2024届广东省中山市一中高三上学期第五次统测数学试题及答案

中山市第一中学2023~2024学年第一学期高三年级第五次统测数学本试卷共5页，共150分，考试时长120分钟.一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）xN2x33的1.集合真子集个数为（B.3）A.2C.4D.52.复数z(1i)z，其中为虚数单位，则（i）iA.z2z20B.zz0Czz0D.z2z20PBCBC上的靠近B的四等分点，D为APBD3.正三角形中，AB2，为（）121433A.B.C.D.424x10相切的两条直线的夹角（锐角）为，则4.过点(0,4)与圆x2y2（）34612A.B.C.D.24中，成等差数列，是的前项和，则a1Snnna2,455.各项均为正数的等比数列nSS（）104A.C.B.D.4032Alberobello，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名6.在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛叫Trullo，于1996年被收入世界文化遗产名录．现测量一个Trullo的屋顶，得其母线长为(即圆锥的侧面积若从该屋顶底面圆周一点A绕屋顶侧面一周至过A的母线的中点，安装灯光带，则该灯光带的最短长度为（6m，屋顶的表面积为12m2）B.35mC.37m6mD.A.33mx22y22x22y27.设ab0，椭圆1的离心率为e1，双曲线1的离心率为2e2ee1，若，12abba2ba则的值是（）b5115A.1B.2C.D.2222ax2a,x1xfx8.已知函数aR，若关于x的不等式fxa0恒成立，则实数的取值范exax,x1围为（）0,2A.C.B.D.e0,e二、多选题（本大题共4小题，共20分.每小题有多项符合题目要求）9.山东省某地区2013年至年生产总值指数分别为112.2，108.1，108.7，108.7，109.5，108.9，108.1，104.0，107.3，104.3，则（A.这组数据的极差为8.2）B.这组数据的众数为C.这组数据的中位数为108.4D.这组数据的上四分位数为108.9ABCD10.如图，在正方体中，点P在线段BC上运动，则下列判断中正确的（1）1111PBCD1A.B.不可能垂直于11P//ACD1平面1APCC.三棱锥的体积不变98D.若正方体的棱长为1，且E，F分别为AD，AA的中点，则过，F，P的截面面积最大值为E1x22y221a0b0的离心率为5，，F1F是双曲线C，的两个焦点，经过点211.已知双曲线C:ab2直线l垂直于双曲线C的一条渐近线，直线l与双曲线C交于A，B两点，若ABF的面积为24，则1（）1yxA.双曲线C的渐近线方程为2B.双曲线C的实轴长为6C.线段AB的长为8ABFD.是直角三角形1表示，中的较小值，表示，中的较大值；关于函数：mina,ba,b12.数学中一般用abab3x,sinx3，有如；fxsinx3x,sinx3xgxsinx下四个命题，其中是真命题的是（）A.与fx的最小正周期均为gxB.与fx的图象均关于直线对称gxx2C.的最大值是fx的最小值gxD.与fx的图象关于原点中心对称gx三、填空题（本大题共4小题，共20分）61xx312x的展开式中常数项是_________()用数字作答13.214.接种流感疫苗能有效降低流行感冒的感染率，某学校的学生接种了流感疫苗，已知在流感高发时511期，未接种疫苗的感染率为，而接种了疫苗的感染率为4.现有一名学生确诊了流感，则该名学生未接种疫苗的概率为___________x22y221a0b0的左、右焦点分别为，F1F，圆2x2y2a2b与双曲线在215.已知双曲线、ab310第一象限的交点为P，且sinPFF1，则该双曲线的离心率为_________．210416.已知O为的外心，，当C最大时，AB边上的中线长为_________．三、解答题（共6小题，第17题满分10分，其它各题满分12分，共70分.）sinAsinCacbsinAsinB，③17.在①2ab2ccosB，②1casinAbsinBcsinC这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答．△2问题：在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且____．（1）求角C；c22ab的取值范围．（2）若，求18.为落实立德树人根本任务，坚持五育并举全面推进素质教育，某学校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛的12名队员来自3个不同校区，三个校区的队员人数分别是3，4，5.本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行11场比赛（每场比赛都采取5局3军.积分规则如下：比赛中以3:0或3:1取胜的队员积3分，失败的队员积0分；而在比赛中以3:2取胜的队员积2分，失败的队员的队员积1分.已知第10轮张三对抗李四，设每局比赛张三取胜的概率均为.p0p1（1）比赛结束后冠亚军(没有并列)恰好来自不同校区的概率是多少？（2）第10轮比赛中，记张三3:1取胜的概率为.fp①求出的最大值点fpp；0ppXX②若以作为的值，这轮比赛张三所得积分为，求的分布列及期望.0mn,nZn0mn与互质）的形式，进而有理数集19.（1）已知：有理数都能表示成（，且，mnQ|,nZn0．mn与互质，且，i）1.573是有理数．（ii）5是无理数．2anbnnnan15a}b}*b（2）已知各项均为正数的两个数列和满足：，nN．设，nn2b2nn1annN*，且a}a和b的值．11是等比数列，求n73ABCD的体积为120.如图，已知四棱台，且满足DC//AB，111BC,AAABBBBCCDABECE//11A平面.1为棱AB上的一点，且1111h1E（1）设该棱台的高为h，求证：；CE11B所成角的正弦值.1（2）求直线与平面y22x221ab0的上下焦点分别为21.如图，在平面直角坐标系中，双曲线ab．已知点2和F(0,cFc,52e都在双曲线上，其中为双曲线的离心率．1（1）求双曲线的方程；,By是双曲线上位于轴右方的两点，且直线AFBF平行，与交于点P．21（2）设（I）若与直线12AFBF22，求直线的斜率；112PF1PF（II）求证：22.已知函数是定值．2xasinxxa（）.fxx0恒成立，求a的取值范围；（1）若f114在fx，证明：0.a（2）若有唯一的极值点x，且f0202中山市第一中学2023~2024学年第一学期高三年级第五次统测数学本试卷共5页，共150分，考试时长120分钟.一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）xN2x331.集合的真子集个数为（B.3）A.2C.4D.5【答案】B【解析】【分析】求出不等式的解集，用列举法表示出集合即求解.【详解】不等式|2x3|332x330x3，解得，因此{xN||2x3|{xN|0x，所以集合{xN||2x3|的真子集个数为3.故选：B2.复数z(1i)z，其中为虚数单位，则（i）iA.z2z20B.zz0C.zz0D.z2z20【答案】A【解析】z【分析】根据给定条件，求出复数，再逐项计算判断即得.i)2(1i)zi，得z1i，z1i，1ii)2z2i)i)0，A正确；对于A，z222对于B，zzi)i)2，B错误；对于C，zzi)i)，C错误；z2i)i)，D错误.对于D，z故选：A222PBCBC上的靠近B的四等分点，D为APBD3.正三角形中，AB2，为（）121433A.B.C.D.42【答案】A【解析】12131APACAB，【分析】根据题意，由平面向量基本定理可得，再由平面向量442的数量积运算，代入计算，即可得到结果.【详解】因为P为BC上的靠近B的四等分点，1141434APABBPABBCABACABACAB则，4且D为BC的中点，1211BDBCACAB则又，22为等边三角形，且AB2，1311APBDACABACAB则243421122ACABACAB8148143226022881112122.42故选：A4x10相切的两条直线的夹角（锐角）为，则4.过点(0,4)与圆x2y2（）34612A.B.C.D.24【答案】C【解析】【分析】根据圆方程可得圆心CC0r5为(0,4)60与圆心的距离可求得12cos可知.y25，2【详解】将圆x2y24x10化为标准方程可得x2即圆心CC0，半径r5为；如下图所示：D(0,4)22425,AC5，又，易知CD251所以可得sin，又60；为锐角，可知2CD25212cos可得.故选：C中，成等差数列，是的前项和，则a1Snnna2,455.各项均为正数的等比数列nSS（）104A.C.【答案】B【解析】B.D.40322a2aaq=2425公式运算求解.【详解】设等比数列的公比为q0，ana,aa2a24252因为成等差数列，则，245a222q322q2q2q20，可得q=2，4q2q3且，则，1q03又因为，则21102124所以SS2016.1041212故选：B.Alberobello，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名6.在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛叫Trullo，于1996年被收入世界文化遗产名录．现测量一个Trullo的屋顶，得其母线长为(即圆锥的侧面积若从该屋顶底面圆周一点A绕屋顶侧面一周至过A的母线的中点，安装灯光带，则该灯光带的最短长度为（6m，屋顶的表面积为12m2）B.35mC.37m6mD.A.33m【答案】C【解析】2ASB=πAB=37.1【分析】画出图形，根据圆锥的表面积求出侧面展开图顶角，再由余弦定理求出13【详解】设圆锥的底面半径为r，侧面展开图如图所示，AB1由图可知B为SA的中点，为所求长度的最小值，由于母线长为6m，则SA6，圆锥的侧面积为12m2，S=rlÞr=2则由圆锥的侧面积公式可得，AA=4π1所以底面圆的周长即弧长，24π=6´ASBÞASB=π又，113则在1中，由余弦定理可得1S2+SB2-1B262+32-1B212cos1SB===-，2ASSB×2´6´31AB=37m解得，1故选：Cx22y22x22y27.设ab0，椭圆1的离心率为e1，双曲线1的离心率为2e2ee1，若，12abba2ba则的值是（）b5115A.1B.2C.D.22【答案】D【解析】ee1【分析】由椭圆和双曲线的标准方程分别表示出离心率，再根据运算得解.12x22y22b2【详解】因为a又由双曲线方程ee1b0，椭圆方程为1，可得e211，aba2x2y2a2bb22ab221，可得e2211，b2a2b222baa2b21130因为，所以，整理得，12a2b2b2a2a1x2353-5x1，上式转化为x2302x令，解得或b22251a3562551.b2442故选：D.22ax2a,x1xfx8.已知函数aR，若关于x的不等式fxa0恒成立，则实数的取值范exax,x1围为（）0,2A.B.e0,eC.D.【答案】D【解析】a02ax2a0(,xeax0)在上恒成立，转【分析】先判断时，x2在上恒成立；若ex)上恒成立．化为a在xxa，【详解】当x1时，由x22ax2a0恒成立，二次函数的对称轴为a1时，f(x)在(,上单调递减，则f(x)f10恒成立，（1）当1时，a0f(x)f(a)a(2a)00a1，所以（2）当a,上恒成立；综上可知，当时，x22ax2a0在在(exx)上恒成立，当x1时，eax0恒成立，即axexe(xx令g(x)，则g(x)，xx2ae，所以当x1时，g(x)0，函数单增，又ge；，0,ea综上可知，的取值范围是故选：D二、多选题（本大题共4小题，共20分.每小题有多项符合题目要求）9.山东省某地区2013年至年生产总值指数分别为112.2，108.1，108.7，108.7，109.5，108.9，108.1，104.0，107.3，104.3，则（A.这组数据的极差为8.2C.这组数据的中位数为108.4【答案】ACD）B.这组数据的众数为D.这组数据的上四分位数为108.9【解析】【分析】将数据从小到大排列得到104.0，104.3，107.3，108.7，108.7，108.9，，，109.5，112.2，再对各个选项逐一分析判断，即可得出结果.112.2108.7，108.7109.5108.9104.0107.3，【详解】将数据到大排成一列：，，，，，，，从小104.0，104.3，107.3，108.1，108.1，108.7，108.7，108.9，109.5，112.2对于选项A，极差为112.2104.08.2，所以选项A正确；对于选项B，众数为108.1，108.7，所以选项B错误；108.1108.7108.4对于选项C，中位数为，所以选项C正确；2对于选项D，因为i1075%7.5，故上四分位数为108.9，所以选项D正确，故选：ACD.ABCD10.如图，在正方体中，点P在线段BC上运动，则下列判断中正确的（1）1111PBCD1A.B.不可能垂直于11P//ACD1平面1APCC.三棱锥的体积不变98AAD.若正方体的棱长为1，且E，F分别为AD，的中点，则过E，F，P的截面面积最大值为1【答案】BC【解析】【分析】举例说明、计算判断AD；证明面面平行判断B；证明线面平行判断C.BCCCD1CBCCD，则，A111【详解】对于A，当P与1重合时，由于平面，平面1111错误；AC,ABABCD1D是矩形，1对于B，连接，正方体的对角面11111111//ADAD1ACD1ACD1//ACD平面，1则，而平面，平面，于是1111//ACDACBCC,AC,BCABC平面，1同理平面，又1111111//ACDAPABCAP//ACD，B正确；1因此平面平面，而平面，所以平面ACD的距离等于点到平面的距离，111111//ACDACDC1对于C，由选项B知，平面，则点P到平面11为定值，1APC又△1的面积是定值，因此三棱锥对于D，当P与1重合时，直线EF分别与连接CM,CNAB,CD交于点G,H的体积是定值，不变，C正确；DA,DDM,N，的延长线交于点,，则五边形1HEFG是过E,F,P的截111，分别与棱，连接11面，122322132AEAFCMCN1显然，，2，112由平面ABCD//平面ABCDCMABCD，平面C1平面ABCDEH，平面C1平面1111，1111111322EH//1MSSSS，显然则，，同理，，，119911132133243178SCM2()2()2(2)112222277172471724983381因此截面面积S1S，而()2()20198576649S所以，D错误.18故选：BCx22y221a0b0的离心率为5，，F1F是双曲线C，的两个焦点，经过点211.已知双曲线C:ab2直线l垂直于双曲线C的一条渐近线，直线l与双曲线C交于A，B两点，若ABF的面积为24，则1（）1yxA.双曲线C的渐近线方程为2B.双曲线C的实轴长为6C.线段AB的长为8ABFD.是直角三角形1【答案】BCD【解析】cb22b【分析】双曲线心率e1，求出的值，得到渐近线方程，判断A；联立直线与双曲线方aaa程，表示ABF的面积，求出的值，判断B；利用弦长公式得到线段点坐aAB的长，判断C；求出,B11,标，进而得到【详解】c斜率，根据斜率判断是否垂直，判断D.1ba22b∵e15，∴2，即：b2a，c5a，aay2x∴渐近线方程为，故A错误；1F2直线l垂直于双曲线Ck的一条渐近线，不妨设直线l的斜率为l经过点，设直线l的方程为2x2yc，x2yc222x得15y2165ay16a20Δ165a41516a2=320a0，2xy，消去，则1a2b2165151615设，，则Ax,yBx,yyya2，1y2a，1122121185a83121y212yy241y2ca224，所以SABF1222151解得a3，即：2a6，故双曲线C的实轴长为6，故B正确；16516551615485ayy2a因为1y2，，12152所以AB14yy41y28，故正确；C12因为a3，b2a6，c5a35，x2y21，直线l的方程为x2y35所以双曲线方程为，9x2y35x得5y2165y4802y2，消去，x193695127x5x5512545F35,0则或，又115y2512455053550259k2k，，1711153555此时kl1，所以AF1AB，所以ABF是直角三角形，故D正确，1k1故选：BCD.表示，中的较小值，表示，中的较大值；关于函数：mina,ba,b12.数学中一般用abab3x,sinx3，有如；fxsinx3x,sinx3xgxsinx下四个命题，其中是真命题的是（）A.与fx的最小正周期均为gxB.与fx图象均关于直线gx对称x的2C.的最大值是fx的最小值gxD.与的图象关于原点中心对称gxfx【答案】BD【解析】【分析】先求出f(x)，与的图象即可求解fx，结合函数g(x)gxh(x)sinx3x2sin(xt(x)sinx3x2sin(x【详解】设332sin(x2kx2k,322f(x)h(xt(x)则，2sin(x2kx2k,3222sin(x2kx2k,322g(x)h(xt(x)2sin(x2kx2k,322函数与的大致图象如下所示：gxfx对A，由图知，与的最小正周期均为2π；故A错误；gxfxx与的对称轴，故B正确.fxgx对B，由图知，为函数22对C，的值域为，函数的值域为2，故C错误；f1，由图知∶函数fxgx2,1对D，由图知，与的图象关于原点中心对称，故D正确；gxfx故选：BD.三、填空题（本大题共4小题，共20分）61x312x的展开式中常数项是_________(用数字作答)13.x【答案】61【解析】【分析】根据题意借助于二项展开式的通项公式分析求解.162x【详解】因为的展开式的通项公式为xr1123rC2r6x6r2C6rr6x,r,6r12，x12r3，解得r6，可得TC66x3x3；令令7212r0，解得r4，可得522C6460；2x3x316061.所以展开式中常数项是故答案为：61.214.接种流感疫苗能有效降低流行感冒的感染率，某学校的学生接种了流感疫苗，已知在流感高发时511期，未接种疫苗的感染率为，而接种了疫苗的感染率为4.现有一名学生确诊了流感，则该名学生未接种疫苗的概率为___________1519【答案】【解析】【分析】根据条件概率公式求解即可.【详解】设事件A“感染流行感冒”，事件B“未接种疫苗”，312119313PAPAB则故，，545101005420P15PAPB|A.1915故答案为：．19x22y221a0b0的左、右焦点分别为，F1F，圆2x2y2a2b与双曲线在215.已知双曲线、ab310第一象限的交点为P，且sinPFF1，则该双曲线的离心率为_________．21021210【答案】【解析】##31010x2y2a2b2c2及sinPFF从而求解.【分析】根据双曲线定义并结合圆21x2y2a2b2c2，得圆是以FF为直径的圆交于双曲线在第一象限点为P，【详解】由题意知圆12πF且，12231010PF1PFPF2asinPFF由双曲线定义得，又因为，122112PF13，2210cosPFFF13所以所以解得，得，得212121012RtPF1F22222PF1a，2a，在中2PF12，即aa2c，2211042e2，即e.10故答案为：.2310101F为直径的圆并结合双曲线定义及sinPFF【点睛】关键点点睛：根据圆是以从而可求解22116.已知O为的外心，4，当C最大时，AB边上的中线长为_________．【答案】15【解析】8C最大时ba的值，从而得解.2c2ACD，连接OD、BD，则，【详解】取中点1BOACBDACBDACBCBABCBA4则，222BC6a6所以BCBA8，即ac28，又2，所以，，c27，a2b2c2b282b282则C当且仅当b2abbb328，即b22时取等号，此时角C最大，a2bc2，所以A60，2同时所以AB边上中线长为CE故答案为：15.27815.2【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用面向量的运算转化BOAC，得到BCBA8，从而得解.22三、解答题（共6小题，第17题满分10分，其它各题满分12分，共70分.）sinAsinCacbsinAsinB，③17.在①2ab2ccosB，②1casinAbsinBcsinC这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答．△2问题：在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且____．（1）求角C；c22ab的取值范围．（2）若，求π【答案】（1）C3（2）4【解析】2sinAsinB2sinCcosB1）选①：由正弦定理得到，再利用两角和的正弦公式化简得到2sinCsinB0acacbab求解；选②利用正弦定理得到，再利用余弦定理求解；，再利用余弦定理求解.121abcca2b2c2选③利用三角形面积公式和正弦定理得到2abc433433433（2）由正弦定理得到,asin,bsinB，从而有sinAsinBsinCπ683343A2absinAsinB求解.3【小问1详解】解：若选①：由正弦定理得2sinAsinB2sinCcosB，BCsinBCB，则2sinBcosC2cosBsinCsinB2sinCcosB2sinCsinB0，，12πBπ,sinBcosC,C,C．3若选②：sinAsinCacbsinAsinB，由正弦定理得acacbab，a2b2c212a2b2c2abC，2abππ,CC，312casinAbsinBsinC，S若选③：11casinAbsinBsinC，absinC则2211abcca2b2c2由正弦定理得，22a2b2c212a2b2c2abcosC，2abπCπ,C【小问2详解】a．3bc43343343,asin,bsinB，由正弦定理得sinAsinBsinC38343383433π3则2absinAsinBsinAsinA，33π2A2cosAA，62π3πππ662π1．A,A,,sinA,16242ab.18.为落实立德树人根本任务，坚持五育并举全面推进素质教育，某学校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛的12名队员来自3个不同校区，三个校区的队员人数分别是3，4，5.本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行11场比赛（每场比赛都采取5局3军.积分规则如下：比赛中以3:0或3:1取胜的队员积3分，失败的队员积0分；而在比赛中以3:2取胜的队员积2分，失败的队员的队员积1分.已知第10轮张三对抗李四，设每局比赛张三取胜的概率均为.p0p1（1）比赛结束后冠亚军(没有并列)恰好来自不同校区的概率是多少？（2）第10轮比赛中，记张三3:1取胜的概率为.fp①求出的最大值点fpp；0ppXX②若以作为的值，这轮比赛张三所得积分为，求的分布列及期望.04766340【答案】（1）2）①；②分布列答案见解析，数学期望：.【解析】1）利用互斥事件的概率公式即得；fpC（2）由题可求23p31p，然后利用导数可求最值，再利用条件可求随机变量的分布列，即得.C13C14C41C1531C154766p1）比赛结束后冠亚军恰好来自不同校区的概率是；C2fpC（2）①由题可知23p31p3p31p，33p1pp322，3p34pfp134令，得，fp0pf3p3p00fp当当时，，，在上单调递增；443p,13pfpf,1上单调递减.时，在443所以的最大值点0，fp4②X的可能取值为0，1，2，3.33343313313313PX01pCp1p1C1；442563334512272322Cp1p322PXC4()1；44233438122Cp1ppC()222PX1；44445123333189p3pCp1p()C()2323232.PX14444256所以X的分布列为X01231892561325627P5122713811891323X的期望为EX0123.256512512256512m,nZn0mn与互质）的形式，进而有理数集19.（1）已知：有理数都能表示成（，且，nmnQ|,nZn0．mn与互质，且，i）1.573是有理数．（ii）5是无理数．2anbnnnan15a}b}*b（2）已知各项均为正数的两个数列和满足：，nN．设，nn2b2nn1annN*，且a}a和b的值．11是等比数列，求n5235【答案】（1iii2）15,b12【解析】1i）根据有理数的表示、等比数列求和可得答案；（ii）假设5是有理数，利用反证法可得答案；q(q0)q1，利用等比数列的定义得bn（2）利用基本不等式可得2an132，设公比为，可得21bna1也为等比数列，再根据已知得此方程至多只有两个根可得答案.2a2n11110115243331.573131057315731i）因为；310610911103mn5,nZnm，且n与（ii）假设5是有理数，则（故n2m2①，所以存在tZ，使得mt，代入①式可得n2t2，sZn5s，所以存在，使得m,n这与互质矛盾．所以5是无理数；3b2a2bna2nb2n2anb2a（2）因为为正项数列，所以2n2，a,bnnnnna2nn2a2n2a2n2nn3b3abna2nb2n2anb2an22n22annn3n332类似地，可得，a2n2a2n2a2nn2ann22nn因此，2an132．又因为是正项等比数列，设其公比为q(q0)，anq1an1320q12a矛盾，所以q1，若，则与矛盾，若，则与n1nann1n55又因为n15，所以b，故也为等比数列，nan12anbn21ban1a1n4a0*，1912b2n12b412又因为，所以，即22n2a2bnnan15而此方程至多只有两个根，所以的公比1，即q，bn1，所以151分将15代入*式得4b21121505235，5235解得b或b11225235所以15,b1．273ABCD的体积为120.如图，已知四棱台DC//AB，且满足，111BC,AAABBBBCCDABECE//11A平面.1为棱AB上的一点，且1111h1E（1）设该棱台的高为h，求证：；CE11B所成角的正弦值.1（2）求直线与平面【答案】（1）证明见详解36（2）8【解析】1AAE，然后利用棱台的体积公式求11）利用线面平行条件求AE，再结合等腰梯形出h可证；可求得1ACE1B，再用等体积法求出点E到平面的距离，然后可得.1（2）利用三角形【小问1详解】AD可求111C11B1C11BCDC，可得1111连接，由棱台性质可知，，1ABBC2//CD，CD//1D，所以CD//AE,E,1,D，所以四点共面1又111又因为1E//1AADDAD1E1D平面1平面，平面平面，111111CE//AD1D所以，所以四边形为平行四边形，1111AECD所以，1121AAB又四边形AE为等腰梯形，111111AAE易知为梯形的高，即11113AEAA21AE21所以142111313(,2)1易得上下底面的面积分别为：，2228221333373163由体积公式有()h，解得h328282h1E所以【小问2详解】AC,BE,BC,EC连接1111h1EAE平面ABCD，1由（1）知，所以AE11AABBA，所以平面平面ABCD，11因为平面平面1ABCD，又BCBA，平面ABB1A平面ABCD，BC平面1所以平面1A1BB11ABCBB因为易得平面，所以11131212SBCBE,SBCBB1BCEBCB124EBCBh，1记三棱锥的高为113311334则由VEBCB得1，解得h11BCE13423215AEACACAB111221又，111114235ECAE2122所以114433CE11Bh11368所以直线与平面所成角的正弦值为421y22x221ab0的上下焦点分别为21.如图，在平面直角坐标系中，双曲线ab．已知点2和F(0,cFc,52e都在双曲线上，其中为双曲线的离心率．1（1）求双曲线的方程；,ByAFBF平行，与交于点P．21（2）设（I）若是双曲线上位于轴右方的两点，且直线与直线12AFBF22，求直线的斜率；112PF1PF（II）求证：【答案】（1）是定值．2y2x2122（2I）II）证明见解析2【解析】1）将点的坐标代入双曲线的方程求解即可；FCFB22，然后利用弦长公式求直线II）利1（2I）构造平行四边形，求出12222PF1PF11用三角形相似和双曲线的性质，将转化为，然后结合韦达定理求解即可.2AFCF11【小问1详解】将点2和,5代入双曲线方程得：2a2a2b222b2，化简得：4a22a2b1，25c21，结合ca，解得a2a2ab22y2x1．2双曲线的方程为2【小问2详解】（Ⅰ）设Cx,y33，Ax,y,Bx,y,B关于原点对称点记为1122xx,yy则．323213y23y23k,k,k2kk因为,所以，1A121x2x21kkk，AF1∥BFk又因为，所以，即21A21A1,1,C故三点共线．BCFFFCFBCBF为平行四边形，故，2又因为与互相平分，所以四边形1212CF=22所以由题意知，直线AF1斜率一定存在，．1211设的直线方程为y3，