2024年高考数学模拟试题及答案 (一)

5.是a2x+—<-w的

2X2

数学试题A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

本科试题卷分选择题和非选择题两部分，全卷共6页，选择题部分1至3页，非选择题

6.已知尸为抛物线上的一点，过尸作圆一+3一3)2=1的两条切线，切点分别为4,

部分3至6页，满分150分，考试时间120分钟。

B,贝lJcos/4尸8的最小值是

127

A.—B.—C.-D.—

考生注意：2349

1.答题前，请务必将自己的学校、班级、姓名、座位号用黑色字迹的签字笔或钢笔分7.已知数列也｝满足％讨+%=/(〃)，且％=1,则下列说法中错送的是

别填写在试题卷和答题纸规定的位置上。

A.若/⑺=2〃+1,则｛可｝是等差数列

2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，

在本试题卷上的作答一律无效。B.若/⑺=2%则也｝是等差数列

C.若“〃)=2,则｛%｝是等比数列

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

D.若/⑺=3X2〃T,则0｝是等比数列

项是符合题目要求的。

8.已知定义在R上的奇函数/(%)满足/(%)=/(“-'),则对所有这样的函数/(%),由下列条

1.已知集合4二,5="'二'4兀_",则/p|5=

件一定能得到/(1)=/(3)=/(9)的是

B.[0,1]l1.l、

A.(-℃,-]rD.r[—,+oo)

A.a=2B.a=3C.a=4D.a=5

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知圆G：(x—l)2+r=1和圆。2：%2+/—4%—4丁+4=0,贝！J

3.已知向量a"满足同=3,|同=2,|2a-^|=2V13,则“与。的夹角为

A.圆G的半径为4

B.V轴为圆£与G的公切线

已知某正六棱柱的所有棱长均为则该正六棱柱的外接球的表面积为

4.2,c.圆q与G公共弦所在的直线方程为％+2yT=o

A.67iB.8兀C.16TID.20KD.圆G与G上共有6个点到直线2%-歹-2=0的距离为1

数学试题卷第1页(共6页)数学试题卷第2页(共6页)

10.由变量X和变量》组成的10个成对样本数据（不，必），（积外），…，（须0,弘0）得到的经验回归方程为15.过正三棱锥尸-48C的高产”的中点作平行于底面45C的截面4片G，若三棱锥

—110—110

y=2x-0A，点（X2，%），（/，必）的直线方程为歹=加工+〃，记兀=丁之七,^=二£4则尸-4与G与三棱台25。-44G的表面积之比为2，则直线尸力与底面々。所成角的

10（=110»=116

A.变量用丁正相关正切值为▲.

B.若亍=1,贝!J歹=1.916.已知等比数歹I」｛。〃｝满足。〃>0且2a3+2和2+。2+〃3=1，则的取值范围是

C.经验回归直线y=2x-0.1至少经过（外,乂）«=1,2,…,10）中的一个点

四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

ioio670

D.Z（匕一2七+0.1）92«Z（Z-mXi-ri）92

i=i«=i17.（10分）

11.已知函数=sin3x-sin2x（x£（0,2兀）），则记AABC的内角45c的对边分别为a,b,c,已知26csinA=y/3（a2+c2-b2）.

2兀

A./（y）=0B./（%）恰有5个零点（1）求5的大小；

（2）若cos4=-,b=2,求c.

TTTT3

C./（%）必有极值点D./（%）在（一,一）上单调递减

63

12.已知椭圆?+_/=1的左顶点为/,上、下顶点分别为C,。动点尸（不必）,。（%2，%）在椭

18.（12分）

圆上（点尸在第一象限，点。在第四象限），O是坐标原点，若△。尸。的面积为1,则

已知等差数列｛4｝满足。6+%=4，且卬%，%成等比数列.

A."为定值B.CP//AQ

x

2（1）求｛a“｝的通项公式；

C.△OCP与△04。的面积相等D.△OCP与△O00的面积和为定值

（2）记7；为数列也｝前〃项的乘积，若％<0,求7；的最大值.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

19.（12分）

13.（4—1）行+2）4的展开式中f的系数为▲（用数字作答）.

如图，△48。为正三角形，平面/BC,CZ）_L平面48C,AC=CD,AE=2CD,

14.人类已进入大数据时代.目前，数据量已经从TB（1TB=1O24GB）级别跃升到

点尸，尸分别为”,的中点，点。在线段班上，且=

PB（1PB=1O24TB）,EB（1EB=1O24PB）乃至ZB（1ZB=1O24EB）级另IJ.国际数据公司（IDC）（1）证明：直线。尸与直线尸。相交；

的研究结果表明，2008年全球产生的数据量为0.500ZB,2010年增长到1.125ZB.若从（2）求平面C7不与平面夹角的余弦值.

2008年起,全球产生的数据量P与年份t的关系为P=片储-2008，其中%Q均是正的常数，

则2023年全球产生的数据量是2022年的▲倍.

数学试题卷第3页（共6页）数学试题卷第4页（共6页）

22.（12分）

20.(12分)

已知双曲线f一/=1,过点-1)的直线/与该双曲线的左、右两支分别交于点/,B.

已知函数/(x)=ax2-exInx.

(1)当直线/的斜率为:时，求|/身；

(1)当a=e时，求曲线y=/(%)在％=1处的切线方程;

(2)若Vx>0,都有/(x)21nx+2,求a的取值范围.

(2)是否存在定点尸2)。W1),彳更得/MP4=NMPB?若存在，求点尸的坐标；若

2

不存在，请说明理由.

21.(12分)

机器人甲、乙分别在48两个不透明的箱子中取球，甲先从/箱子中取2个或3个小

球放入6箱子，然后乙再从3箱子中取2个或3个小球放回4箱子，这样称为一个回合.已

31

知甲从4箱子中取2个小球的概率为了，取3个小球的概率为二；乙从8箱子中取2个小球

44

21

的概率为取3个小球的概率为§.现45两个箱子各有除颜色外其它都相同的6个小

球，其中4箱子中有3个红球，3个白球；8箱子中有2个红球，4个白球.

(1)求第一个回合甲从4箱子取出的球中有2个红球的概率；

(2)求第一个回合后A箱子和B箱子中小球个数相同的概率；

(3)两个回合后，用X表示4箱子中小球个数，用丫表示5箱子中小球个数，求X-y

的分布列及数学期望.

数学试题卷第5页(共6页)数学试题卷第6页(共6页)

2。[+1\d-4,4=-9,

由'解得Xo：或4分

d(2a1+9d)=0,d=2.

所以，｛%｝的通项公式为%=2或%=2〃-11.6分

（2）因为4<0,所以。—II,

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

1.C2.A3.B4.D5.A6.C7.B8.C

所以，当〃45时，。”<0;当〃26时，an>0.8分

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

从而7]<0,T2>Q,T3<0,T4>0,Tn<0(M>5),10分

9.BD10.ABD11.BCD12.ABC

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。又因为右=q出=63,q=%4243a4=945,

13.-814.1.515.27516.[^^-,+oo）

所以，7；的最大值为7；=945.12分

四、解答题：本题共6小题，共70分。

17.（本题满分10分）

19.（本题满分12分）

解：（1）因为2bcsin4=6（/+c?-〃），所以26csinZ=2V§accos5,...............2分

（1）证明：取成中点G,连接QG,GR尸C,。。，则尸G〃ZE，/G=，ZE,

2

即Z）sin4=y/3acosB，所以sinBsinZ=JJsinZcosB,

因为平面46。，CD_L平面4SC,所以CD〃/瓦CQ=』ZE,

2

因为sin/>0,所以sinB=A/JCOS3,所以tanB=6，...............4分

^CD//FG,CD=FG,则四边形CDG尸为平行四边形，2分

又3e（0,兀），所以3=]................5分

所以C尸〃。G,C尸=OG.

(2)因为cosZ=』，所以sin4=J1-cos?Z=4工.........6分因为点。在线段BE上，且8石=45。，所以。是8G的中点,

33

因为sinC=sin(Z+8)=sin(4+3=—sinA+^-cosA="-+—,...............8分又因为点尸是的中点，

32236所以尸Q〃OG尸0=；QG,...........3分

叱t、ibsinC4>/62,八八

sin593

所以尸。〃CE尸0=<B,...........4分

18.（本题满分12分）即尸。，。尸共面，且尸0，C尸长度不等，

解：（1）设｛Q力的公差为d,由4+%=4得2%+lld=4；........1分所以直线C尸与直线尸。相交.......5分

（2）解法1：

由%,%，。5成等比数列，得。：二。。，即（%+34）2=4[（Q[+4d）,

由（1）知，平面CPF即为平面。尸0尸.

整理得d（2%+9d）=0................2分

因为4E_L平面45C,且CFu平面4SC,所以4E_LC尸，

因为为正三角形，点尸是46的中点，所以CF_L48,

数学答案第1页（共6页）数学答案第2页（共6页）

又=48u平面4Eu平面,所以CF_L平面/班.7分20.(本题满分12分)

又PQHCF,所以尸0_L平面ZBE,解:(1)当a=e时，/(x)=ex2-exlnx,f\x)=2ex-eInx-e,................2分

所以ZBQF为平面CPF与平面BDE的夹角.........9分因为/6=e，Al)=e,

所以，曲线歹=/(X)在x=l处的切线方程是y-e=e(X-l),BP=ex.................4分

不妨设45=2,则BF=T,BQ=LBE=叵,QF，AG=旦,

4222

exlnx+lnx+—

5・2-

55_(2)因为VX>0,者B有/(%)之lnx+—，所以(-Bmax6分

所…『工三4j……”分2

exlnx+lnx+-

4ex-exInx-2Inx-4

27分

3

即平面CPF与平面BDE夹角的余弦值为.......12分

、、2]2—ex

■iSZ?(x)=ex-e%ln%-21n%-4,设加(%)=/?'(%)=-eIn%----,贝！J冽'(%)=——-—,

xx

解法2：

22

所以m(x)在(0,-)上单调递增，在(一,+8)上单调递减，

因为/£_L平面43C,所以4£_LCF,因为△Z3C为正三角形，所以CF_L48,ee

2

所以CFJ■平面Z8E,又FGHAE,所以尸GJ■平面Z5c.以尸为原点，以所以m(x)<zn(­)=-eln2<0，

e

“，尸5/G所在直线分别为工，歹，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.........7分所以“(%)<0,所以力(%)在(0,+oo)上单调递减.........9分

因为A(—)=0,

不妨设AB=2,e

所以g(x)在(0,-)上单调递增，在(L+8)上单调递减，

___/71

所以定=(0,0,0),FP=(三,-,1),ee

12

所以g(%)<g(-)=Ke，................11分

BE=[0,-2,4),BD=(V3,-1,2).................8分e2

所以，a>^—.................12分

设平面CPF的一个法向量为宿=（孙必，4）,

2

y/3x=0,

w.•FC=0,1

则_即净+卜+1。，21.(本题满分12分)

«1"FP=0,

解：（1）在第一个回合中，记事件4表示“甲从A箱子中取出2个球”，事件4表示

取生=(0,2,-1).9分

“甲从A箱子中取出3个球”，事件。表示“甲从A箱子取出的球中有2个红球”，则

设平面BDE的一个法向量为n2=（和歹2,z2），

（）P（AC）（）P（A）（）+P（A）P（C）分

PC=X+P4C=XPCI42IA2................1

n2•BE=0,J—2歹2+4z2—

n2-BD=0,[-\/3X2-%+2Z2=3C；1C；C；21八

=-x^+-x^-=—.................3分

取吗=(0,2,1).10分4Cg4Cg80

㈤・%|=3（2）第一个回合后，4箱子和8箱子中小球个数相同，即甲从4箱子中取出小球的个数与乙从

设平面CPF与平面BDE的夹角为6,则cos。=|cos<nx,n2>\

I»iII«215

8箱子中取出小球的个数一样，所以，尸==3x：2+：1x1：=7A.................5分

3

所以，平面。尸尸与平面夹角的余弦值为.......12分434312

数学答案第3页（共6页）数学答案第4页（共6页）

(3)每一个回合后，(2)因为//如=所以cos/M》=cosNMPB,

32117PMPBPMPA\PA\

A,B两个箱子小球数都保持不变的概率P(O)=^x-+-x-=^,^'\PM\\PA\--,所以.——►——.,

\PM\\PB\PMPB\PB\

4箱子小球数减少1个，8箱子小球数增加1个的概率尸(-2)=：x：=：,

436又由=/得尊=@£1,所以鳖与=凶”.........6分

311\PB\\MB\PMPB\MB\

4箱子小球数增加1个，8箱子小球数减少1个的概率尸(2)==x；=：........7分

434

设4(不必),3(孙必)，直线/的方程为歹=Ax-(4+1),其中-1＜左＜1,

两个回合后，X-Y的所有可能值为-4,-2,0,2,4.........8分

P(^-y=-4)=P(-2)xP(-2)=lxl=^,由1%~y=L+2k(k+\)x-k2-2k-2=Q,

OOJo口=6_(左+1)

177

P(^-y=-2)=P(-2)xP(0)+P(0)xP(-2)=-x—x2=—,r-r-nr2k(k+1)—k~—'Ik—2。八

61236所以玉+/=-------，xx=———.........8分

1—k121—k

P(X-y=0)=P(0)xP(0)+P(2)xP(-2)+P(-2)xP(2)=||x2+lxlx2=^,