冲刺2023年高考数学试卷3 新高考地区专用(解析版)

绝密★启用前

冲刺2023年高考数学卷03

新高考地区专用（解析版）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的。

1.（2021年高考全国甲卷）设集合M={x|0<x<4},N=卜、4x45},则"cN=（）

A.B,1

C.{x|4<x<5）D.{x[0<x45}

B【进解析】根据交集定义运算即可

【详解】因为M={X[0<X<4},N={X|；4X45},所以=4X<4

故选：B.

【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.

2.(2022年高考全国甲卷)若z=-l+百i,贝1」白7=()

ZZ—1

A.-l+73iB.-1-V3iC.-l+^iD.」一走i

3333

C【解析】由共匏复数的概念及复数的运算即可得解.

【详解】z=-l->/3i,zz=(-l+^i)(-l->/3i)=l+3=4.

z-i+近16.

---------=--------------=-----4-------1

ZZ-1333

故选：C

3.（2022年高考全国乙卷）设尸为抛物线C:贯=4x的焦点，点4在C上，点3（3,0）,若\AF\=\BF\,则|相|=

A.2B.2A/2C.3D.3亚

B【解析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点A的横坐标，进而求得点A坐标，即可

得到答案.

【详解】由题意得，尸（1,0）,则|4同=忸♦=2,

即点A到准线X=-1的距离为2,所以点A的横坐标为-1+2=1,

不妨设点A在X轴上方，代入得，4（1,2）,

所以=^/（3-1）2+（0-2）2=2.

故选：B

4.（2020年高考全国新课标III卷）已知向量B满足I方|=5,|石|=6,1石=-6,则cos<£,3+9>=（）

31c19八17-19

A.--B.--C.—D.—

35353535

D【解析】计算出“.（"+"）、卜+M的值，利用平面向量数量积可计算出c°s<£）+3>的值.

【详解】•.,"=5,|司=6,>石=一6，.,.〃.（〃+可=卜|+a-fe=52-6=19.

a+b=^4=忐2+加3+尸=125-2x6+36=7,

m.--1伍+®_19_19

因止匕，cos<a,a+h_=r=-~—=—.

|<7|-|a+/?|5x735

故选：D.

【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，

考查计算能力，属于中等题.

5.（2022高考全国甲卷）从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张

卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（）

1122

A.—B.-C.-D.—

5353

C【解析】方法一：先列举出所有情况，再从中挑出数字之积是4的倍数的情况，由古典概型求概率即可.

【详解】［方法—1：【最优解】无序

从6张卡片中无放回抽取2张，共有

（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,（3,4）,（3,5）,（3,6）,（4,5）,（4,6）,（5,6）15种情况,其中数字

之积为4的倍数的有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,5),(4,6)6种情况，故概率为已=|.

［方法二］:有序

从6张卡片中无放回抽取2张，共有

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),

(6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(5,4),(6,4),(6,5)30种情况，

其中数字之积为4的倍数有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,4),(6,2),(6,4)12种情况，故概率

J22

为—=一.

305

故选：C.

【整体点评】方法•：将抽出的卡片看成•个组合，再利用古典概型的概率公式解出，是该题的最优解；

方法二：将抽出的卡片看成一个排列，再利用古典概型的概率公式解出；

6.(2022年高考全国0卷)若5皿。+6)+85(。+尸)=2713(。+(卜1%，则()

A.tan(a—6)=1B.tan(a+^)=l

C.tan(a-y?)=-lD.tan(a+/?)=-l

C【解析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.

【详解】［方法一人直接法

由己矢II得：sintzcos夕+cosasin(3+cosacosj3-sinasin0=2(cosa-sina)sin/7.

即：sinacos/y-cosasin/y+cosacos£+sinasin4=0,

即：sin(a-4)+cos(a-夕)二0

所以tan(a-』)二T

故选：C

［方法二］:特殊值排除法

解法一:设0=0则sina+cosa=0,取,排除A,B；

再取a=0则sinp+cos0=2sinp,取。=?,排除D；选C.

［方法三］:三角恒等变换

sin(a+/?)+cos(a+£)=6sin(a+/?+—)=\£sin[(a+-%£]

44

=V^sin(a+—)cos£+3cos(a+—^in/3=2A£COS(a+心虹n0

444

所以J^sin(a+?)cos/?=&cos(a+?)sinp

sin(a+”)cosB-cos(a+")sin0=0即sin(a+二-0)=0

444

，sin(a-p+：)=sin(a-£)cos；+cos(a一夕hin：=ysin3一4》^-eos6一月今0

sin(a-y0)=-cos(a-(J)即tanla-y®=-l,

故选：C.

7.（2021年高考天津卷）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为学，

两个圆锥的高之比为1:3,则这两个圆锥的体积之和为（）

A.3乃B.4万C.9乃D.12乃

B【解析】

作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再利用

锥体体积公式可求得结果.

【详解】

如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点Q,

设圆锥力。和圆锥8。的高之比为3:1,即4。=38。,

设球的半径为R，则幽-=%，可得H=2,所以，AB=AD+BD=4BD=4,

33

所以，BD=1，AD=3,

•：CDLAB,则NC/O+4CZ>=N8CO+NNC£>=90°，所以，ZCAD=/BCD,

又因为4£>C=N8OC,所以，AACDS&CBD,

,ADCD

/.CD=y/ADBD=V3，

所以‘五BD

因此，这两个圆锥的体积之和为:4xC£12.（40+8。）=；;rx3x4=47r.

故选：B.

8.(2022年高考全国H卷)已知函数〃x),g(x)的定义域均为R,且((x)+g(27)=5,ga)_〃x_4)=7.若

22

y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4,则£/任)=()

*=1

A.-21B.-22C.-23D.-24

D【解析】根据对称性和已知条件得到“X）+〃X-2）=-2,从而得到f（3）+/（5）+…+/（21）=-10,

/（4）+/（6）+...+/（22）=-10（然后根据条件得到“2）的值，再由题意得到g（3）=6从而得到/⑴的值即

可求解.

【详解】因为7=g（x）的图像关于直线x=2对称,

所以g(2-x)=g(x+2),

因为g(x)-/(x-4)=7,所以g(x+2)-/(x-2)=7,即g(x+2)=7+/(x-2),

因为/(x)+g(2-x)=5,所以/(x)+g(x+2)=5,

代入得/(x)+[7+/(x-2)]=5,B|1f{x}+j\x-2)=-2,

所以f(3)+〃5)+…+f⑵)=(-2)>5=-10,

/(4)+/(6)+...+/(22)=(-2)x5=-10.

因为/(x)+g(2-x)=5,所以/(0)+g⑵=5,即/(O)=l,所以"2)=-2-/(0)=-3.

因为g(x)-/(x-4)=7,所以g(x+4)-/(x)=7,又因为〃x)+g(2-x)=5,

联立得,g(2-x)+g(x+4)=12,

所以y=g（x）的图像关了点（3,6）中心对称，因为函数g（x）的定义域为R,

所以g（3）=6

因为〃x）+g（x+2）=5,所以/⑴=5-g（3）=-l.

22

所以2/伏）=/（1）+/（2）+[/（3）+/（5）+..+/（2同+[/（4+7（$+-+X2^]=-1-3-10-10=-2.

*=1

故选：D

【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后

得到所需的一些数值或关系式从而解题.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.(2021年高考全国I卷)有一组样本数据不，花，…，x”,由这组数据得到新样本数据必，力，…，”，

其中％=x,+c(i=l,2,…,〃),c为非零常数，则()

A.两组样本数据的样本平均数相同

B.两组样本数据的样本中位数相同

C.两组样本数据的样本标准差相同

D.两组样本数据的样本极差相同

CD【解析】A、C利用两组数据的线性关系有E(P)=E(x)+c、03)=D(x),即可判断正误；根据中位数、

极差的定义，结合已知线性关系可判断B、D的正误.

【详解】A：E(y)=E(x+c)=E(x)+c且c*o,故平均数不相同，错误；

B：若第一组中位数为瓦，则第二组的中位数为％=x,+c,显然不相同，错误；

C：D(y)=D(x)+D(c)=D(x),故方差相同，正确;

D：由极差的定义知：若第一组的极差为占皿-则第二组的极差为

乂小一乂仙=(/ax+C)-(Xmin+。)=乂,而一/„,,故极差相同，正确：

故选：CD

10.(2022年高考全国II卷)已知函数/(x)=sin(2x+Q)(0<3<兀)的图像关于点仔,0)中心对称，则()

A./*)在区间(0,碧)单调递减

B."X)在区间(-壬岩)有两个极值点

C.直线x=?是曲线y=/(x)的对称轴

6

D.直线夕=日-x是曲线y=/(x)的切线

AD【解析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出.

【详解】由题意得：与)=sin[3+e)=0,所以号+"=航，％eZ,

47r

即9=---+^7t,ZrGZ,

又0＜。(兀，所以左=2时，中=个,故/(x)=sin12x+2兀

对A,当XE（0,行5兀）时，2X+-^-G2兀3兀,由正弦函数y=sin“图象知y=/(x)在(0,得

上是单调递减;

12T'T

,.w（711In,_2JTit5兀

对B,Hw-kE时,2x+—^―€FT,由正弦函数V=sin〃图象知y=/(x)只有1个极值点，由

2x+：=：,解得x喑，即x专为函数的唯一极值点；

对C,当x7Tl时，2x+2弓7r=3兀，/(多7TT)=0,直线X=7；jr不是对称轴;

6366

对D,由y'=2cos（2x+^）=-l得：cos（2x+^271■卜]_

32

2兀27r2TE4TE

解得2X+'='+2E或2工+'=空+2祈欢EZ,

3333

JI

从而得：x=hc或工=]+E,%EZ,

所以函数v=/(x)在点处的切线斜率为左=y|v=0=2cosy=-l

切线方程为：y-g-G-O)即"孝一》.

故选：AD.

11.(2021年高考全国n卷)如图，在正方体中,。为底面的中心，P为所在棱的中点，M,N为正方体的

顶点.则满足MNLOP的是(）

【分析】

根据线面垂直的判定定理可得BC的正误，平移直线构造所考虑的线线角后可判断AD的正误.

【详解】

设正方体的楼长为2,

对于A,如图（1）所示，连接NC,则MN//4C,

故NPOC（或其补角）为异面直线ORMV所成的甭,

故tanZPOC=4==->

在直角三角形OPC,oc=JLCP=I

722

故MN尸不成立，故A错误.

对于B,如图（2）所示，取NT的中点为。，连接P。，OQ,则O0_LNT,PQLMN,

由正方体SBCM-NADT可得SN1平面ANDT,而。。u平面ANDT,

故SNLOQ,而SNCMN=N,故。。J•平面SN7N,

又A/Nu平面SNTM,OQ1MN,而

所以MN_L平曲OP。，而POu平面OP。，故MNIOP,故B正确.

对于C,如图（3）,连接3Q,则BD//MN,由B的判断可得。尸，加9,

故OPLMN,故C正确.

对于D,如图（4）,取/。的中点0,48的中点K,连接/C,P0,OQ,PK,OK,

贝UAC//MN,

因为。P=PC,故PQHAC,椒PQHMN,

所以NQP。或其补角为异面直线PO,MN所成的角，

图（4）

因为正方体的棱长为2,故==0Q=y]AO2+AQ2=Vl+2=71,

PONPKROKZ=4^1=5。。2＜尸。2+。尸，故/。尸。不是直角，

故尸O,MN不垂直，故D错误.

故选：BC.

12.（2022年高考全国I卷）已知函数"X）及其导函数/（X）的定义域均为R,记g（x）=7'（x）,若/（|-2x

g（2+x）均为偶函数，则（）

A./(0)=0B.gq=oC./(-D=/(4)D.g(-l)=g(2)

BC【解析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐

项判断即可得解.

【详解】［方法一］:对称性和周期性的关系研究

对于"X),因为/6川为偶函数，所以/(\_29)=/3+2工)即=,①,所以

/(3-x)=/(x),所以"X)关于x=；对称，则/(-1)=/(4),故C正确；

对于g(x),因为g(2+x)为偶函数，g(2+x)=g(2-x),g(4-x)=g(x),所以g(x)关于r=2对称，由①求

导，和g(x)=/<x),得=［/(g+x)=-/1-工>/C+x)=-gg-x)=gg+x，所

以g(3-x)+g(x)=0,所以g(x)关于弓,0)对称，因为其定义域为R,所以g(1)=0,结合g(x)关于x=2对

称，从而周期7=4x0—3=2,所以g(-；)=g1|)=0,g(-l)=g(l)=-g(2),故B正确，D错误：

若函数/*)满足题设条件，则函数八幻+C(C为常数)也满足题设条件，所以无法确定"X)的函数值，故

A错误.

故选：BC.

［方法二］：【最优解】特殊值，构造函数法.

由方法一知g(x)周期为2,关于x=2对称，故可设g(x)=cos(m),则/(x)=1sin(7u)+c,显然A,D错

兀

误，选BC.

故选：BC.

［方法三］:

因为g(2+x)均为偶函数，

所以_21)=/(g+2x)即/(|-x)=/(g+x)，g(2+x)=g(2-x),

所以"3-x)=/(x),g(4-x)=g(x),则/(-l)=/(4),故C正确；

函数ZU),g(x)的图象分别关于直线x=：,x=2对称，

又g(x)=/'(x),且函数/(x)可导，

所以g(|)=0，g(3-x)=-g(x),

所以g(4-x)=g(x)=-g(3-x),所以g(x+2)=-g(x+l)=g(x),

所以g(-；＞g(S=O，g(-l)=g(l)=-g(2),故B正确，D错误；

若函数/(x)满足题设条件，则函数/(x)+C(C为常数)也满足题设条件，所以无法确定/(x)的函数值，故

A错误.

故选：BC.

【整体点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该

题的通性通法;

方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.(2022年高考天津卷)的展开式中的常数项为一

15【解析】由题意结合二项式定理可得(4+掾)的展开式的通项为c-3".号，令瞪1=0,代入

即可得解.

【详解】由题意(4+*)的展开式的通项为&1=弓(五「用=c;-r-x^£,

令^^=0即r=l,则Cr3'=C；・3=15,

的展开式中的常数项为15.

故答案为：15.

11O

14.（2020年।同考天津卷）已知。＞0,b＞0,且〃b=l,则7;—■F—H----^的最小值为

2a2ba+b

a+b8

---------1---------

4【解析】根据已知条件，将所求的式子化为2。+人，利用基本不等式即可求解.

118abab8

【详解】va>0,Z>>0,a+/>>0,ab=l—+—+一+—+----

2a2ba+b2a2ba+b

当且仅当a+一时取等号,

结合。6=1,解得a=2—6力=2+6，或a=2+6,6=2-6时，等号成立.

故答案为：4

【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，"1”的合理变换是解题的关键，属于基础题.

15.(2018年高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，A为直线/：»=2x上在第一象限内的点，8(5,0),以

48为直径的圆C与直线/交于另一点Z).若万.丽=0，则点A的横坐标为.

3【解析】方法-：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求出

结果.

【详解】［方法一］:【通性通法】直译法

设Z(a,2a)(a>0),则由圆心C为43中点得C(等,，，易得。C：(x-5)(x-0)+y(y-2a)=0,与y=2x联

立解得点。的横坐标%=1,

所以。(1,2).所以布=(5-。,一2。),而=(1与2,2-，，

由刀.丽=0得-等)+(-2a)(2-a)=0,

HPa2-2a-3=0,解得：a=3或a=—1,因为a>0,所以a=3.

故答案为：3.

［方法二］:【最优解】几何法

如图3,因为N8为直径，所以4。工8。，荏.丽=0，△AFDWWEB.

图3

设|OE卜"则|CE\=\AF|=2t,\DF\=\BE|=4t,

所以|O3b|OE|+|E8|=5，=5,即f=C

所以，/点的坐标为(3,6),则点/的横坐标为3.

［方法三］:数形结合

如图4,由已知，得则原0=-g,所以8。的方程为^=-；(》一5).

图4

y=2x,

由y=-^(x-5),解得。（1,2）.

设4“,2a）,则c（手从而在=（5-4,-2窃）,丽=（三卫,2-47

所以而而=(5_°).三心_2°(2_°)=0,解得。=3或a=T.

又。>0,所以。=3.即点/的横坐标为3.

［方法四］:数形结合+斜率公式

由万•丽=0，得/8_LCD,又C是48的中点，所以

乂ADJ.BD,所以N84£）=45。.设直线/的倾斜角为a,则tana=2,从而

k=tanNABx-tan(6Z+45°)==-3

AR1—2

设”（凡2a）,则二=一3,解得a=3.即点力的横坐标为3.

a-5

［方法五］:数形结合+解三角形

由方法四，知tana=2,则sina=^叵.

5

在RtZ\5。。中，BD=OBsina=5x—^―=2^5.

在等腰RM/D8中，AB=7250=25/10.

设/(a,2a),则J(a-5)2+(2a)2=2如,解得a=3或a=—l.

又a>0,所以a=3.即点/的横坐标为3.

［方法六］:数形结合+解三角形

21

设宜线/的倾斜角为a,则tana=2,则sina=—f=,COSCt

加百

由方法四知Z.OAB=—,于是sinZ.OBA=sin[a+工)=-^-x，==MIL

44j2V510

OA=OB

在△048中，由正弦定理知sin/084=京》，解得04=3指，

Sin4

故点A的横坐标为0/-cosa=3.

［方法七］:数形结合+解三角形

因为。为以为直径的圆C上一点，所以。为Z8的中点.

因为德•丽=0，所以/BJLC。，△N8D为等腰直角三角形，即

BD

在RtaOSO中，tan/BO4=k=2=方.

乂OD,+BD，=OB?=5?，所以OD=®BD=2亚.

因为/在第一象限，所以。1=。。+49=3店.

又瓜=2广；+、；=。/2=（3石）2,所以乙=3.

XA

【整体点评】方法一：直接根据题意逐句翻译成数学语言，通过运算解出，是该题的通性通法；

方法二：作出简图，利用平面几何知识求解，运算简单，是该题的最优解；

方法三：通过圆的几何性质，利用直线方程联立求点。的坐标，简化计算；

方法四：通过圆的几何性质，求出直线的倾斜角，从而得出斜率，根据斜率公解出，是不错的解法；

方法五：同法四，通过圆的几何性质，求出直线4B的倾斜角，从而得出斜率，再通过解三角形求出；

方法六：基本原理同方法五；

方法七：基本原理同方法五.

16.（2022年高考浙江卷）已知双曲线1-与=1（。＞0,6＞0）的左焦点为尸，过尸且斜率为二的宜线交双曲

4b-4a

线于点工（网,必），交双曲线的渐近线于点8（々，力）且演＜0＜七.若|在例=3|9|,则双曲线的离心率是

巫【解析】联立直线43和渐近线，2：N=2x方程，可求出点B,再根据|m|=3|£4|可求得点A,最后根

4a

据点A在双曲线上，即可解出离心率.

【详解】过F且斜率为上的直线“B:y=2（x+c）'渐近线小”卜,

由附=3|叼,得，仔，匐,

而点A在双曲线上，于是玄■一上。_=1,解得：4=—'所以离心率e=坟.

81a281tz2/＞2a2244

故答案为：返.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

2S

17.(2022年高考全国甲卷)记5“为数列｛《,｝的前”项和.已知一+〃=2a“+l.

n

(1)证明：｛“"｝是等差数列；

(2)若%，%，生成等比数列，求S,,的最小值.

⑴证明见解析；⑵-78.【解析】⑴依题意可得25"+"=2”怎+〃，根据⑸-S,i，”22,作差即可

得到%一%=1,从而得证；

(2)法一：由(1)及等比中项的性质求出％,即可得到｛4,,｝的通项公式与前〃项和，再根据二次函数的性

质计算可得.

2s

【详解】(1)因为——+M=2a4-1,即2S”+〃"=+〃①，

ntl

当“22时，2Se+(〃_l)2=2(“_l”e+(〃_l)②，

①一②得，2S”+/一25小一(〃一旷=2nan+n-\n-i)-(〃一)，

即2an+2〃-1=2〃a〃+1,

即2(〃一1)%-2(〃一1)/一］=2(〃一1),所以a“一2且〃EN*,

所以｛a„｝是以1为公差的等差数列.

(2)［方法一］：二次函数的性质

由（1）可%="i+3,%=q+6,%=。［+8,

又%,%，%成等比数列，所以％2=4,外，

即(%+6)2=(%+3>(q+8),解得％=-12,

_iog、i0,cM(«-1)12251(25?625

加以。“=〃-13,所以S“二-12〃H--------=—n-------n=—\n-------------------

“222212J8

所以，当〃=12或〃=13时，(S〃)min=178.

［方法二卜【最优解】邻项变号法

由(1)可%=4+3,a1=q+6,"9=4+8,

又4,%,佝成等比数列，所以

即(q+6)2=(q+3).(4+8),解得％=72,

所以4="-13,即有4<。2<-"<«12<o,a13=0.

则当〃=12或〃=13时，（S，L=-78.

【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出S,,的最小值，适用于可以求出S,的表达式;

法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解.

18.（2020年高考全国I卷）（2022•全国•统考高考真题）记”8C的内角4,B,C的对边分别为a,b,

「乙cosJsin28

己知——：—=--------.

1+sinJl+cos2B

⑴若。=与，求5；

（2）求《4久的最小值.

C

（1）?；（2）4加'-5.【解析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将户\=严之化成

61+sinJl+coszB

cos（4+3）=sin8,再结合0<8<5，即可求出；

（2）111（1）^11,C=W+8,Z=：-28,再利用正弦定理以及二倍角公式将匕/化成4cos28+C^

22c2cosB

然后利用基本不等式即可解出.

【详解】（1）因为产匚sin25_2sin8cos8_sin3

,即

1+sinJ1+cos282cos2Bcos8

J

sinB=cosAcos8-sin4sinB=cos(/+8)=-cosC

2

而0<8苦，所以8哈

TTTT

（2）由（1）知，sin5=-cosC>0,所以一<C<兀,0<5<一,

22

Jfjjsin5=-cosC=sinC-,

所以C=>8,即有/=5-23,所以8e（0,?）,Ce惇子）

a2+b2sin2/4+sin2Bcos2254-1-cos2B

所rr以一l=---二------=---------；-------

c2sm~Ccos'B

COS：5-1V+1-COS2B,2I-r-

------------\---------------=4COS25+_T_—5>2V8-5=4V2-5-

cos-B------------cos'B

当且仅当cos?8=当时取等号，所以的最小值为4JI-5.

19.(2022年高考全国H卷)在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到

如下的样本数据的频率分布直方图:

(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；

(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间［20,70)的概率；

(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间［40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该

地区中任选一人，若此人的年龄位于区间［40,50),求此人患这种疾病的概率.(以样本数据中患者的年龄位

于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001).

(1)47.9岁：⑵0.89：(3)0.0014•【解析】(1)根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即

可求出；

(2)设4={一人患这种疾病的年龄在区间［20,70)},根据对立事件的概率公式P(A)=1-P(A)即可解出；

(3)根据条件概率公式即可求出.

【详解】(1)平均年龄£=(5x0.001+15x0.002+25x0.012+35x0.017+45x0.023

+55x0.020+65x0.017+75x0.006+85x0.002)x10=47.9(岁).

(2)设［={-人患这种疾病的年龄在区间［20,70)},所以

P(A)=1-尸(/)=1-(0.001+0.002+0.006+0.002)x10=1-0.11=0.89.

(3)设3="任选一人年龄位于区间［40,50)”，C=“从该地区中任选一人患这种疾病”，

则由已知得:

尸(8)=16%=0.16,尸(C)=0.1%=0.001,P(51C)=0.023xl0=0.23,

则由条件概率公式可得

从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间［40,50),此人患这种疾病的概率为

尸(C|5)=尸的)=尸©尸⑸O=°0°卜°.23=0.0014375W014

P(B)P(B)0.16

20.(2022年高考全国I卷)如图，直三棱柱48C-48c的体积为4,的面积为2&.

(1)求/到平面48c的距离;

(2)设。为4c的中点，AAy=AB,平面45CL平面Z38/,求二面角Z-8D-C的正弦值.

(1)72：(2)3【解析】(1)由等体积法运算即可得解；

2

（2）由面面垂直的性质及判定可得5cl平面4844,建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.

【详解】（1）在直三楂柱ZBC-44G中，设点/到平面48c的距离为近

Sh

则=；^BC-=h=七TBC=；S“BC.4Z=；匕BCTM,=।'

解得力=加，

所以点A到平面48c的距离为近；

（2）取/田的中点瓦连接力£,如图，因为所以

又平面&BCL平面N244,平面48Cc平面=A}B,

且“Eu平面488/,所以/EJ.平面48C,

在直三棱柱/8C-48c中，平曲N8C,

由5Cu平面48C,8（7匚平面/8。可得/£1.8。，BB,1BC,

又AE,BB、u平面ABBH且相交，所以8cl平面ABB4,

所以两两垂直，以8为原点，建立空间直角坐标系，如图，

由(1)得AE=6,所以“4=48=2,AtB=2V2,所以5c=2,

则4(0,2,0),4(0,2,2),巩0,0,0),C(2,0,0),所以4c的中点。(1,1,1),

则丽=(1,1,1),0=(0,2,0)屁=(2,0,0),

fn•BD=x+y+z=O

设平面48。的一个法向量m=（X,弘z）,贝卜

in-BA=2y=0

可取而=(1,0,—1),

n-BD=a+b+c=0

设平面8。。的一个法向量〃二（。,仇。），则,

n-BC=2a=0

可取，二（0,1,-1）,

则cos(〃?,〃)=

所以：面角N-8O-C的正弦值为

21.（2021年高考北京卷）已知椭圆E:0+g=I（a>6>0）一个顶点4。,-2）,以椭圆E的四个顶点为顶

点的四边形面积为4百.

（1）求椭圆E的方程；

（2）过点尸（0,-3）的直线/斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点比C,直线AC分别与直线交

尸-3交于点M,N,当1PM+IPMW15时，求人的取值范围.

22

（1）土+匕=1；（2）[-3,-1）=（1,3].【解析】（1）根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可

54

求a,6,从而可求椭圆的标准方程.

（2）设8&,M）了（々,力），求出直线/8,/C的方程后可得KN的横坐标，从而可得1PMi+|PN|,联立直

线BC的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简1PMl+|两|,从而可求上的范围，注意判别式的要求.

【详解】（1）因为椭圆过“（0,-2）,故6=2,

因为四个顶点围成的四边形的面积为46，故gx2ax26=4j?,即°=右，

故椭圆的标准方程为：—+^-=1.

54

(2)

设8（为，必），”工2，%），

因为直线8c的斜率存在，故再々二0,

v,+2Xi

故直线=-----x-2,令y=-3,则如=------,同理XM=一

X|乂+2%+2,

二W可得(4+"-3。履+25=0,

直线8C:y=Ax-3,由

^A=900Ar2-100(4+5A:2)>0,解得左<一1或%>1.

30k25

又占+々=4+5k2，X'X2—4+5〃,故占3>0,所以X,“XM>0

又|「初+|尸网=即+叫=

弘+2%+2

50k30k

2kxx-(x,+x)左

再+/_t224+524+542«5同

2

kxx-\kx2-1kx}x2-k(T)+x2)4-l上一上+1

4+5左24+5后之

故5网415即闷43,

综上，-34%<-1或1<%43.

22.(2022年高考浙江卷)设函数f(x)=f~+lnx(x>0).

2x

⑴求/"）的单调区间:

（2）已知。,6eR,曲线卜=/（刈上不同的三点（再,/（占））,&,/（%）），（0/13））处的切线都经过点（。向.证

明:

(i)若a>e,则0<6-/(a)<

…,2e-a112e-a

(ii)若<々<&,则一+^^-<—十一<——~7^7•

'e6ex{x3a6e

(注:e=2.71828…是自然对数的底数)

(1)/(X)的减区间为(o,£),增区间为(],+8).(2)(i)见解析；(ii)见解析.【解析】(1)求出函数的导

数，讨论其符号后可得函数的单调性.

(2)(i)由题设构造关于切点横坐标的方程，根据方程有3个不同的解可证明不等式成立，(ii)k=~,

a2(w-13)(/w2-zw+12)

m=<1,则题设不等式可转化为4+4-2-4__——_L,结合零点满足的方程进一步转化为

em36〃?(4+4)

(〃？一1)(加一13)(〃？2+12)

足加+^——八"八八-------^<0,利用导数可证该不等式成立.

72(加+1)

【详解】(1)/'("=-9+1=。，

'/2xx2x

当0<x<],/'(x)<0：当x>]，/%x)>0,

故〃x)的减区间为„〃X)的增区间为修+81.

(2)(i)因为过(。力)有三条不同的切线，设切点为(X*/(x,)),i=l,2,3,

故方程〃x)—6=/'(x)(x-4)有3个不同的根，

该方程可整理为(x-a)———lnx+b-0,

设g(x)=仕一高lnr+6,

\x2xJ2x

则/(耳=』-9+(-~4—+-^

x2x\xxJx2x

=--(x-e)(x-a),

当0<x<e或x>a时，g'(x)<0；当e<x<a时，g[x)>0,

故g(x)在(0,e),(a,+oo)上为减函数，在(e,a)上为增函数，

因为g(x)有3个不同的零点，故g(e)<0且g(a)>0,

故(3一品)偌-")一/Tne+”<。且一意]("一")一^"历。+，>。，

整理得至!I：力<2+1且6>S+ln4=/S)，

2ela

此时—⑺一米一i]<?I-枭引-^rr：

设〃(Q)=3