2024年高考数学重难点突破第13讲 双变量问题

第13讲双变量问题经过前面对极值点偏移的学习,我们对双元问题的解决有了一个深刻的认识,本节讲解一般的双元问题,其核心思路和极值点偏移的核心思路差不多,都需要把双元问题转换成一元问题来解决,其转化方法类似前面极值点偏移总结的方法.

韦达代换消元

韦达代换消元是解决双变量问题的常用方法,其题目特征是所求的双变量为一元二次方程的两个解,其一般解题步骤为:

第一步:找到两个变量的关系,.

第二步:统一变量,把要求解的双变量问题凑出韦达,把根与系数的关系带进去,消掉参数和多余变量,统一为一元变量.

第三步:构造函数求【解析】,构造一元函数,即按照一元函数的方式求解问题.

【例1】函数,若,函数有两个极值点,,求的取值范围.

【解析】的定义域为.

设方程,即得两根为,且. ..【例2】函数.讨论的单调性.(2)若存在两个极值点,.证明:.【解析】(1)..

当时,,此时在上单调递减.

当时,由【解析】得或.是增函数,此时在和上单调递减,在上单调递增.

(2)证明由(1)题知,.

令,.在上是减函数,

【例3】函数,且存在两个极值点,求证:.

【解析】证明由,.存在两个极值点,.

令得,是方程的两个根.,

且.

不妨设,则,.令,.在上单调递增..

【例4】函数.

(1)若时在上的最小值是,求.

(2)若,且是的两个极值点.证明:(其中为自然对数的底数)

【解析】(1)定义域是.

令,对称轴.,当时,..在上单调递增.,

解得.

(2)证明由有两个极值点,则在上有2个不等的实根,即在上有2个不等的实根,则,解得..

当时,.

令,,

令,当时,,在单调递减..

即.在上单调递减..原式成立,

即.

差式引参消元所谓差式引参消元就是找这样的作差的式子,整体代换从而实现统一变量,其一般解题步骤和“极值点偏移”的类似,通过变形,构造出,令,引人参数,用参数表示出变量,进而构造出一元函数.

【例1】已知函数,若,且,求证:.

【解析】证明由,且得..

设,则.

可得.要证,即证..只需证.

设,

则.

令,则.

当时,单调递减.当时,单调递增.,即,在上单调递增..【例2】已知函数,若的两个零点为且,求的取值范围.【解析】由题意,.

设.

令,.

又,在上单调递减.的取值范围为.

齐次分式引参消元所谓齐次分式引参消元,其步骤与“极值点偏移”的类似,先根据已知条件变形出,然后令,用参数表示出变量,进而构造一元函数,将关于待求的问题转化为的函数问题.

【例1】已知函数.

(1)求函数的最大值.

(2)若函数存在两个零点.证明.

【解析】(1)函数定义域是,由题意.

当时,单调递增.当时,单调递减.时,取得唯一的极大值,也是最大值,即.

(2)证明由(1)题知,即时,有两个零,点,则.

由得.

令,则,显然成立.

要证,即证,

只要证,即证.

令..

令,则.

令,.

令,时,是减函数,时,.是减函数,,

即.是减函数,.在时是减函数,,即.在上是减函数,.,即.

综上,成立.

【例2】已知函数有两个极值点,设函数的两个极值点分别为,且,求实数的取值范围.

【解析】.由得.

两式相除可得.令,则.，则令.令.在上单调递减.,即0,因此在上单调递减..又在上单调.齐次分式整体代换消元所谓齐次分式整体代换消元就是变形出齐次分式,然后整体代换得出一元函数求解,一般步骤和“极值点偏移”的类似,通过将所有涉及的式子转化为关于的式子,整体代换,构造关于的一元函数来求解.

【例1】已知函数为常数,若函数有两个零点.证明:.【解析】证明法一:齐次分式整体代换消元

不妨设,

欲证明,即证.,即证.原命题等价于证明,即证.

令,设函数,则,为上的增函数.注意到,因此,.

于是,当时,有.成立,.

法二:参变分离换分式引参消元

设,则,

反解出:,

故

2.转化为一元函数求解,同上,略.

【例2】设,若有两个相异零点,且,求证:.

【解析】证明是方程的两个不同的实数根,,

两式相减得,

解得.

要证,

即证,即证.

即证.

令,则只需

证.

设,.

令,.在上为减函数..在上为增函数,.

即在上恒成立，.【例3】已知函数R)有两个零点.

(1)求实数的取值范围.

(2)求证:.

【解析】(1)函数

的定义域为.

令得,可得在上单调递增,在上单调递减.

又当时,;当时,,

故欲使有两个零点,只需,即.

(2)证明不妨设,则由(1)题可知,

且,

两式相减可得.

欲证,即证.

设,则即证.构造函数,

则,在上单调递增,故.,原不等式得证.

【例4】设函数,若且方程,在上有两个不相等的实数根,,求证:.

【解析】证明方程即,在上有两个不等实根和.

不妨设,

则,=1\*GB3①,=2\*GB3②

=1\*GB3①=2\*GB3②得,

欲证,

只需证.,,

则,

即需证:,

整理得,即证.令,设,则,显然在上半调递增.,故原命题得证.

同构函数单调性证明

同构函数:变量分离后若结构相同,则可将相同的结构构造一个函数,进而通过函数的单调性与自变量大小来证明不等式.

【例1】已知函数是函数图像上任意两点,且满足,求实数的取值范围.

【解析】,对于任意的,取,则,

则由可得,

变形得恒成立,令

则在上单调递增.

故在上恒成立.在