黑龙江名校联盟2024 届高三模拟测试数学试卷及答案

黑龙江名校联盟2024届高三模拟测试

必,垣乙\__T1>；A

数学试卷

(本试卷满分150分，考试时间120分钟.)

注意事项：

1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、准考证号分别填写在试卷和答题

卡规定的位置上.

2.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡

皮擦干净后，再涂其它答案.非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相

应的区域内，写在本试卷上无效.

一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.设复数z满足z+2亍=—3—i,则目=()

A.2B，V2C.3D忑

2.已知x<0,y<0,且2x+y=-2,则4工+2，的最小值为()

A.1B，V2C.2D.2V2

3.已知集合45,若/={x|log3x*1),且Nc5=(0,2],则集合8可以为()

A.{X|2X<4}B.

CJylyD.卜1y=j2-x

COS7TX,(xH))

则/[/1

4.已知函数/(x)=<)

-,(x<0)

lx

A.2B.-2C.-4D.4

5.已知G=(l,掰),B=(〃,2),向量B在向量2方向上的投影向量为—且彳+B与向量(一2,-1)共线且方

向相反，则()

m1_

A.一=-IB.加+〃=2

n

C.m-n=2D.mn=l

6.若4民C分别为A48C的三个内角，则“siM〉si"”是“cos/+cos(/+C)<(P^()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

7.若正四棱柱4BCD-与以正方形4BCD的外接圆为底面的圆柱的体积相同，则正四棱柱与该圆柱

的侧面积之比为（）

A.-B.血C.6兀D.2万

8.已知数列｛%｝的前〃项和为J,若q=。2=3,且V"比,〃eN*都有4（S〃—=0,则（）

3,77=1

A.{S“-2S"_J是等比数列B.a"=<

2"，1,〃殂

3,〃=1

Cq=-D,5=48

2"—1,吊5

二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知等差数列｛4｝的前〃项和为S“，若星023<0，邑024>0,则下列结论正确的是（

A.｛a“｝是递增数列B.1^1013|<1^1012|

C.S1012D.S1015>S]008

10.关于函数/（x）=；co，s弓2x的图象和性质，下列说法正确的是（

)

5TT

A.x=—是函数/（x）的一条对称轴

8

营,0）是函数/（X）的一个对称中心

B.

1Q冗

C.将曲线y=—sin2x向左平移二个单位可得到曲线y=/⑴

28

D.函数/(x)在|-Wn，o的值域为

2242

11.已知直线/：。》一^+2—2。=0与圆。：（》—4）2+0；—1）2=/。〉0）相交于不同的两点〃；",。为坐标

原点，则（）

A.直线/过定点（2,—2）

B.re(2,+oo

C.当尸=3时，|人困44,6]

D.当r=5时，由.函最小值为-25

12.在正四棱柱中ABCD-481GA,AA1=4,AB=2,E,F分别为棱AB,CCX的中点，记。为过D.EF三点所

作该正四棱柱的截面，则下列判断正确的是（）

2

A.异面直线EF与直线Z4所成角的余弦值为一

3

B.a与平面8CG用的交线与5G平行

C.截面0为五边形

D.O点到截面。的距离为与仅

17

三、填空题：本题4个小题，每小题5分，共20分.

13.已知函数/（x）是定义在R上的奇函数，当x<0时，/（x）=x-cosx+l,则当x开0时，

小）=-

14.在平行四边形48CD中，3BE=ED,CE=MB+〃力（九〃GR）,22+/Z=.

32万

15.已知球。的体积为一，其内接三棱锥。-48C的底面48C为直角三角形，且N/CS=90。，则三棱

3

锥。-ABC的体积的最大值为.

16.已知/'（x）为函数/（x）的导函数，且定义域均为R,若函数+与/（x）—x都是偶函数，写出函

数/区的一个对称中心为；

[/'（1）-1][/'（2）+1]+[/（2）-1][广（3）+1]+[广（3）-4/（4）+1]+•7/0023卜1必©024

四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

已知等差数列｛%,｝公差与等比数列也｝公比相同，aA=1也=4也-％-3.

（1）求｛4｝和也｝的通项公式；

（2）记数列｛.｝是将数列｛%｝和也｝中的项从小到大依次排列而成的新数列，求数列｛%｝前60项的和560.

18.（本小题满分12分）

己知函数f（x）=xex,xeR.

(1)求函数/(x)=xex单调区间；

(2)若过点P(l,Z)«eR)可以作曲线y=/(x)的3条切线，求实数，的取值范围.

19.(本小题满分12分)

在四棱锥尸—A8CD中，PB±AD,ZDAB=ZCDA=A5°,AD//BC,且AD=2PB=4,AB=6,

PD=y/14-

(1)证明：平面PCD,平面P48；

(2)求平面PCD与平面P8C夹角的余弦值.

20.(本小题满分12分)

已知圆C:x2-7nx+j/2+2（2-m）y+m-l=0,meR.

(1)证明：圆。过定点；

(2)当加=0时，点尸为直线/：二+上=1上的动点，过尸作圆C的两条切线，切点分别为N,B,求四边形

63

R4CS面积最小值，并写出此时直线的方程.

21.(本小题满分12分)

某校高中“数学建模”实践小组欲测量某景区位于“观光湖”内两处景点/，C之间的距离，如图，8处为码头

yrjr

入口，。处为码头，为通往码头的栈道，且AD=100m,在5处测得/ZAD=—,/CAD=—,在。

46

27r37r

处测得N8DC=——,NADC=—(A,B,C,D均处于间一测量的水平面内)

34

(1)求4c两处景点之间的距离;

(2)栈道5。所在直线与4c两处景点的连线是否垂直？请说明理由.

22.(本小题满分12分)

已知函数/(x)=ex+«ln—<0.

(1)当［二一《时，求函数/(x)的极值;

(2)证明：/(x)+2a+aln1—|.

参考答案与解析

1.【答案】B

【解析】依题意，令2=》+川,国>eR,则彳=x—yi,所以z+2彳=3x—yi=-3-i,所以x=—l,y=l,

即Z=—1+i，所以目=J(—l)2+仔=,故选B.

2.【答案】A

【解析】因为x<0,〉<0,所以4*+2>,=2?*+2,NZM"乂2丫=2也"+>'=\，当且仅当22工=2了，即

2x=y=—1时，等号成立，故选A.

3.【答案】D

【解析】因为log3X<l,所以0<xW3,所以集合/=(0,3],对于A选项，不等式2、<4的解为

x—2w0

X<2,/C5H(O,2],所以A选项不合题意；对于B选项，不等式上<0等价于<［伞-2)4解得

x-2

3=[0,2),/c3w(0,2],所以B选项不合题意；对于C选项，{">=J=}=[O,+”),/cBw(O,2],

所以C选项不合题意；对于D选项，卜I>=♦=}=(—咫2],Zc5=(0,2],符合题意，故选D.

4【答案】C

故选C

5.【答案】A

.a-ban+2ma1一所以叱3=—工①，又M+B与向量(一2,-1)共线,

【解析】依题思-rq--pi=/,■/、=----a

\a\\a\J1+加2Ji+加221+m2

a+b=(l+72,m+2),所以一(1+〃)+2(加+2)=0②，由①②联立,

m=-1m=—7

解得〈或〈，又方+B与向量(一2，一1)方向相反,

n=i[n=-ll

加=—7\m=-l

所以〈一舍去，所以〈1，故选《

n=-11[n=l

6.【答案】C

db

【解析】依题意可知，在△45C中，由正弦定理可知二一二二一，若sim4〉sin5,则。〉人，于是/〉3,

siih4sinB

且48e(0,»),函数>=cosx在(0,不)上单调递减，所以cosZ<cos8,又cos(/+C)=—cosB,则

cosA<-cos（A+C）=cosS,所以满足充分性；且以上过程可逆，因此也满足必要性，故选C.

7.【答案】B

【解析】依题意，设正四棱柱4BCD-的底面边长为。，高为％,圆柱的高为为，则圆柱的底面半

rv2Y与，整理得h>万71，正四棱柱与圆柱的侧面积之比

径为注a，则有/力万--a

2\-2-7

4ahi

pn=42

,故选B.

27rxxA2

1—2ClJ

8.【答案】D

【解析】依题意，因为4（S“—ST）—S“M=O,

即5„+1-2S“=2s”—4S,I=2(S“—25„_1),«>2,

又邑一25]=(4+%)—2x3=0,所以S“=2S“T，〃22,又S]=%=3,

所以数列｛S,｝是以3为首项，2为公比的等比数列，所以S〃=3X2"T,所以

3,77=1

a鹿=<_2,=%+&+。3+。4+。5=3+3+6+12+24—48,故选D.

[3•2〃一，心2-

9.【答案】AC

【解析】依题意，S2023=2023(1+旬23)=2023a1012<0，所以凝口<。，

52024=2024([+*)=2024("+限)〉。，所以4。口+«1013>0,

所以4013〉一4012〉0,所以数列｛4｝的公差大于0,且|%013|>|%0』，所以A选项正确，3选项不正确；所

以岳012最小，即Eoi2<S"，所以C选项正确;

§1015—^1008=^1015+01014+^1013+01012+“1011+“1010+4009=^^1012<°，所以D选项不正确,故选AC.

10.【答案】ABD

【解析】依题意，因为/(x)=；cos]

1八5万/)1%

=—cos2x-----4"二—cos2x-

2I4J2I

令2x-----kjc>k£Z,x----1----,keZ,当左=0时，x——,

4288

5TC

所以x=——是函数/(x)的一条对称轴，所以A选项正确(另解：因为

8

/［苧］=：cos［m■万一=：cos4»=［即当x=9四时，函数/(X)取得最大值，所以x=9区是

18J2148y2288

函数/(X)的一条对称轴)；

人c57r7717)k兀□兀1)“7八In~」「7万八)

令2%----=k7iH—,k邑Z>x=----1----,keZ，当左=0，x=—,所以0

42288I89J

7万cos卫*2,生17万

是函数/(X)的一个对称中心，所以B选项正确(另解：因为/—cos——=0,

I4822

77万r(7TC।

即》=£是函数/(X)的零点，所以飞-,o是函数/(X)的一个对称中心).

8

对于C选项,

因为/(x)=gcos△sin…+公"m

2(42J24J2

［31

又将曲线了=—sin2x向左平移上个单位可得到曲线歹=8sin,所以C选

282

项不正确;

当xe］一夕0,则12x+?f所以函数/(x)的值域为,所以

D选项正确，故选ABD

11.【答案】CD

【解析】由直线依―y+2—2a=0,可化为a(x—2)+(—y+2)=0,即直线/过定点

尸(2,2),所以A选项不正确；

因为直线/与圆C有总有两个公共点，可得点尸(2,2)在圆。内部,

所以(2-4y+(2-1)2</，解得厂〉括，所以B不正确；

当尸=3时，圆C的方程为(x—4)2+(y—I?=9,可得圆心C(4,l),又尸(2,2)

则|CP|=括，可得W〃V|长的最小值为2,产_|。|2=4,最大值即为直径6,所以C选项正确;

当厂=5时，圆C的方程为(x—4y+(y—I?=25,

则由和二画MCN\cosZMCN=25cosNMCN

当直线/过圆心C(4,l),此时cos/MCN=—1,可得C0S//03的最小值-1,

所以两元的最小值为-25

故选CD.

12.【答案】ACD

【解析】

如图，对于A选项,异面直线EF与直线幺4所成的角，即为直线EF与直线CCA所成角，连接EC,则NEFC

即为直线即与直线C。所成的角，在RMEFC中,FC=|CC1=2,ECZEB'BC?=6，则

_________FC2

EF=个EC?+FC?=3，所以cos/EEC=——=-,所以A选项正确；

,EF3

延长DC交。/延长线于〃，连接EH交BC于I,

延长成交。/延长线于K，连接2K交441于J，

则五边形D.FIEJ即为平面D[EF截该四棱柱得到的截面.即截面a为五边形，所以C选项正确；

a与平面BCG用的交线即为尸/,则尸/〃QK,又BCJ/ADi，ADcD[K=Di，所以尸/与BQ不平

行，所以B选项不正确;

HCHFFC1

对于。选项，由于石；=石丁=7^1=7,所以〃C=CD=2,

iiL)HD、DD[2

A^_KA_KE_

X_,所以KZ二一，

HDKDKH43

KD1=KH=卜2+1|]、岳,D[H=40MCD[H为等腰三角形,

KF=y)KH--FH*1234=-V34，

3

所以AKRH的面积为S=-DHxKF=2y/2x-y/34=-y/i7

1△八〃]n2il33

设D点到截面a的距离为h,则VDy_DHK=VD_D>KH,

-3x-2DK-HDxDD.i=-3xS.ZAi.n/|A^./7xh

即已X号X41X4=」XM^X〃，解得力=强叵，即。点到截面a的距离为的叵,

3123J331717

所以D选项正确，故选ACD.

13.【答案】/(x)=x+cosx-l

【解析】当工>0,-^<0,〃一工）=一工一（：05（-工）+1,又因为/（X）为R上的奇函数,

所以f(—X)=—f(x)=—X—COS(-X)+1,解得f(x)=X+cosx-],

又/(0)=0+cosO-1=0,所以当x20,/(x)=x+cosx-1.

14.【答案】---

4

【解析】依题意，可知而=4屉，则8—CB=4(C£—CB),

整理得酝=!而+之赤=1瓦5—2瑟,

4444

—1—■3--5

CE=——AB——所以22+〃=——

444

15.【答案】一

81

【解析】设48的中点为。1,四面体48CD的外接球的球心为0,

因为N/CS=90°，所以&为AZCB外接圆的圆心，

即点为四面体4BCD的外接球过4民。三点的截面圆的圆心,

圆的半径为F,则48=2r,

因为=/台2=4/,

所以S"c=g/CZC=/，

当且仅当ZC=8。时，取等号，

即当且仅当△ZCfi为等腰直角三角形时，AZCB的面积最大，

连接GO并延长交球面于一点，若使得四面体4BCD的体积最大，则该交点应为点。，即为四面体

Z8CD的高，设。0]=x,xe[0,2),

则有x2+r2=4,。0]=x+2,

则.面体/BCD=gSABC0°1V$2('+2)=:(4—、2)('+2)=一/3—孑2+¥+:,

令f(x)=_++~(o<2),

44i

则/'(x)=—/-y^+—=--(^+2)(3x-2),

22

当0<x<]时，/,(x)>0,当]<x<2时，/,(x)<0,

所以/(x)在上单调递增，在[g2]上单调递减，

所以/(X)max=f[g]=,

所以三棱锥D-ABC的体积的最大值为变.

81

故答案为----.

81

AB

16.【答案】（0,1）；0

【解析】依题意，因为/（x）—x为偶函数，所以/（x）—x=/（—x）+x,即/区+止"=2,

X-X

令/?（x）=&0,贝U/z（x）+M—x）=2,所以0（x）关于点（0,1）对称，所以函数小。的一个对称中心为

XX

（0,1）,

因为+均为偶函数，所以/（|+1]=/（-|+“，所以函数/'（X）的图象关于直线x=l对称，即

/”+x）=r（i-x"（2+x）=r（-%）,

又因为—x=/（-x）+x,

所以/'（x）—l=—/'（—x）+l,所以r（x）+/'（—x）=2,

r（2+x）+r（x）=2/（4+x）+r（2+x）=2,

所以r（4+x）=f\x）,即函数/'（x）是周期为4的周期函数，

r（4-i）=r（-i）,即r（3）=r（—i）/⑼=r（4）

r（i）+r（-i）=2,r（2）+r（-2）=2,r（2）=r（-2）,所以/"）=/，（-2）=1

f（3）+f（l）=2,所以/，⑼=r（4）=l,

所以/'（2）+/'（4）=2

所以/+也是周期为4的周期函数，

[/'⑴T][/'（2）+1]+[/'Q）-1]/（3）+1]+[（（3）-1][广（4）+1―一

[/（2023）-1][/^（2024）+1]=

=r（i）.r（2）+r（i）-r（2）-i+r（2）.r（3）+r（2）-r（3）-i+

r（3）-r（4）+r（3）-r（4）-l++/，（2023）.r（2024）+r（2023）-r（2024）-l

=/"）•/'⑵+/'（2""）++/'（2023"'（20244）+/”）—以2024）—2023

=506[r（l）-r（2）+r（2）r（3）+/＞（3）r（4）+r（4）/（5）]-7^2024）7^025）

+/，(1)-/，(2024)-2023

=506[广⑴.广(2)+/(2(3)+/(3)广(4)+广(4)广(5)]-4(0)广Q)+/Q)-广？)—2023

=506[(/'⑴+/'(3))(/'⑵+/'(4))卜/'(0)/'⑴+/'⑴-/'(0)-2023

=506x2x2-/,(l)+/,(l)-/,(0)-2023

=0

17.【解析】

(1)设等差数列｛a,｝的公差和等比数列｛4｝的公比为//0),

因为4—。6=‘2,，—(%+5，)=—3,即4/—(1+5/)=-3,解得/=2,

所以4=1+2(〃—1)=2〃—1也=打2"-2=2\

⑵数列｛"｝中的项从小到大依次为2,4,8,16,32,64,128,,

而。50=99,。60=119

依题意可知新数列｛&｝的前60项中，数列｛"｝的项只有前6项，数列｛4｝有54项，

所以=(1+3+5+7++107)+(2+4+8+16+32+64)

/4。+1。7)+]26

2

=3042.

18.【解析】

(1)函数/(x)的定义域为及，

/'(X)=ex+xex=ex(x+1),

令/'(x)>0,解得x〉—1,所以函数/(x)的单调递增区间是(—1,+“)

令/'(x)<0,解得x<—1,所以函数/(x)的单调递减区间是(—吗—1)

(2)由题意可得/'(x)=(x+l)e*,

x

设切点坐标为(为,为)，则切线斜率A=(%0+1)-e°,

xA

所以切线方程为y-xoe°=(x0+1)-e'°(x-x0),

将代入得t=e'。(—x；+x0+l).

因为存在三条切线，即方程/="。(-X；+X。+1)有三个不等实数根，

x

则方程t=/。(-X；+x0+l)有三个不等实数根等价于函数y=t,y=e0(-xl+%+1)的图像有三个交点，

设g(x)=(-/+》+小，，］^i|glx)=-(x-l)(x+2)e”,

当xw(—2,1)时,g'(x)>O,g(x)单调递增;

在(一00,—2)和(1,+8)上，g'(x)<O,g(x)单调递减，g(-2)=-4r，

e

当x<lz立或x〉l±立时，g(x)<0,

22

画出g(x)=(-1+》+1年的图象如图,

要使函数V=//=*(—X；+Xo+1)的图像有三个交点，需g(2)<Z<0,

即-，</<0,即实数，的取值范围(-：,0

19.【解析】

(1)连接5。，因为/切。=45°,28=后,2。=4,

由余弦定理可得BQ?=16+2-2x4x0cos45°=10，所以

BD=A，

在APB。中，PD=y/14,PB=2,BD=V10,

则PD2=PB2+BD2，所以必_L5。，

又PBA.AD,ADcBD=D

所以外J_底面4BCQ,

依题意可知Z8CD为等腰梯形，AB=6,可得8C=2,取/。中点连接瓦/，

则BC=DH=2,BC〃DH,所以四边形BCD/f为平行四边形，DC//BH

又BH=BA=C,AH=2,所以又BHLPB,PBcAB=B

所以相，平面E4B,

所以DC,平面上45,又DCu平面0CD,

所以面PCD,平面P48.

如图，建立空间直角坐标系,

则定•应=岳—向—2z=0,反•应=—瓜=0,

取z=—1，得/=(0,0,-1)

同理，设面可。法向量为万=(凡4c),则

PC-m=42a-^2b-2c=0,BC-n=y/2a-y/2b=0,

取a=l,得万=(1,1,0),

由题意，cos<m,ii}=-^―=V=—

\m\\n\V3.V23

设平面PCD与平面PCB的夹角为。，贝IIcos0=|cos(m,n)|=飞-，

解法2：由（1）可知，必，平面4BC。,必u平面必C,.•.平面尸平面48。。,

过。作则。平面尸8C垂足为8,PCu平面必c,则。笈,尸。，

过〃作PC的垂线，垂足为£,连DE,

由于HELPC,DHLPC,HEcDH=H,HE,DHu平面DEH,

所以尸CL平面£>£〃,£>£<=平面。£”,故PC，DE,

则/。£7/为所求二面角夹角的平面角.

I—兀

PB=BC=2,AB=CD=s/2,所以NBCP=-,

7171x/2

DH=CDsin-=1,CH=DH=1,HE=HCsin-=—，

442

HE

CGS/DEH=-----

DE

所以平面PCD与平面PBC夹角的余弦值为2二.

3

20.【解析】

(1)依题意，将圆C的方程J—加x+J/?+2(2—相)y+加-1=。化为

x2+y2+4j-l+(l-x-2y)m=0

令1—x—2y=0,即x=l—2y,则(1—2y)2+y2+4y—i=o恒成立，

解得x=l,y=0,即圆C过定点(1,0)

(2)当加=0时，圆C:x?+(y+2)2=5,

直线/:2+上=1

63

设P(s,。，依题意四边形R4cB的面积S=2SJAC=2x1|P^|x小,

当24取得最小值时，四边形24c3的面积最小,

又|P/|=J|PC『—5,即当|PC|最小时，四边形PZCS的面积最小,

圆心。（0,-2）到直线7:±+上=1的距离即为|PC|的最小值，

63

|0-4-6|

即尸CL>==2底PAQ«2回-5=底

S皿=拒义下=5百，即四边形P/CS面积最小值为50，

此时直线尸。与直线/垂直，

所以直线尸。的方程为y=2x—2,与直线/联立，

解得「(2,2),以尸C为直径的圆的方程为x(x—2)+(y+2)(y—2)=0

即+y2-2x-4=0,又圆C:/+y2+4j-l=0,

两式作差可得直线4B方程2x+4y+3=0

21.【解析】

(1)由题意可知，在△及②中，ZCBD=-,^BDC=—,BD=100

63

27r7T71

所以N8CD=;r-------=-,所以ABCD为等腰三角形，所以5。=。。=100,

366

,,，八一，/，八二万八27r3万7乃,八’二7万71;

在AABD中，NABD二一,NADB=2万————=—,NBAD-TT————二

43412124(

100

5。=100,由正弦定理：———=———,即丁一赤，解得4D=10M

sm/BADsin^ABDT——

22

在△NCZ>中，AD=