4D.S随BE长度的变化而变化答案：A.解析：法一：∵AC∥BF.∴S△AFC＝S△ABC＝2.法二：∵S△AFC＝S正方形ABCD＋S正方形EFGB＋S△AEF－S△FGC－S△ADC.∴设正方形EFGB的边长为a.∴S△AFC＝2×＝4+a＝2．考点：三角形——三角形基础——三角形面积及等积变换.四边形——正方形.将正方形A的一个顶点与正方形的对角线交点重合，如图1位置，则阴影部分面积是正方形A面积的18，将正方形A与B按图2放置，则阴影部分面积是正方形B面积的答案：12解析：在图1中，∠GBF＋∠DBF＝∠CBD＋∠DBF＝90°.∴∠GBF＝∠CBD，∠BGF＝∠CDB＝45°，BD＝BG.∴△FBG≌△CBD.∴阴影部分的面积等于△DGB的面积，且是小正方形的面积的14，是大正方形面积的1设小正方形的边长为x，大正方形的边长为y.则有14∴y=2同上，在图2中，阴影部分的面积是大正方形的面积的14，为1∴阴影部分的面积是正方形B面积的12考点：三角形——全等三角形——全等三角形的性质——全等三角形的判定.四边形——正方形——正方形的性质.如图，正方形的对角线交于O，OE⊥AB，EF⊥OB，FG⊥EB．若△BGF的面积为1，则正方形ABCD的面积为．答案：32.解析：∵两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形.且OE⊥AB于点E，EF⊥OB于点F，FG⊥EB于点G.∴E为AB的中点，F为BO的中点，G为EB的中点.∴AB＝EB＝EO＝12AB，EF＝BF＝FO，GF＝BG＝EG＝∴BGAB∴S△∴S△BAD∴S正方形ABCD＝2S△ABD＝32．故答案为32．考点：三角形——相似三角形——相似三角形的性质.四边形——正方形——正方形的性质.在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动．将边长为2的正方形ABCD与边长为3的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一条直线上，AB与AG在同一条直线上． （1）小明发现DG＝BE且DG⊥BE，请你给出证明．（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时△ADG的面积．答案：（1）证明见解析． （2）1+1解析：（1）如图1，延长EB交DG于点H.∵四边形ABCD与四边形AEFG是正方形.∴AD＝AB，∠DAG＝∠BAE＝90°，AG＝AE.∴△ABC≌△ABE(SAS).∴∠AGD＝∠AEB，DG＝BE.∵△ADG中，∠AGD＋∠ADG＝90°.∴∠AEB＋∠ADG＝90°.∴△DEH中，∠AEB＋∠ADG＋∠DHE＝180°.∴∠DHE＝90°.∴DG⊥BE．（2）如图2，过点A作AM⊥DG交DG于点M.∴∠AMD＝∠AMG＝90°.∵BD是正方形ABCD的对角线.∴∠MDA＝45°.在Rt△AMD中.∵∠MDA＝45°，AD＝2.∴AM＝DM＝2．在Rt△AMG中.∵AM2∴GM=7∵DG=DM+GM=2∴S△考点：三角形——全等三角形——全等三角形的性质——全等三角形的判定.直角三角形——勾股定理.四边形——正方形——正方形的性质.如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°.若AB＝5，BC＝8，则EF的长为．答案：32解析：∵DE为△ABC的中位线.∴DE＝12BC=4，点D是线段AB又∵∠AFB＝90°.∴DF=1∴EF=DE-所以答案为32考点：三角形——三角形基础——三角形中位线定理.直角三角形——直角三角形斜边上的中线.如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为（）．A.14B.12C.24D.48答案：B解析：∵点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点．∴EF=HG=12AC＝4，FG=EH=12BD＝3，EF∥HG∴四边形EFGH是平行四边形．∵AC⊥BD.∴EF⊥FG.∴四边形EFGH是矩形．∴四边形EFGH的面积为3×4＝12．考点：三角形——三角形基础——三角形中位线定理.四边形——矩形——矩形的判定.四边形基础——四边形面积.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是AB、BC、CA的中点，若CD＝6cm，则EF＝cm．答案：6.解析：由题意，得：EFAB＝1在Rt△ABC中，D是AB的中点.∴CD＝EF＝12又∵CD＝6.∴EF＝CD＝6cm.考点：三角形——三角形基础——三角形中位线定理.直角三角形——直角三角形斜边上的中线.如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点.那么CH的长是．答案：5.解析：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3.∴AB＝BC＝1，CE＝EF＝3，∠E＝90°.延长AD交EF于M，连接AC、CF.则AM＝BC＋CE＝1＋3＝4，FM＝EF－AB＝3－1＝2.∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形.∴∠ACD＝∠GCF＝45°.∴∠ACF＝90°.∵H为AF的中点.∴CH＝12在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF=AM∴CH＝5.故答案为：5.考点：三角形——直角三角形——直角三角形斜边上的中线——勾股定理.四边形——正方形——正方形的性质.用两个全等的直角三角形无缝隙不重叠地拼下列图形：①矩形；②菱形；③正方形；④等腰三角形；⑤等边三角形.一定能够拼成的图形是（填序号）．答案：①④.解析：由于菱形和正方形中都有四边相等的特点，而直角三角形不一定有两边相等，故两个全等的直角三角形不一定能拼成菱形和正方形．由于等边三角形三个角均为60°，而直角三角形不一定含60°角，故个全等的直角三角形不一定能拼成等边三角形．两个全等的直角三角形一定能拼成矩形和等腰三角形，如图．考点：三角形——等腰三角形——等腰三角形的判定——等边三角形的判定.四边形——矩形——矩形的判定.菱形——菱形的判定——正方形——正方形的判定.边长为a的菱形是由边长为a的正方形“形变”得到的，若这个菱形一组对边之间的距离为h，则称ah为这个菱形的“形变度” （1）