5.2.1实际问题的函数刻画(2)教案-高一上学期数学北师大版

第五章函数应用5.2实际问题中的函数模型5.2.1实际问题的函数刻画(2)教学目标教学目标1.学习在实际情境中确认与问题相关的因素，把握各因素之间的关系，提高阅读理解的能力．2.学习用数学表达实际问题中因素之间的关系，体会数学的应用价值．教学重难点教学重难点重点：分析实际问题中各相关因素之间的关系，建立刻画实际问题的函数模型．难点：建立刻画实际问题的函数模型．教学过程教学过程一、情境导入情境：现有一把椅子，四条腿一样长且四脚连线成正方形，需放在起伏不平但光滑的地面上，能否将这把椅子四脚同时落地放稳？依照生活经验，如果一把椅子没放稳，只需前后挪动几下，或者旋转一下就能够放稳了，也就是说答案应该是肯定的．你能否用函数的观点来给出理性的解释？设计意图：通过生活中的实际情境，激发学生的好奇心和求知欲，为接下来从函数的角度分析实际问题铺垫．二、新知探究问题1：现有一把椅子，四条腿一样长且四脚连线成正方形，需放在起伏不平但光滑的地面上，能否将这把椅子四脚同时落地放稳？你能否用函数的观点来解释？探究：如图，记这把椅子四脚连线所形成的图形为正方形ABCD，对角线的交点为O；以点O为旋转中心，初始位置的AC转过θ角时，记A，C两点与地面距离之和为fθ，B，D两点与地面距离之和为gθ．因为任意位置的椅子都可以三只脚与地面接触，所以总有fθ•gθ=对于初始位置，不妨设f0°=0，g追问1：椅子逆时针旋转90°，点D转到点A，你能判断此时Fθ的符号吗答案：g90°=f0°=0于是，根据函数零点存在定理，可知在区间[0°，90°]上存在a，使得Fa=0，即f这个例子告诉我们，零点存在定理的重要实用价值在于判断事物的存在性．另外，用函数的观点观察生活，会对已知的事实或经验给出理性的解释．注意：当不易建立起函数模型时，可根据实际问题中变量的变化规律，或结合图形的变化趋势进行分析，找出实际问题的解．问题2：通过市场调查，得到一枚某纪念章的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的关系如下：上市时间x41036市场价y905190探究：根据上表，你能从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y与上市时间x的关系吗？①y=ax+b，②y=ax2答案：由表可得，随着x的值的增大，y的值先减小后增大，而所给的三个函数中，y=ax+b和y=alog因此，选取函数y=ax追问：利用你所选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格．答案：把4，90，10，51，36，90代入y=ax42a+4b+c=90，102a+10b+c=51，362a+36b+c=90⇒a=14，b=−10y=14当x=20时，y取得最小值，ymin该纪念章市场价最低时的上市天数为20，最低价格为26元．通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们所熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．对于此类实际应用问题，关键是先建立适当的函数关系式，再解决数学问题，然后验证并结合问题的实际意义进行求解．设计意图：提升学生的阅读能力，帮助学生理解生产实际情境，明确解决问题的价值．三、应用举例例1:18世纪70年代，德国科学家戴维提丢斯发现金星、地球、火星、木星、土星离太阳的平均距离（天文单位）如下表：行星1(金星)2(地球)3(火星)4()5(木星)6(土星)7()距离0.71.01.65.210.0他研究行星排列规律后预测在火星与木星之间应该有一颗大的行星，后来果然发现了谷神星，但不算大行星，它可能是一颗大行星爆炸后的产物，请你推测谷神星的位置，在土星外面的天王星与太阳的距离大约是多少？解：由数值对应表作散点图如图：根据散点图可设fx代入前3个数据可得：a=320，b所以fx将x=5，x=6，代入检验，所以f4=2.8故谷神星、天王星距离太阳的距离分别为2.8，19.6例2：加油站的汽油都存储在地下油槽中，由于比较容易测量槽中油料的高度，因此一般用油料的高度来监控油槽中的油料量．现有一圆柱体油槽，横卧地下，其母线呈水平状态，纵截面是圆（如下图），截面圆半径是120cm，圆柱的长是400cm．从资料可查出圆的弓形面积与圆面积比例系数表（如下表），它给出了弓形面积占单位圆面积的比值Ck．其中Ck=θ180k00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0C00.0191.60.0940.1420.1960.2520.3120.3740.4360.5为了方便加油站操作人员估计油槽中的油料量，请编制一份油料的液面高度ℎ（单位：cm）与油料量V（单位：L）的对照表，该表的油料液面高度取值从0开始，最大为120cm，间隔12cm．（π取3.14，油料量精确到解：如图，油槽截面的油料液面线为AB，记油料液面高度ℎ时的油料的面积为Sℎ依题意知：SℎVℎ这里r=120cm，于是可得到油料的液面高度ℎ与油料量ℎ/01224364860728496108120k00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0S/0859.1042351.2324250.3046420.6728862.33611394.43214107.39216910.78419714.17622608V034494017002568354545585643676478869043四、课堂练习1．某广告公司要为客户设计一幅周长为（单位：m）的矩形广告牌，如何设计这个广告牌可以使广告牌的面积最大？2．某食品的保鲜时间y（单位：h）与储藏温度x（单位：°C）满足函数关系（e为无理数自然对数的底数，k、b为常数）．若该食品在0°C的保鲜时间是192h，在22°C的保鲜时间是48h，则该食品在33°C的保鲜时间是________h参考答案：1.设矩形的一边长为x，广告牌面积为S，则S＝－(x－eq\f(l,4))2＋eq\f(l2,16)，x∈(0，eq\f(l,2))．当x＝eq\f(l,4)时，S取到最大值，且Smax＝eq\f(l2,16)．所以当广告牌是边长为eq\f(l,4)的正方形时，广告牌的面积最大．2.解：根据题意，当x=0时，y=192，所以当时，，所以，即，则．所以该食品在33°C的保鲜时间为，即24h．五