衡水中学2022年高考数学复习分项汇编-专题06-三角函数【理科】(原卷版+解析版)

专题06三角函数一、单选题1.【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】若，，则（）A． B． C． D．2.【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】已知函数和（）图象的交点中，任意连续三个交点均可作为一个等腰直角三角形的顶点.为了得到的图象，只需把的图象（）A．向左平移1个单位 B．向左平移个单位C．向右平移1个单位 D．向右平移个单位3.【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】已知函数，则（）A．B．是函数的一个对称中心C．任取方程的两个根，，则是的整数倍D．对于任意的，恒成立4.【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】若，，，关于函数的以下结论：①②对称轴方程为，③值域为④在区间单调递减其中正确的是（）A．①② B．②③ C．①③④ D．②③④5.【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】在中，分别是角的对边，若，则的值为A． B．1 C．0 D．20146.【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形(另一种是顶角为的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得（）A． B． C． D．7.【河北省衡水中学2021届高三下学期三调（新高考）】密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为份，每一份叫做密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如密位写成“”，密位写成“”，周角等于密位，记作周角，直角．如果一个半径为的扇形，它的面积为，则其圆心角用密位制表示为（）A． B． C． D．8.【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】如图，A，B，C，D四点共圆，，M，N在线段上，且，N是的中点.设，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．9.【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II卷）】已知，则（）A． B． C． D．二、多选题1.【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】已知函数，下列结论不正确的是（）A．函数图像关于对称B．函数在上单调递增C．若，则D．函数f(x)的最小值为－22.【河北省衡水中学2021届高三数学第一次联合考试】已知，则（）A． B． C． D．3.【河北省衡水中学2021届全国高三第二次联合考试（新高考）】将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再将得到的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的有（）A．为奇函数B．的周期为C．，都有D．在区间上单调递增，且是小值为三、填空题1.【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】的内角的对边分别为，若，且为锐角，则当取得最小值时，的值为___________.2.【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】在中，分别是角的对边，已知，，的面积为，则的值为_______________.3.【河北省衡水中学2021届高三下学期三调（新高考）】已知均为锐角，且，若，则________.4.【河北省衡水中学2021届高三下学期三调（新高考）】对任意两实数a，b，定义运算“”：，则函数的值域为______.5.【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】在中，，则的外接圆的半径等于___________.四、解答题1.【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】如图，在平面四边形中，，，，，连接.（1）求；（2）设，，求的值.2.【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】在中，内角所对的边分别是，且.（1）求角；（2）若，求的面积的最大值.3.【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】在中，角的对边分别是，已知向量，，且满足.(1)求角的大小；(2)若，试判断的形状.4.【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题.已知△中，，，分别为内角，，的对边，，，___________，求角及△的面积.5.【河北省衡水中学2021届高三数学第一次联合考试】如图，在四边形中，与相交于点，，，．（1）求；（2）若，求四边形的面积．6.【河北省衡水中学2021届高三下学期三调（新高考）】如图，在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°，俯角为30°的B处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°，俯角为60°的C处．(1)求船的航行速度是每小时多少千米？(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？7.【河北省衡水中学2021届全国高三第二次联合考试（新高考）】在①的外接圆面积为②的面积为，③的周长为这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并给出解答.问题：在中，内角，，的对边分别为，，，是边上一点已知，，，若___________，求的长.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.8.【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II卷）】在四边形中，对角线与相交于点E，为等边三角形，．（1）求的大小；（2）求的面积．专题06三角函数一、单选题1.【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】若，，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题可得，解得.，，因此，.故选：B.2.【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】已知函数和（）图象的交点中，任意连续三个交点均可作为一个等腰直角三角形的顶点.为了得到的图象，只需把的图象（）A．向左平移1个单位 B．向左平移个单位C．向右平移1个单位 D．向右平移个单位【答案】A【解析】如图所示：，故，.取靠近原点的三个交点，，，，为等腰直角三角形，故，故，故，，故为了得到的图象，只需把的图象向左平移1个单位.故选：.3.【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】已知函数，则（）A．B．是函数的一个对称中心C．任取方程的两个根，，则是的整数倍D．对于任意的，恒成立【答案】D【解析】因为，所以，所以既不是最大值也不是最小值，所以直线不是其图象的对称轴，故A错误；因为图象整体向上平移了一个单位长度，所以对称中心也向上平移了一个单位长度，且，所以点是其对称中心，故B错误；任取方程得到的两个根，即为方程的任意两根，它们之间相差为的整数倍，且，所以它们彼此之间相差的是的整数倍，故C错误；当时，，此时的最小值为，最大值为，所以对于任意的，恒成立，故D正确.故选：D.4.【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】若，，，关于函数的以下结论：①②对称轴方程为，③值域为④在区间单调递减其中正确的是（）A．①② B．②③ C．①③④ D．②③④【答案】D【解析】解:.因为都是周期为的函数，所以的周期为，①错误；如下图所示（一个周期内图象）：的对称轴方程为：，，②正确；由图直接得知③正确；当，在区间单调递减，④正确.故选：D.5.【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】在中，分别是角的对边，若，则的值为A． B．1 C．0 D．2014【答案】A【解析】∵a2+b2=2014c2，∴a2+b2﹣c2=2013c2=2abcosC．∴====2013．故答案为：A6.【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形(另一种是顶角为的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可得：，且，所以，所以，故选：C7.【河北省衡水中学2021届高三下学期三调（新高考）】密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为份，每一份叫做密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如密位写成“”，密位写成“”，周角等于密位，记作周角，直角．如果一个半径为的扇形，它的面积为，则其圆心角用密位制表示为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】设扇形所对的圆心角为，所对的密位为，则，解得，由题意可得，解得，因此，该扇形圆心角用密位制表示为.故选：B.8.【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】如图，A，B，C，D四点共圆，，M，N在线段上，且，N是的中点.设，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】连接，如图所示，易知是圆的直径.因为，所以.在中，，故选项A不正确；在中，.又因为，所以，故选项D不正确；，故选项B不正确；因为，所以.又因为，易知与全等，所以，所以.又因为N是的中点，所以，所以，所以，所以，故选项C正确.故选：C9.【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II卷）】已知，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由知，为第二象限角，所以为第一或第三象限角，所以．故选：C.二、多选题1.【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】已知函数，下列结论不正确的是（）A．函数图像关于对称B．函数在上单调递增C．若，则D．函数f(x)的最小值为－2【答案】BCD【解析】解：由题意可得：，函数图象如下所示故对称轴为，，故A正确；显然函数在上单调递增，上单调递减，故B错误；当，时函数取得最小值，故D错误；要使，则，则或，或，所以或，，故C错误．故选：BCD．2.【河北省衡水中学2021届高三数学第一次联合考试】已知，则（）A． B． C． D．【答案】AD【解析】解:因为，所以，．所以．故选:AD3.【河北省衡水中学2021届全国高三第二次联合考试（新高考）】将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再将得到的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的有（）A．为奇函数B．的周期为C．，都有D．在区间上单调递增，且是小值为【答案】ABC【解析】将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得再将得到的图象向左平移个单位长度，得，因为，所以为奇函数，故A正确；由周期公式，所以的周期为，故正确；又在时取得最小值，所以的图象关于直线对称，故C正确；令，解得所以在区间)上单调递增，取得所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以最小值为，故错误.故选：ABC.三、填空题1.【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】的内角的对边分别为，若，且为锐角，则当取得最小值时，的值为___________.【答案】【解析】由正弦定理将变形可得，即，由可得，而是锐角，所以，则由余弦定理可得，则，当且仅当时，取得最小值，故，故，所以.故答案为:2.【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】在中，分别是角的对边，已知，，的面积为，则的值为_______________.【答案】2【解析】∵，A∈（0，π）∴2A+=，可得A=∵b=1，△ABC的面积为，∴S=bcsinA=，即，解之得c=2由余弦定理，得a2=b2+c2﹣2bccosA=1+4﹣2×=3∴a=（舍负）根据正弦定理，得===2故答案为23.【河北省衡水中学2021届高三下学期三调（新高考）】已知均为锐角，且，若，则________.【答案】5【解析】由，可得2sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]所以2[sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα]＝3[sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα]从而sin(α＋β)cosα＝5cos(α＋β)sinα，所以tan(α＋β)＝5tanα，所以.故答案为：.4.【河北省衡水中学2021届高三下学期三调（新高考）】对任意两实数a，b，定义运算“”：，则函数的值域为______.【答案】【解析】由，则函数整理可得：由，得，即所以的值域为.故答案为：5.【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】在中，，则的外接圆的半径等于___________.【答案】【解析】在中，易求.又，由余弦定理可得，解得.设外接圆的半径为r，则由正弦定理，得，所以.故答案为：四、解答题1.【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】如图，在平面四边形中，，，，，连接.（1）求；（2）设，，求的值.【答案】（1）2；（2）．【解析】解：（1）在中，由余弦定理可得，所以；（2）由题意可得，在中，由正弦定理，在中，由正弦定理，两式相除可得：，所以．所以的值为．2.【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】在中，内角所对的边分别是，且.（1）求角；（2）若，求的面积的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题设及正弦定理得化简得，，可得：（2）由已知（1），根据余弦定理得，即，，（当且仅当时取号）（当且仅当时取号）3.【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】在中，角的对边分别是，已知向量，，且满足.(1)求角的大小；(2)若，试判断的形状.【答案】(1)(2)直角三角形【解析】(1)∵，代入，，有，∴，即，∴，.(2)∵，∴①又∵②联立①②有，，即，解得或，又∵，若，则，∴，为直角三角形，同理，若，则也为直角三角形.4.【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题.已知△中，，，分别为内角，，的对边，，，___________，求角及△的面积.【答案】选择见解析；，.【解析】选①，因为，所以由正弦定理得，即，所以，因为，所以或.若，由，而，，从而，矛盾，舍去.故，接下来求△的面积.法一：设△外接圆的半径为，则由正弦定理得，，，，.法二：由（1）得，即，，，，，或，当时，又，，，由正弦定理得，，当时，同理可得，故△的面积为.选②，因为，所以，即，，所以或（舍），因为，所以.以下同解法同①，选③，由及正弦定理得，即，由余弦定理得，，，以下解法同①.5.【河北省衡水中学2021届高三数学第一次联合考试】如图，在四边形中，与相交于点，，，．（1）求；（2）若，求四边形的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）在中，，，，由余弦定理得，所以．由正弦定理得，．在中，由正弦定理得，即，同理，在中，．又因为，所以．所以．（2）在中，由正弦定理得，即，所以．又由余弦定理得，即，解得．S四边形ABCD．6.【河北省衡水中学2021届高三下学期三调（新高考）】如图，在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°，俯角为30°的B处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°，俯角为60°的C处．(1)求船的航行速度是每小时