高考数学备考训练-椭圆

高考数学备考训练-椭圆

一、选择题

1.已知椭圆5+标=13>小0）的焦点分别为工、F.,6=4,离心率为1.过

"的直线交椭圆于A、B两点，则的周长为（）

A.10B.12

C.16D.20

答案D

aa

解析如图，由椭圆的定义知的周长为4a,又e=Or，即。=而，

-'-«2-C2=%=Z>2=16,：.a=5,AABF2的周长为20.

2.椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值是

（）

A.；B.；

C.2D.4

答案A

解析长轴长为2a=玲，短轴长为2,•=4.

：.m=-

4,

3.已知方程击+吊=1表示椭圆，则上的取值范围为（）

3十k2~k

A.k>—3且攵W—]B.-3<&v2且ZW—1

C.k>2D.k<—3

答案B

3+4>0

解析只需满足：<2-攵>0

、3+k手2-k

4.（2011•衡水调研）椭圆捻+:=1（。>。>。）上任一点到两焦点的距离分别为

《，人,焦距为2c.若42c,3,成等差数列，则椭圆的离心率为（）

A1B把

八・22

C坐D.|

答案A

解析由4+4=2a=4c,

5.（2011・湖北八校）若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大

值为1,则椭圆长轴的最小值为（）

A.1B.艰

C.2D.2娘

答案D

解析三角形的面积S=^-2c-b=bc=1,

.•0=岳+C222bc=2.「。2娘.」.2。22娘.选D.

6.设e是椭圆日+方=1的离心率，且eW（；,1）,则实数人的取值范围是（）

,八〜16

A.（0,3）B.（3,-y）

C.（0,3）U（牛，+8）D.02）

答案C

解析当%>4时，c=q%-4,由条件知4<—,解得至；

当04<4时，c=yj4-k,

14-4

由条件知*丁<1,解得0«<3，综上知选C.

7.（2010・广东，文）若一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数

列，则该椭圆的离心率是（）

43

A.§B.§

c5Dj

答案B

解析由题意有2a+2c=2（2份，即a+c=2A,又“=俏-历，消去b整理

得5c2=3a2-2ac,即5ei+2e-3=Q,--e—5或e=-1（舍去）.

8.已知椭圆手+号=1的左顶点为右焦点为公，点。为该椭圆上一动

点，则当优•风的最小值时1跖+丙取值为（）

A.0B.3

C.4D.5

答案B

解析由已知得a=2,8=/,c=l,所以々(1,0),A"-2,0)，设P(x,y),

则/，.凤=(1-x，->)•(-2-x,-y)=(1-x)(-2-x)+”又点P(x,y)在椭圆

上，所以m=3-3，代入上式，

得明风=3+X+1=3+2)2,

又-2,2],

，x=-2时，可.风取得最小值.

所以P(-2,0),求得LPT?+用J=3.

二、填空题

_y*2

9.已知点A/(木，0),椭圆x+y2=l与直线y=-x+/)交于点A、B,则

△ASM的周长为.

答案8

解析直线y=k(x+小)过定点M-短，0),而M、N恰为椭圆弓+竺=1

的两个焦点，由椭圆定义知的周长为4a=4X2=8.

10.已知中心在原点，长轴在x轴上，一焦点与短轴两端点连线互相垂直，

焦点与长轴上较近顶点的距离为4(艰一1),则此椭圆方程是.

答案若十存

a-。=4（娘-1）,

解析由题意，得,b=c,

二历+C2/

a=hp

解得

。二4,

所以椭圆方程为弱+2=1.

32lo

如图，与和外分别是椭圆会展=1(。>〃>0)的两个焦点，A和8是以。为

圆心，以IOFJ为半径的圆与该椭圆的两个交点，且△管8是等边三角形，则椭

圆的离心率为.

答案V5-1

解析依题意知NF/&=90°,ZAF2F,=30°,

由椭圆的定义得L4Q+L4储l=2a，（小+l）c=2a=e=，U-1.

12.已知椭圆1+若=1的左、右焦点分别为4、R,且叫尸2=2。，点A在

椭圆上，AFX-FJF=G,AFI-AF=C2,则椭圆的离心率e等于_______.

答案若」2

解析不妨设A在x轴上方，由吠•肝2=0知«C为”=（°，勺'

和=（2c,4,碇=0+箝，2,「&=a2c2,Q-e2）2=侬,33叱

c3-J5.3-J5J5-1

十〃40fC2——Q2t♦&?--2—，-e—-2—.

13.（08.江西）已知"、F2是椭圆的两个焦点，满足宓।•必八=。的点〃总

在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是.

答案（0,乎）

解析依题意得，C<b,即C2<62，C2<«2-C2,2c2<a2，故离心率e=（这，又

cJ2

°<*1，，噌斗

三'解答题

14.

如图所示：已知圆C：（x+l”+y2=8,定点A（l,0）,M为圆上一动点，点P

在AM上，点N在CM上，且满足病=2酢，种•病=0,点N的轨迹为曲线E,

求曲线E的方程.

解析；俞=2加>,种.筋f=0,

・•.NP为AM的垂直平分线，

.UNAI=\NM\,又ICNI+\NM\=2^2,

.UCNI+IM4I=2y2>2.

.•动点N的轨迹为以点C(-1,0),A(1,0)为焦点的椭圆，且2a=2/,2c=2,

•«6Z—,C—1.

曲线E的方程为"V2=l.

15.已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F(—2,0),且长轴长与短轴长的

比是2yp.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设点”(加,0)在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点.当I面向最小时,

点尸恰好落在椭圆的右顶点，求实数机的取值范围.

解析⑴设椭圆C的方程为・+合13＞方＞0).

。2=+C2,

由题意，得＜ab=2娘，

、c=2,

解得。2=16,历=12.

所以椭圆C的方程为支+卷=1.

1612

(2)设P(x,y)为椭圆上的动点，由于椭圆方程为最+g=1，故-44W4.

因为仍二(x-m,y),

所以I而|2=(尤-m)2+J2=(x-m)2+12-(1-喘)=3-Imx+m2+12=；(》_

4m”+12-3m2.

因为当I而|最小时，点尸恰好落在椭圆的右顶点，

即当x=4时，I丽|2取得最小值，而x£[-4,4],

故有4m^4,解得m21.

又点M在椭圆的长轴上，所以-4W加＜4.

故实数m的取值范围是[1,4].

16.(2010・安徽卷，文)已知椭圆E经过点A(2,3),对称轴为坐标轴，焦点

F1,己在x轴上，离心率e=；.

(1)求椭圆E的方程；

(2)求/苒4々的角平分线所在直线I的方程；

解析⑴设椭圆E的方程为蓝+合1，

由e=：,即£=1,得a=2c,得岳=。2-C2=3c2.

2a2

.•椭圆方程可化为n+n=l.

4c23c2

将A(2,3)代入上式，得_L+3=1,解得。=2,

C2C2

.•椭圆E的方程为？+斡=1.

Io12

(2)由⑴知K(-2,0),々(2,0),所以直线AF1的方程为：y=l(x+2),即3x

-4y+6=0,直线"，的方程为：x=2.

由点A在椭圆E上的位置知，直线/的斜率为正数.

、L土—।--4y+61

设P(x,y)为I上任一点，则---------=1^-21.

若3x-4y+6=5x-10，得x+2y-8=0(因其斜率为负，舍去).

于是,由3x-4y+6=-5x+10,

得2x-y-1=0,

所以直线/的方程为：2x-y-1=0.

1.椭圆5x2+Q>2=5的一个焦点是(0,2),那么人等于()

A.-1B.1

C邛D.一/

答案B

解析化为标准方程：》2+弓=1，.焦点为(0,2)，，焦点在y轴，且c、=-2,

k

.-^=4+1,：.k=1.

k

2.椭圆券+于1上一点”到焦点%的距离为2,N是g的中点.则10M

等于()

A.2B.4

c.8D1

答案B

IOW=31gl=32a-\MF\)=1(10-2)=4,古嬷B.

解析i

3.设椭圆的两个焦点分别为/2,过工作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，

若6P%为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为()

A*B"

C.2—>y2—1

答案D

解析数形结合:令尸乙=1，则@匕1=1,吗="

：.e=Z£=万丹=]=[2-1

2a\PF^+\PF^^+1V

4.(09.江西)已知八％为椭圆**l(a>Z〉O)的焦点；M为椭圆上一点,

MF1垂直于x轴，且NKM「2=60°，则椭圆的离心率为（）

A1B也

八・22

C芈D乎

答案C

解析解法一,••|F|F2I=2c,MF]±.r轴，

.・・依々=芈°,lMFJ=芈c.

.••2a=IMF|+|MF,I=2ypc.；.e=.二坐

解法二由q-c,o）,将x=-c代入.+[=1,

得）'吟'

••尉P堂/

a

,-bi=a-c,=、尸,即=、尸.

22G-。2Y1-e2V

解得e=-/（舍），e=坐

1.（09・重庆）已知椭圆・+*13>A>0）的左、右焦点分别为«—。,0）、

G（c,0）,若椭圆上存在点使-.一一则该椭圆的离心率的取

2sinZrFjF?sinZP,黑-济=-./尸『

值范围为.

答案（娘一1,1）

解析依题意及正弦定理得需=?注意到。不与尸石共线），即2m[j

~-]=5，'\PFI，即e+1>—,「.（e+]）2>2.又0<e<l,因

c炉，2a。Q+c1+e

此“-l<e<l.

2.如下图，椭圆卷+9=1内有一点P（l,-1）,尸为椭圆的右焦点，在椭

圆上有一动点初，求IMPI+IM”的最值.

解析设椭圆的另一个焦点为尸，由椭圆定义及基本几何不等式得：

\MP\+\MF\=\MP\+A-\MF'\=^+\MP\-\MF'\^4+\PF'I

=4+/1+1)2+12=4+/

・・・当M,P,F'共线且F'在线段MP上时取等号.

BP(IMPI+\MF\)=4+、/5

maxv

又.「IMPI+\MF\=\MP\+4-\MF'I

=4-(\MF'\-\MP\)^4-\PF'I.

・•・当F',P,M三点且点P在线段MF'上时取等号.

gP(IMFI+\MF\)=4,./5

3.设与、a为椭圆言+3=1的两个焦点，尸为椭圆上的一点.已知P、6、

匕是一个直角三角形的三个顶点，且炉储|>|「入|,求黑的值.

212\rr^\

解析由已知炉产J+IPF2I=6,IF/2I=2木.

根据直角的不同位置，公两种情况：

若为直角，则

IPFJ2二炉弓以+炉1心0，

即IPFj=?,炉/4(

故丝

\PF,\2"

若N[P尸2为直角，则炉丹2二炉产J2+%2,

即20=1?仆|2+(6-IP/1)2,

得户勺=4,IPF,|=2故/=2.

综上，盟的值为二或2.

Irr2l2

4.

如图所示，已知△OFQ的面积为S,且赤•利=1.

(1)若：<S<2,求向量成与池的夹角。的正切值的取值范围.

(2)设I0>l=c(c22),S=”c,若以。为中心、尸为焦点的椭圆经过Q,当I的

I取得最小值时，求此椭圆的方程.

[1——

I^\0F\\FQ\sin(7c-0)=S,

解析⑴由已知，得]

〔I赤府Icos6=1.

.•.tan8=2S.*s<2,.-.l<tan6»<4.

(2)以。为原点，波所在直线为x轴建立平面直角坐标系•

设椭圆方程为三+/=1(。>匕>0),Q(x,y).

a2b2

133

2c'y=4c»-'-y=2'

又,丁位.匝=c(x-c)=1,/.x=c+l

则困=#2+>2=y(C+；)2+1(c22).

可以证明：当c22时，函数UC+J为增函数，