弹性力学作业答案-第二章

第二章平面问题的基本理论2-5在下图的微分体中，若将对形心的力矩平衡条件Mc解：将对形心的力矩平衡条件Mc=0，改为对角点的力矩平衡条件MD=0，列出力矩的平衡方程στxyστxy将上式除以dxdy，合并相同的项，得到τyx省略去微小量不记（即∂σy2∂yτ可以看出此关系式和对形心的力矩平衡条件Mc2-6在下图的微分体中，若考虑每一面上的应力分量不是均匀分布的，试问将导出什么形式的平衡微分方程。解：每个面上的应力分量不是均匀分布的，假设应力分量沿线性分布，如上图所示，为了计算方便，单元体在Z方向的长度取一个单位。各点的正应力为：σσσσσσσσ各点的切应力为：τxyτxyτxyτxyτyxτyxτyxτyx由微分单元体的平衡条件Fx=0，F-1-1将各个点的应力分量带入上式，化简，并约去dxdy，就得到平面问题中的平衡微分方程∂2-8试列出图2-13，图2-14所示问题的全部边界条件。在其端部边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。图2-13图2-14解：对于图2-13中，在主要边界x=0，x=b上，应满足下列的边界条件：σσ在次要边界y=0上，能满足下列边界条件：σ在次要边界y=h2上，有位移边界条件：u0对于图2-15中，在主要边界y=±h/2上，应满足下列边界条件：σσ在次要边界上x=0，列出三个积分的应力边界条件：-h/2在次要边界x=l上，有位移边界条件：ux=l2-13检验下列应力分量是否是图示问题的解答：图2-16图2-17解：按应力求解时，在单元体中应力分量必须满足：平衡微分方程、相容方程、应力边界条件（本题不计体力）。图2-16，σ=1\*GB3∂不满足相容方程。=2\*GB3②平衡条件：将应力分量代入平衡微分方程∂满足上式。=3\*GB3③应力边界条件：在x=±边界上，σx在y=±b边界上，σy满足边界条件。（b）图2-17，由材料力学公式，σyσx又根据平衡微分方程和边界条件得出：σy试试推导上述公式，并检验解答的正确性。=1\*GB3①推导公式：在分布力的作用下，梁发生弯曲变形，其对Z轴的惯性矩为Iz=h所以截面内任意点的正应力和切应力分别为σxτ根据平衡微分方程得第二式∂σσy根据边界条件σyA=-q所以σy=2\*GB3②相容条件：将应力分量代入相容方程∂不满足相容方程。=3\*GB3③平衡条件：将应力分量代入平衡条件满足。=4\*GB3④应力边界条件：在主要边界y=±h/2上，应满足下列边界条件：σσ显然满足。在次要边界上x=0，外力的主矢量、主矩为0，列出三个积分的应力边界条件：-h/2在次要边界x=l上，有位移边界条件：ux=l-h/2所以，满足应力边界条件。上面两题的应力分量虽然满足应力边界、条件平衡条件，但都不满足相容方程，所以两题的解答都不是问题的解。2-18试试证明，如果体力虽然不是常量，但却是有势的力，即体力分量可以表示为fx=其中V是势函数，则应力分量可表示为σ试导出相应的相容方程。解：（1）将fx，f∂∂x为了满足式（a），可以取σx即σx（2）对体力、应力分量fx，