微专题训练9-“等时圆”模型

微专题训练9“等时圆”模型 图11．(多选)如图1所示，一物体从竖直平面内的圆环的最高点A处由静止开始沿光滑弦轨道AB下滑至B点，那么 图1A．只要知道弦长，就能求出运动时间B．只要知道圆半径，就能求出运动时间C．只要知道倾角θ，就能求出运动时间D．只要知道弦长和倾角，就能求出运动时间解析物体沿AB弦轨道下滑，加速度为a＝eq\f(mgcosθ,m)＝gcosθ，弦长l＝2R·cosθ，则t＝eq\r(\f(2l,a))＝eq\r(\f(2·2Rcosθ,gcosθ))＝2eq\r(\f(R,g)).可见，物体沿任何一条弦轨道下滑所用时间均相等，且等于沿直径自由下落的时间．答案BD 图22．(多选)如图2所示，位于竖直平面内的固定光滑圆轨道与水平轨道面相切于M点，与竖直墙相切于A点，竖直墙上另一点B与M的连线和水平面的夹角为60°，C是圆轨道的圆心．已知在同一时刻，a、b两球分别由A、B两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道运动到M点；c球由C点自由下落到M点．则 图2A．a球最先到达M点B．b球最先到达M点C．c球最先到达M点D．c、a、b三球依次先后到达M点解析设圆轨道半径为R，据“等时圆”模型结论有，ta＝eq\r(\f(4R,g))＝2eq\r(\f(R,g))；B点在圆外，tb>ta，c球做自由落体运动tc＝eq\r(\f(2R,g))；所以，有tc<ta<tb.C、D正确．答案CD 图33．(单选)如图3所示，AB和CD为两条光滑斜槽，它们各自的两个端点均分别位于半径为R和r的两个相切的圆上，且斜槽都通过切点P.设有一重物先后沿两个斜槽，从静止出发，由A滑到B和由C滑到D，所用的时间分别为t1和t2，则t1与t2之比为 图3A．2∶1 B．1∶1C.eq\r(3)∶1 D．1∶eq\r(3)解析由“等时圆”模型结论有：tAP＝tCP＝2eq\r(\f(R,g))，tPB＝tPD＝2eq\r(\f(r,g))，所以t1＝tAP＋tPB，t2＝tCP＋tPD，知t1＝t2，B项正确．答案B 图44．(单选)如图4所示，在倾角为θ的斜面上方的A点处放置一光滑的木板AB，B端刚好在斜面上．木板与竖直方向AC所成角度为α，一小物块自A端沿木板由静止滑下，要使物块滑到斜面的时间最短，则α与θ角的大小关系应为 图4A．α＝θ B．α＝eq\f(θ,2)C．α＝eq\f(θ,3) D．α＝2θ解析如图所示，在竖直线AC上选取一点O，以适当的长度为半径画圆，使该圆过A点，且与斜面相切于D点．由等时圆知识可知，由A沿斜面滑到D所用时间比由A到达斜面上其他各点所用时间都短．将木板下端与D点重合即可，而∠COD＝θ，则α＝eq\f(θ,2).答案B5．(单选)如图5甲是某景点的山坡滑道图片，为了探究滑行者在滑道直线部分AE滑行的时间，技术人员通过测量绘制出如图乙所示的示意图．AC是滑道的竖直高度，D点是AC竖直线上的一点，且有AD＝DE＝10m，滑道AE可视为光滑，滑行者从坡顶A点由静止开始沿滑道AE向下做直线滑动，g取10m/s2，则滑行者在滑道AE上滑行的时间为 ()．甲乙图5A.eq\r(2)s B．2s C.eq\r(3)s D．2eq\r(2)s解析A、E两点在以D为圆心半径为R＝10m的圆上，在AE上的滑行时间与沿AD所在的直径自由下落的时间相同，t＝eq\r(\f(4R,g))＝eq\r(\f(4AD,g))＝2s，选B.答案B6．如图6所示，圆弧AB是半径为R的eq\f(1,4)圆弧，在AB上放置一光滑木板BD，一质量为m的小物体在BD板的D端由静止下滑，然后冲向水平面BC，在BC上滑行L后停下．不计小物体在B点的能量损失，已知小物体与水平面BC间的动摩擦因数为μ.求：小物体在BD上下滑过程中，重力做功的平均功率．图6解析由动能定理可知小物体从D到C有WG－μmgL＝0，所以WG＝μmgL由等时圆知识可知小物体从D到B的时间等于物体从圆周的最高点下落到B点的时间，即为t＝eq\r(\f(4R,g))，所以小物